七十角形のソースを表示

{{複数の問題
|特筆性=2022年6月5日 (日) 12:45 (UTC)
|出典の明記=2022年6月5日 (日) 12:45 (UTC)
|独自研究=2022年6月5日 (日) 12:45 (UTC)
}}
[[ファイル:Regular polygon 70.svg|300px|サムネイル|右|正七十角形]]
'''七十角形'''（ななじゅうかくけい、ななじゅうかっけい、heptacontagon）は、[[多角形]]の一つで、70本の[[辺]]と70個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は12240°、[[対角線]]の本数は2345本である。

== 正七十角形 ==
正七十角形においては、中心角と外角は5.142…°で、内角は174.857…°となる。一辺の長さが a の正七十角形の面積 S は
:<math>S = \frac{70}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{70}</math>

<math>\cos (2\pi/70)</math>を平方根と立方根で表すことが可能である。

;関係式
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{70}+2\cos\frac{22\pi}{70}+2\cos\frac{38\pi}{70}=\frac14 \left( -1+\sqrt{5}+\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)} \right) = x_1 \\
2\cos\frac{6\pi}{70}+2\cos\frac{66\pi}{70}+2\cos\frac{26\pi}{70}=\frac14 \left( -1-\sqrt{5}+\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)} \right) = x_2 \\
2\cos\frac{18\pi}{70}+2\cos\frac{58\pi}{70}+2\cos\frac{62\pi}{70}=\frac14 \left( -1+\sqrt{5}-\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)} \right) = x_3 \\
2\cos\frac{54\pi}{70}+2\cos\frac{34\pi}{70}+2\cos\frac{46\pi}{70}=\frac14 \left( -1-\sqrt{5}-\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)} \right) = x_4 \\
\end{align}</math>

さらに、以下のような関係式が得られる。
:<math>\begin{align}
\left( 2\cos\frac{2\pi}{70} + \omega \cdot 2\cos\frac{22\pi}{70} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{38\pi}{70} \right)^3=& 3x_1+x_2+6x_3+12\cos\frac{2\pi}{10}+ 3\omega(2x_1+x_2+x_3)+3\omega^2 (2x_1+x_4+6\cos\frac{6\pi}{10}) \\
=& \tfrac{{5-47\sqrt{5}-15\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}+4\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}}+3\sqrt{3}\left(-7+7\sqrt{5}-\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}+2\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}\right)i}{8} \\
\left( 2\cos\frac{2\pi}{70} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{22\pi}{70} + \omega \cdot 2\cos\frac{38\pi}{70} \right)^3=& 3x_1+x_2+6x_3+12\cos\frac{2\pi}{10}+ 3\omega^2(2x_1+x_2+x_3)+3\omega (2x_1+x_4+6\cos\frac{6\pi}{10}) \\
=& \tfrac{{5-47\sqrt{5}-15\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}+4\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}}-3\sqrt{3}\left(-7+7\sqrt{5}-\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}+2\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}\right)i}{8} \\
\end{align}</math>
両辺の立方根を取ると
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{70} + \omega \cdot 2\cos\frac{22\pi}{70} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{38\pi}{70}=&\sqrt[3]{\tfrac{{5-47\sqrt{5}-15\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}+4\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}}+3\sqrt{3}\left(-7+7\sqrt{5}-\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}+2\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}\right)i}{8}} \\
2\cos\frac{2\pi}{70} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{22\pi}{70} + \omega \cdot 2\cos\frac{38\pi}{70}=&\sqrt[3]{\tfrac{{5-47\sqrt{5}-15\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}+4\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}}-3\sqrt{3}\left(-7+7\sqrt{5}-\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}+2\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}\right)i}{8}} \\
\end{align}</math>

よって
<div style="overflow: auto;">
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{70}=& \frac{1}{6} \left(\tfrac{-1+\sqrt{5}+\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}}{4}+\sqrt[3]{\tfrac{{5-47\sqrt{5}-15\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}+4\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}}+3\sqrt{3}\left(-7+7\sqrt{5}-\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}+2\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}\right)i}{8}}+\sqrt[3]{\tfrac{{5-47\sqrt{5}-15\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}+4\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}}-3\sqrt{3}\left(-7+7\sqrt{5}-\sqrt{14\left( 5+\sqrt{5} \right)}+2\sqrt{14\left( 5-\sqrt{5} \right)}\right)i}{8}} \right) \\
\end{align}</math>
</div>

=== 正七十角形の作図 ===
正七十角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正七十角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[五角形]]
* [[七角形]]
* [[十角形]]
* [[十四角形]]
* [[三十五角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:ななしゆうかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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