万有引力定数のソースを表示

{{物理定数
|名称=万有引力定数
|画像=[[File:NewtonsLawOfUniversalGravitation.svg|270px]]<br />[[万有引力]]の法則における万有引力定数 ''G''
|記号={{mvar|G}}
|値={{val|6.67430|(15)|e=-11|u=m{{sup|3}} kg{{sup-|1}} s{{sup-|2}}}} <ref name="CODATA"/>
|不確かさ=2.2{{e-|5}}
|定義=重力相互作用の大きさを表す定数
}}
'''万有引力定数'''（ばんゆういんりょくていすう）あるいは'''（ニュートンの）重力定数'''（じゅうりょくていすう、{{lang-en-short|(Newtonian) constant of gravitation}}）とは、[[重力相互作用]]の大きさを表す[[物理定数]]である。[[アイザック・ニュートン]]の[[万有引力]]の法則において導入された。記号は一般に {{mvar|G}} で表される。

ニュートンの万有引力理論において、それぞれ {{math|''m''{{sub|1}}}}、{{math|''m''{{sub|2}}}} の[[質量]]を持つ2つの物体が、[[距離]] {{mvar|r}} だけ離れて存在しているとき、これらの間に働く万有引力 {{mvar|F{{sub|g}}}} は
{{Indent|<math>F_g=G \frac{m_1m_2}{r^2}</math>}}
となる。このときの比例係数 {{mvar|G}} が万有引力定数である。[[国際単位系|SI]] ([[MKS単位系]])に基づいて、質量 {{math|''m''{{sub|1}}}}、{{math|''m''{{sub|2}}}} に[[キログラム]] (kg)、長さ {{mvar|r}} に[[メートル]] (m)、力 {{mvar|F{{sub|g}}}} に[[ニュートン (単位)|ニュートン]] (N; {{nowrap|1=kg m s{{sup-|2}}}} に等しい)を用いれば万有引力定数 {{mvar|G}} の単位は {{nowrap|1=N m{{sup|2}} kg{{sup-|2}}}}（SI基本単位のみを用いて表せば {{nowrap|1=m{{sup|3}} kg{{sup-|1}} s{{sup-|2}}}}） となる。

[[アルベルト・アインシュタイン|アインシュタイン]]の[[一般相対性理論]]においては、ニュートンの重力理論に対する修正と拡張が為され、一般相対性理論の基礎方程式である[[アインシュタイン方程式]]においても比例係数としてこの重力定数が現れる。

== 値 ==
万有引力定数の2018年[[科学技術データ委員会|CODATA]]推奨値は
:{{mvar|G}} = {{Val|6.67430|(15)|e=-11|u=m{{sup|3}} kg{{sup-|1}} s{{sup-|2}}}}
である<ref name="CODATA">[[#bg|CODATA Value]]</ref>。括弧内の数値は表された最後の桁を単位とした数値の[[不確かさ (測定)#表記|標準不確かさ]]を表す。上記の定数は、質量 {{Val|1|u=kg}} の2つの質点が {{Val|1|u=m}} 離れた時の[[引力]]を単位[[ニュートン (単位)|ニュートン]] (N) で表した値と等しく、非常に小さい値である。たとえばそれぞれの重心が互いに {{Val|1|u=m}} 離れた1トン (={{Val|1000|u=kg}}) の物体が引き合う力は約 {{Val|6.7|u=N|e=-5}} であり、地球上で おおよそ {{Val|6.8|ul=mg}} の質量の物体に働く重力に等しい。

また、万有引力定数を[[ディラック定数]]と[[真空中の光速]]で換算した量は
:{{mvar|G/ħc}} = {{Val|6.70883|(15)|e=-39|u=(GeV/{{mvar|c}}{{sup|2}}){{sup-|2}}}}
である<ref>[[#bgspu|CODATA Value]]</ref>。

== キャヴェンディッシュによる測定 ==
万有引力定数を定めるには、互いに質量のわかっているものの間に働く万有引力を精密に測定せねばならない。万有引力定数は[[ヘンリー・キャヴェンディッシュ|キャヴェンディッシュ]]による1798年の鉛球実験（[[キャヴェンディッシュの実験]]）に基づいて初めて計測された。これは針金で吊るした棒の両端に二つの鉛球をつけ、固定した別の鉛球との間に働く力を計測するものであった。この実験はもともと地球の密度を求めるためのものとして考案されたもので、万有引力定数が求められたことによって、既知の[[重力加速度]]と地球の半径から地球の質量そして密度がはじめて求められた。この実験で求められた万有引力定数は {{val|6.74|e=-11|u=m{{sup|3}} kg{{sup-|1}} s{{sup-|2}}}} であり、現在知られている上記の値と比較しても相当に高精度なものであった。

== 精度の低さ ==
万有引力が非常に弱い力であり、静電遮蔽のような効果を用いて周囲の物質による影響が除去できないため、万有引力定数の測定が非常に難しい。

上に示したCODATA 2018の値にも、2.2{{e-|5}} の相対標準不確かさがあり、また以下の表に示したCODATA推奨値の[[仮数]]も小数第2位の 6.67 までしか確定しておらず、この[[不確かさ (測定)|不確かさ]]（誤差）は様々な重要な[[物理定数]]の中では最も大きい<ref>例えば、[[#mohr|Mohr et al. (2012)]] p.1594, TABLE XLVIII.</ref><ref>[[#mohr|Mohr et al. (2012)]] pp.1587-1591</ref><ref>[[#mohr|Mohr et al. (2012)]] p.1583, FIG. 6.</ref>。

このように、仮数（小数）の精度が著しく低いため、[[科学技術データ委員会|CODATA]]推奨値も時代と共に以下のように変遷している<ref name="CODATA Older values">[[#older|"Older values of the constants"]]</ref>。CODATA 2018推奨値とCODATA 2014推奨値との差は、3.3{{e-|5}} もあり、基礎物理定数としては変化が極めて著しい。

{| class="wikitable"
|+ 万有引力定数のCODATA推奨値の変遷<ref>1982年から2010までの主な測定結果については、[[#mohr|Mohr et al. (2012)]] p.1567, TABLE XVII. が参考になる。</ref>
|-
! !! 推奨値 {{mvar|G}} <br /> (10{{sup|−11}}·m{{sup|3}}·kg{{sup-|1}}·s{{sup-|2}})
! 相対標準不確かさ <br /> (Standard uncertainty)
|-
| 1973 CODATA<ref>[[#1973|Cohen and Taylor]]</ref>
| 6.6720(41)
| 6.1{{e-|4}}
|-
| 1986 CODATA
| 6.672 59(85)
| 1.3{{e-|4}}
|-
| 1998 CODATA
| 6.673(10)
| 1.5{{e-|3}}
|-
| 2002 CODATA
| 6.6742(10)
| 1.5{{e-|4}}
|-
| 2006 CODATA
| 6.674 28(67)
| 1.0{{e-|4}}
|-
| 2010 CODATA
| 6.673 84(80)
| 1.2{{e-|4}}
|-
| 2014 CODATA
| 6.674 08(31)
| 4.7{{e-|5}}
|-
| 2018 CODATA
| 6.674 30(15)
| 2.2{{e-|5}}
|-
|}

また、[[NIST]]においては以下の値が推奨されている。
{|class=wikitable
|+万有引力定数 ''G'' の推奨値の変遷
!scope="col"| 年
!scope="col"| ''G'' <br />(10{{sup|−11}}·m{{sup|3}}⋅kg{{sup|−1}}⋅s{{sup|−2}})
! scope="col"|相対標準<br />不確かさ
!scope="col"| 出典
|-
!scope="row"|1969
| 6.6732(31)  || 4.6{{e-|4}} || <ref>{{cite journal | last1=Taylor | first1=B. N. | last2=Parker | first2=W. H. | last3=Langenberg | first3=D. N. | title=Determination of e/h, Using Macroscopic Quantum Phase Coherence in Superconductors: Implications for Quantum Electrodynamics and the Fundamental Physical Constants | journal=Reviews of Modern Physics | publisher=American Physical Society (APS) | volume=41 | issue=3 | date=1969-07-01 | issn=0034-6861 | doi=10.1103/revmodphys.41.375 | bibcode=1969RvMP...41..375T | pages=375–496}}</ref>
|-
!scope="row"|1973
| 6.6720(49)  || 7.3{{e-|4}} || <ref>{{cite journal | last1=Cohen | first1=E. Richard | last2=Taylor | first2=B. N. | title=The 1973 Least‐Squares Adjustment of the Fundamental Constants | journal=Journal of Physical and Chemical Reference Data | publisher=AIP Publishing | volume=2 | issue=4 | year=1973 | issn=0047-2689 | doi=10.1063/1.3253130 | bibcode=1973JPCRD...2..663C | pages=663–734}}</ref>
|-
!scope="row"|1986
| 6.674 49(81) || 1.2{{e-|4}} || <ref>{{cite journal | last1=Cohen | first1=E. Richard | last2=Taylor | first2=Barry N. | title=The 1986 adjustment of the fundamental physical constants | journal=Reviews of Modern Physics | publisher=American Physical Society (APS) | volume=59 | issue=4 | date=1987-10-01 | issn=0034-6861 | doi=10.1103/revmodphys.59.1121 | bibcode=1987RvMP...59.1121C | pages=1121–1148}}</ref>
|-
!scope="row"|1998
| 6.673(10) || 1.5{{e-|3}} || <ref>{{cite journal | last1=Mohr | first1=Peter J. | last2=Taylor | first2=Barry N. | title=CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 1998 | journal=Reviews of Modern Physics | volume=72 | issue=2 | year=2012 | issn=0034-6861 | doi=10.1103/revmodphys.72.351 | bibcode=2000RvMP...72..351M | pages=351–495| arxiv=1203.5425 }}</ref>
|-
!scope="row"|2002
| 6.6742(10)  || 1.5{{e-|4}} || <ref>{{cite journal | last1=Mohr | first1=Peter J. | last2=Taylor | first2=Barry N. | title=CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2002 | journal=Reviews of Modern Physics | volume=77 | issue=1 | year=2012 | issn=0034-6861 | doi=10.1103/revmodphys.77.1 | bibcode=2005RvMP...77....1M | pages=1–107| arxiv=1203.5425 }}</ref>
|-
!scope="row"|2006
| 6.674 28(67) || 1.0{{e-|4}} || <ref>{{cite journal | last1=Mohr | first1=Peter J. | last2=Taylor | first2=Barry N. | last3=Newell | first3=David B. | title=CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2006 | journal=Journal of Physical and Chemical Reference Data | volume=37 | issue=3 | year=2012 | issn=0047-2689 | doi=10.1063/1.2844785 | bibcode=2008JPCRD..37.1187M | pages=1187–1284| arxiv=1203.5425 }}</ref>
|-
!scope="row"|2010
| 6.673 84(80) || 1.2{{e-|4}} || <ref>{{cite journal | last1=Mohr | first1=Peter J. | last2=Taylor | first2=Barry N. | last3=Newell | first3=David B. | title=CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2010 | journal=Journal of Physical and Chemical Reference Data | volume=41 | issue=4 | year=2012 | pages=1527–1605 | issn=0047-2689 | doi=10.1063/1.4724320 | bibcode=2012JPCRD..41d3109M | arxiv=1203.5425 }}</ref>
|-
!scope="row"|2014
| 6.674 08(31) ||  4.6{{e-|5}} || <ref>{{cite journal | last1=Mohr | first1=Peter J. | last2=Newell | first2=David B. | last3=Taylor | first3=Barry N. | title=CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2014 | journal=Journal of Physical and Chemical Reference Data | volume=45 | issue=4 | year=2016 | pages=1527–1605 | issn=0047-2689 | doi=10.1063/1.4954402 | bibcode=2016JPCRD..45d3102M | arxiv=1203.5425 }}</ref>
|-
!scope="row"|2018
| 6.674 30(15) || 2.2{{e-|5}} || <ref>Eite Tiesinga, Peter J. Mohr, David B. Newell, and Barry N. Taylor (2019), "[http://physics.nist.gov/constants The 2018 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants]" (Web Version 8.0). Database developed by J. Baker, M. Douma, and S. Kotochigova. National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD 20899.</ref>
|-
|}

万有引力定数の精度が4桁程度しかない（小数点以下が2位までしか確定していない）ことは、[[連星パルサー]]の質量の測定精度などにも影響する。また、ミリメートル以下の範囲 ([[マイクロメートル|μm]], [[ナノメートル|nm]] クラスなど)でニュートンの万有引力が精度良く確かめられていないことから、小さなスケールでは重力理論の変更を考慮する余地が残されていて、近年、小さなスケールで[[余剰次元]]を持つ5次元膜宇宙モデル（[[ブレーンワールド]]モデル）が盛んに研究されている。

=== その他の値 ===
[[国際測地学協会]]では1999年に万有引力定数の値として {{mvar|G}} = {{val|6.67259|(30)|e=-11|u=m{{sup|3}} s{{sup-|2}} kg{{sup-|1}}}} を用いることを定めている<ref>[[#rika|『理科年表2009』]]</ref>。[[アメリカ航空宇宙局]] (NASA)もこの値を採用している<ref name="NASA">[[#nasa|"Astrodynamic Constants"]]</ref>。

2007年には{{仮リンク|原子干渉計|en|Atom interferometer}}を用いた測定値として、{{mvar|G}} = {{val|6.693|(21)|e=-11|u=m{{sup|3}} s{{sup-|2}} kg{{sup-|1}}}} というそれまでの測定結果とは著しく異なった値が[[サイエンス]]に報告された<ref name="Fixler">[[#fixler|Fixler, Foster, McGuirk, and Kasevich]]</ref>。

== 天体の質量との積 ==
万有引力定数の測定精度が低いのに対し、{{mvar|G}} に[[太陽質量]] {{math|''M''{{sub|S}}}} を乗じた'''[[日心重力定数]]'''や、[[地球質量]] {{math|''M''{{sub|E}}}} を乗じた'''地心重力定数'''は精度よく計測されている。 これらの値は各々、
:{{Math|''GM''{{Sub|S}}}} = {{Val|1.32712442099|(100)|e=20|u=m{{sup|3}} s{{sup-|2}}}}
:{{Math|''GM''{{sub|E}}}} = {{Val|3.986004418|(8)|e=14|u=m{{sup|3}} s{{sup-|2}}}}
である<ref name="IAU2009">[[#asa|"Selected Astronomical Constants"]] ただし値は時刻系の違いに依存し、示された値は[[時刻系#惑星運動の計算に用いられる時刻系|太陽系座標時]]（'''TCB'''、[[:en:Barycentric Coordinate Time|Barycentric Coordinate Time]]）を用いて表されたものである。</ref>。

従って、地球質量の精度は万有引力定数の測定精度に依存し、CODATA 2006による地球質量は {{math|''M''{{sub|E}}}} = {{val|5.9722|(6)|e=24|u=kg}} と計算され<ref name="IAU2009" />、国際測地学協会の協定値では {{math|''M''{{sub|E}}}} = {{val|5.9737|(3)|e=24|u=kg}} と計算される。NASAでは {{math|''M''{{sub|E}}}} = {{val|5.9736|e=24|u=kg}} としている<ref name="NASA Earth">[[#earth|"Earth Fact Sheet"]]</ref>。

== 一般相対性理論とアインシュタインの重力定数 ==
[[アルベルト・アインシュタイン]]の[[一般相対性理論]]においては、[[重力場]]を記述する[[アインシュタイン方程式]]の中に万有引力定数 {{mvar|G}} が現れる。アインシュタイン方程式は
{{Indent|<math>G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}</math>}}
と表される。左辺の {{mvar|G{{sub|&mu;&nu;}}}} は時空の曲率を表した[[アインシュタインテンソル|アインシュタイン・テンソル]]と呼ばれる[[テンソル]]であり、{{Math|&Lambda;}} は「[[宇宙定数]]」と呼ばれる[[定数]]で、{{Mvar|g{{sub|&mu;&nu;}}}} は時空の[[計量テンソル]]と呼ばれるテンソルである。また、右辺の {{mvar|T{{sub|&mu;&nu;}}}} は物質分布を示す[[エネルギー・運動量テンソル]]であり、右辺の係数をまとめた {{math|''&kappa;'' {{=}} {{Sfrac|8&pi;''G''|''c''{{sup|4}}}}}} は、[[アインシュタインの定数|アインシュタインの重力定数]]と呼ばれることもある。

なお、左辺の {{mvar|G{{sub|&mu;&nu;}}}} は、[[リッチテンソル]] {{Mvar|R{{sub|&mu;&nu;}}}} と[[スカラー曲率]] {{Mvar|R}} 及び時空の[[計量テンソル]] {{Mvar|g{{sub|&mu;&nu;}}}} を用いると {{math|''G{{Sub|&mu;&nu;}}'' {{=}} ''R{{Sub|&mu;&nu;}}'' − {{Sfrac|1|2}}''Rg{{Sub|&mu;&nu;}}''}} とも表わされる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<!--=== 注釈 ===
{{Reflist|group="注釈"}}-->
=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
* {{Cite web|author=P. J. Mohr, B. N. Taylor, and D. B. Newell|title=CODATA recommended values of the fundamental physicalconstants: 2010|year=2012|url=http://physics.nist.gov/cuu/pdf/RevModPhysCODATA2010.pdf|format=PDF|accessdate=2015-08-04|ref=mohr}}
* {{Cite journal|author=E. R. Cohen and B. N. Taylor|journal=J.Phys.Chem.Ref.Data|volume=2|page=663|year=1973|ref=1973}}
* {{Cite journal|author=J.B. Fixler, G.T. Foster, J.M. McGuirk, M.A. Kasevich|title=Atom Interferometer Measurement of the Newtonian Constant of Gravity|journal=Science|date=2007-01-05|volume=315|issue=5808|pages=74–77|doi=10.1126/science.1135459|ref=fixler}}
* {{Cite book|和書|others=[[国立天文台|東京天文台]]編纂|title=[[理科年表]]2009|publisher=[[丸善]]|ref=rika}}

==関連項目==
* [[ガウス引力定数]]
* [[キャヴェンディッシュの実験]]
* [[シェハリオンの実験]]

== 外部リンク ==
* CODATA Value
** {{Cite web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bg|title=Newtonian constant of gravitation|accessdate=2019-06-16|ref=bg}}
** {{Cite web|url=https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bgspu|title=Newtonian constant of gravitation over h-bar c|accessdate=2019-06-16|ref=bgspu}}
* {{Cite web|url=http://physics.nist.gov/cuu/Constants/background.html|title=Older values of the constants|work=CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants|publisher=Physics Laboratory, NIST|accessdate=2010-05-20|ref=older}}
* {{Cite web|url=http://ssd.jpl.nasa.gov/?constants|title=Astrodynamic Constants|publisher=NASA|accessdate=2010-05-20|ref=nasa}}
* {{Cite web|url=https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html|language=[[英語]]|title=Earth Fact Sheet|author=Dr. David R. Williams|publisher=NASA|accessdate=2010-05-20|ref=earth}}
* {{Cite web|url=http://asa.usno.navy.mil/SecK/Constants.html|title=2013 Selected Astronomical Constants|work=Astronomical Almanac Online|publisher=Naval Meteorology and Oceanography Command, U.S. Navy|accessdate=2013-07-23|ref=asa}}
* {{Kotobank|2=ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典}}
* {{Kotobank|ニュートンの重力定数|2=法則の辞典}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:はんゆういんりよくていすう}}
[[Category:重力]]
[[category:力学]]
[[category:一般相対性理論]]
[[Category:物理定数]]
[[Category:ヘンリー・キャヴェンディッシュ]]