三線極線のソースを表示

[[ユークリッド幾何学]]において、'''三線極線'''（さんせんきょくせん、[[英語|英]]:trilinear polar）とは[[三角形]]と点について一意的に決まる[[直線]]のひとつである<ref name="Coxeter">{{Cite book |last=Coxeter |first=H.S.M. |title=The Real Projective Plane |year=1993 |publisher=Springer |isbn=9780387978895 |pages=102–103}}</ref><ref>{{Cite web |title=三角形の心 |url=http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html |website=taurus.ics.nara-wu.ac.jp |access-date=2024-07-13}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第1巻 平面之部 |year=1913 |publisher=[[山海堂書店]] |pages=542,566 |doi=10.11501/930885}}</ref>。[[1865年]]、[[フランス]]の数学者[[ジャン＝ヴィクトル・ポンスレ|ポンスレ]] (1788–1867)によって提言された<ref name="Coxeter" /><ref>{{Cite book |last=Coxeter |first=H.S.M. |title=Projective Geometry |url=https://archive.org/details/projectivegeomet00coxe_193 |year=2003 |publisher=Springer |isbn=9780387406237 |pages=[https://archive.org/details/projectivegeomet00coxe_193/page/n40 29]}}</ref>。

== 定義 ==
[[ファイル:Trilinear_Polar.svg|右|サムネイル|338x338ピクセル|'''{{Mvar|P}}の三線極線'''{{Legend|#deb9a0|{{math|△''ABC''}}}}
{{Legend|#5552fa|{{mvar|P}}のチェバ三角形 {{math|△''DEF''}}}}
{{Legend-line|solid lime|{{mvar|P}}の[[チェバ線]]}}
{{Legend-line|solid red|三線極線 {{mvar|XYZ}}}}]]
{{Math|△''ABC''}} と点{{Mvar|P}}の[[チェバ線|チェバ三角形]]の[[配景]]の軸を{{Mvar|P}}の'''三線極線'''と言う。

つまり{{Mvar|AP, BP, CP}} と{{Mvar|BC, CA, AB}}の交点を{{Mvar|D, E, F}}、それぞれ直線の組{{Math|(''BC, EF''), (''CA, FD''), (''DE, AB'')}}の交点を{{Mvar|X, Y, Z}}とすると、[[デザルグの定理]]より{{Mvar|X, Y, Z}}は[[共線]]である。このとき直線{{Mvar|XYZ}}を{{Mvar|P}}の三線極線という<ref name="Coxeter" />。

{{Math|△''ABC''}}にたいして直線{{Mvar|L}}が三線極線となるような、点{{Mvar|P}}を{{Mvar|L}}の'''三線極点'''（trilinear pole）または'''三線極'''と言う。

[[三線座標]]で{{Mvar|P}}を {{Math|''p'' : ''q'' : ''r''}}とすると{{Mvar|P}}の三線極線は以下の等式で表される<ref>{{Cite web |author=Weisstein |first=Eric W. |title=Trilinear Polar |url=http://mathworld.wolfram.com/TrilinearPolar.html |publisher=MathWorld—A Wolfram Web Resource |access-date=31 July 2012}}</ref>。

: <math>\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 0.</math>

== 三線極点 ==
[[ファイル:Trilinear_Pole.svg|右|サムネイル|377x377ピクセル|直線{{Mvar|XYZ}}の三線極{{Legend-line|solid red|直線{{mvar|XYZ}}}}{{Legend|#deb9a0|{{math|△''ABC''}}}}
{{Legend|#82ecfa|{{mvar|XYZ}}に対するチェバ三角形{{math|△''UVW''}}}}
{{Legend-line|solid lime|[[チェバ線]]とその交点、三線極点{{mvar|P}}}}]]
{{Mvar|L}}と{{Mvar|BC, CA, AB}}の交点をそれぞれ{{Mvar|X, Y, Z}}、直線の組{{Math|(''BY, CZ''), (''CZ, AX''), (''AX, BY'')}}の交点をそれぞれ{{Mvar|U, V, W}}とする。 {{Math|△''ABC''}}と{{Math|△''UVW''}} は配景の関係にあり、その配景の中心{{Mvar|P}}は{{Mvar|L}}の三線極点となる。

== 三線極線の例 ==
以下に有名な三線極線を挙げる<ref>{{Cite web |author=Weisstein |first=Eric W. |title=Trilinear Pole |url=http://mathworld.wolfram.com/TrilinearPole.html |publisher=MathWorld—A Wolfram Web Resource. |access-date=8 August 2012}}</ref>。

* [[幾何中心|重心]]の三線極線、[[無限遠点|無限遠直線]]
* [[類似重心]]の三線極線、[[中心線 (幾何学)#重心の中心線:ルモワーヌ軸|ルモワーヌ軸]]
* [[垂心]]の三線極線、[[中心線 (幾何学)#外心の中心線:垂軸|垂軸]]
* 三角形の頂点に関しては、三線極線は定義されない

== 三線極点の束 ==
[[ファイル:Trilinear_poles_of_a_pencil_of_lines.gif|サムネイル|338x338ピクセル|定点{{Mvar|K}}を通る直線の三線極の軌跡は外接円錐曲線となる。]]
三線座標で{{Mvar|P}}を{{Math|''X'' : ''Y'' : ''Z''}} 、{{Mvar|K}}を{{Math|''x''{{sub|0}} : ''y''{{sub|0}} : ''z''{{sub|0}}}} とする。{{Mvar|P}}の三線極線は以下の式で表される。

: <math>\frac{x}{X} + \frac{y}{Y} + \frac{z}{Z} = 0.</math>

この直線が{{Mvar|K}}を通る場合、以下のように書くことができる。

: <math>\frac{x_0}{X} + \frac{y_0}{Y} + \frac{z_0}{Z} = 0.</math>

逆に、この式を満たす{{Mvar|P}}の軌跡は以下の式で表すことができる。

: <math>\frac{x_0}{x} + \frac{y_0}{y} + \frac{z_0}{z} = 0.</math>

この式が表す曲線は[[接円錐曲線|外接円錐曲線]]{{Mvar|E}}となる。 

{{Math|△''ABC''}}と、外接円錐曲線{{Mvar|E}}に対する[[接円錐曲線#極三角形|極三角形]]は{{Mvar|K}}を中心として配景的である<ref>{{Cite web |author=Weisstein |first=Eric W. |title=Perspector |url=https://mathworld.wolfram.com/Perspector.html |publisher=MathWorld—A Wolfram Web Resource. |access-date=3 February 2023}}</ref><ref>{{Cite web |author=Weisstein |first=Eric W. |title=Polar Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/PolarTriangle.html |publisher=MathWorld—A Wolfram Web Resource. |access-date=3 February 2023}}</ref>。 例えば、[[外接円]]の極三角形は[[外接三角形]]で、外接円上の点に対する三線極線は[[類似重心]]を通る。

== 関連 ==

* [[中心線 (幾何学)|Central lines]]
* [[三角形の中心]]
* [[極と極線]]
* [[直極点]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}{{Reflist|group=註}}

== 外部リンク ==

* Geometrikon page : [http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/TrilinearPolar.html 三線極線]
* Geometrikon page : [http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/IsotomicConicOfLine.html 直線の等長共役]
{{デフォルトソート:さんせんきよくせん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:直線]]