三角多項式のソースを表示

[[数学]]の一分野である[[数値解析]]および[[解析学]]における'''三角多項式'''（さんかくたこうしき、{{lang-en-short|''trigonometric polynomial''}}）は、一つ以上の[[自然数]] {{mvar|n}} に対する[[函数]] {{math|sin(''nx''), cos(''nx'')}} の[[線型結合|有限線型結合]]である。実数値函数に対しては、結合の係数は実数に取ることができる。[[複素数|複素係数]]の場合には、三角多項式とはフーリエ多項式（有限[[フーリエ級数]]）の事に他ならない。

三角多項式は、例えば[[周期函数]]の[[内挿|補間]]に適用できる{{仮リンク|三角補間|en|Trigonometric interpolation}}に利用されるなど、広く用いられる。[[離散フーリエ変換]]にも用いられる。

「三角多項式」という名称は、実数値の場合には「[[多項式]]の[[線型空間|空間]]に対する{{仮リンク|単項式基底|label=基底としての単項式|en|Monomial basis}}の代わりに {{math|sin(''nx''), cos(''nx'')}} を用いたもの」という[[アナロジー]]によって理解することができる。複素係数の場合には、三角多項式全体の成す空間は {{math|''e''<sup>''ix''</sup>}} の正負の整数冪によって[[線型包|張られる]]。

== 厳密な定義 ==
{{math|0 ≤ ''n'' ≤ ''N''}} に対して、[[複素数]]の定数 {{math|''a''<sub>''n''</sub>, ''b''<sub>''n''</sub> &isin; '''C'''}} を用いて
: <math>T(x) = a_0 + \sum_{n=1}^N a_n \cos (nx) + i\sum_{n=1}^N b_n \sin(nx) \quad (x \in \mathbb{R})</math>
の形に表される任意の函数 {{mvar|T}} を、次数 (degree) {{mvar|N}} の'''複素三角多項式''' (''complex trigonometric polynomial'') と総称する {{harv|Rudin|1987|p=88}}。[[オイラーの公式]]を用いれば、このような多項式を
: <math>T(x) = \sum_{n=-N}^N c_n e^{inx} \quad (x \in \mathbb{R})</math>
の形に書くことができる。同様に、{{math|''a''<sub>''n''</sub>, ''b''<sub>''n''</sub> (0 ≤ ''n'' ≤ ''N'')}} は[[実数]]で {{math|''a''<sub>''N''</sub> ≠ 0}} または {{math|''b''<sub>''N''</sub> ≠ 0}} であるものとして、
: <math>t(x) = a_0 + \sum_{n=1}^N a_n \cos (nx) + \sum_{n=1}^N b_n \sin(nx) \quad (x \in \mathbb{R})</math>
を次数 {{mvar|N}} の'''実三角多項式''' (''real trigonometric polynomial'') と言う {{harv|Powell|1981|p=150}}。

== 性質 ==
三角多項式は、[[実数直線]]上で定義され {{math|2{{pi}}}} の適当な倍数の周期を持つ[[周期函数]]と考えることもできるし、あるいは[[単位円]]上で定義された函数と考えることもできる。

基本的な結果として「三角多項式全体の成す集合は、単位円上定義された[[連続函数]]全体の成す空間において、[[一様ノルム]]に関して[[稠密集合|稠密]]である」こと {{harv|Rudin|1987|loc=Thm 4.25}} が挙げられる（これは[[ストーン&ndash;ヴァイアシュトラスの定理]]の特別の場合である）。より具体的に書けば、「任意の連続函数 {{mvar|&fnof;}} および実数 {{math|&epsilon; > 0}} に対して、適当な三角多項式 {{mvar|T}} が存在して全ての {{mvar|z}} に対して {{math|{{abs|&fnof;(''z'') &minus; T(''z'')}} < ''&epsilon;''}} とすることができる」。[[フェイェールの定理]]の述べるところによれば「{{mvar|&fnof;}} の[[フーリエ級数]]の部分和の算術平均は {{mvar|&fnof;}} に一様に収束する」から、これに基づいて {{mvar|&fnof;}} の近似三角多項式 {{mvar|T}} を求める具体的な方法が得られる。

次数 {{mvar|N}} の三角多項式は、それが零函数でない限りにおいて、{{math|[''a'', ''a'' + 2{{pi}})}} ({{math|''a'' &isin; '''R''')}} の形の任意の開区間に {{math|2''N''}} 個の[[函数の根|根]]の最大値を持つ {{harv|Powell|1981|p=150}}。

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Powell | first1=Michael J. D. | <!--author1-link=Michael J. D. Powell |--> title=Approximation Theory and Methods | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-29514-7 | year=1981}}
* {{Citation | last1=Rudin | first1=Walter | author1-link=ウォルター・ルーディン | title=Real and complex analysis | publisher=[[McGraw-Hill]] | location=New York | edition=3rd | isbn=978-0-07-054234-1 |mr=924157 | year=1987}}.

{{DEFAULTSORT:さんかくたこうしき}}
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