三個の平方数の和のソースを表示

この記事は「[[平方数]]」、「[[三角数]]」、「[[多角数定理]]」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られている<ref name=wolfram>[http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html Wolfram MathWorld: Sum of Squares Function]</ref>ものであるが呼びかたが定まっていない。日本語では「三平方和定理」などと呼ばれることもあるが、[[ピタゴラスの定理]]とは全く別のものである。

----
自然数<math>N</math>が三個の[[平方数]]の和で表されるための必要十分条件は、<math>n\ge0,k\ge0,a\in\{1,2,3,5,6\}</math>により、<math>N=4^n(8k+a)</math>と表されることである。逆に、<math>N=4^n(8k+7)</math>で表される自然数は三個の平方数の和で表されない。これは[[アレクサンドリアのディオファントス|ディオファントス]]の時代から研究されてきた<ref name=wolfram/>ことであるが、1798年、[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]によって証明された。

== 証明 ==
十分条件の証明は初等的に行うことは可能であるが、[[二次形式]]に関する議論を必要とし、複雑である<ref>初等的な証明は例えば Melvyn B. Nathanson, ''Additive number theory : the classical bases'', GTM 164, Springer-Verlag, New York, Tokyo, 1996. の第1章に掲載されている。</ref>。必要条件の証明は次に記すとおり、容易である。

=== 必要条件 ===
<math>N\equiv7\;(\operatorname{mod}\;8)</math>が三個の平方数の和で表されないことは、<math>x^2\equiv{s\in\{0,1,4\}\;(\operatorname{mod}\;8)}</math>から明らかである。仮りに
:<math>N=4^n(8k+7)=x^2+y^2+z^2</math>
と表されるとすれば、<math>x,y,z</math>は全て偶数であるから
:<math>\begin{align}
&4^n(8k+7)=(2x')^2+(2y')^2+(2z')^2\\
&4^{n-1}(8k+7)=x'^2+y'^2+z'^2\\
\end{align}</math>
となり、数学的帰納法により、<math>N=4^n(8k+7)</math>は三個の平方数の和で表されない。



== 系 ==
=== 三個の三角数の和 ===
<math>8N+3</math>の形の自然数は高々三個の平方数の和で表されるから
:<math>8N+3=(2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2</math>
:<math>N=\frac{x(x+1)}{2}+\frac{y(y+1)}{2}+\frac{z(z+1)}{2}</math>
となる整数<math>x,y,z</math>が存在する。故に全ての自然数は高々三個の三角数の和で表される。

=== 四個の平方数の和 ===
全ての自然数は<math>n\ge0,k\ge0,a\in\{1,2,3,5,6,7\}</math>として<math>4^k(8n+a)</math>で表される。その中で<math>a\ne7</math>のものは高々三個の平方数の和で表され、<math>a=7</math>のものは<math>4^k(8n+6)+(2^k)^2</math>として高々四個の平方数の和で表される。従って、全ての自然数は高々四個の平方数の和で表される。なお、四個の平方数の和については初等的な証明（→[[多角数定理]]）が知られている。


== 関連項目 ==
*[[二個の平方数の和]]
*[[3つの立方数の和]]

== 出典 ==
<references/>

{{デフォルトソート:さんこのへいほうすうのわ}}
[[Category:数論]]
[[Category:数学に関する記事]]