三角形の中心のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年5月}}
'''三角形の中心'''（さんかくけいのちゅうしん、{{lang-en-short|''triangle center''}}）とは、任意の[[三角形]]から一意的に求めることができる[[点 (幾何学)|点]]の総称である<ref>{{Google books|A3kVLpxHrDkC?hl|やさしくわかる数学のはなし77|page=68}}</ref>。他に'''芯'''、'''心'''などとも<ref>{{Cite book|和書 |title=初めて学ぶ人の幾何学 上巻 |publisher=先進堂 |year=1924 |page=93 |author=[[根津千治]] |id={{NDLJP|921988}}}}</ref>。

== 例 ==
以下のような例がある（他にもいろいろある）。

;3本の線の交点
: 3頂点または3辺に対し指定された方法で引かれた3本の直線が1点で交わる（共点である）とき、その交点。共点であることを示すために[[チェバの定理]]がよく利用される。
:例
:*[[垂心]] - 3本の[[高さ]]（各頂点からその対辺へ垂直に下ろした線分）の交点。
:*[[三角形の内接円と傍接円|内心]] - [[角の二等分線]]、3本の交点。
:*[[外心]] - 辺の[[垂直二等分線]]、3本の交点。
:*[[幾何中心#三角形の重心|重心]] - 3本の三角形の中線(各頂点とその対辺の中点を結ぶ線分)の交点。
:*加重重心 - 各頂点とその対辺の内分点を結ぶ線分、3本の交点。各頂点に各辺の比をいれかえた値の重りをつり下げるとつりあいの中心となる。
:*[[ジェルゴンヌ点]] - 頂点と対辺に内接円が接する点を結ぶ線3本の交点。
:[[エクセター点]]や[[マルファッティの円|安島-マルファッティ点]]のように、線分の作図に複数のステップを踏むものもある。
;円の中心
:特定の円の中心に当たる点。
:例
:*内心 - 3辺に接する円（[[内接円]]）の中心。
:*外心 - 3頂点を通る円（[[外接円]]）の中心。
:*[[三角形の内接円と傍接円|傍心]] - [[三角形の内接円と傍接円|三角形の傍接円]]の中心。
:*[[六点円]]の中心 - 各頂点から下ろした垂線の足から他の2辺に下ろした合計6個の垂線の足を通る円の中心。
:*[[九点円]]の中心 - 各辺の中点、各頂点からその対辺に下ろした垂線の足、垂心と各頂点の中点の9点を通る円の中心。
:*[[シュピーカー点]] - [[中点三角形]]の内心。
;既存の点や線から導かれるもの
:計量を最小にする点、特定の2点の中点、特定の線と円の交点など。
:例
:*[[フェルマー点]] - 3頂点からの距離の和が最小となる点。
:*九点円の中心 - 外心と垂心の中点に当たる点。
:*[[等力点]] - 3つの[[アポロニウスの円]]の交点。
上で例にあげた内心や九点円のように、1つの点を複数の方法で定義することも可能である。

== 歴史 ==
内心・外心・重心・垂心・傍心（[[五心]]）などは古くから知られており、[[エウクレイデス|ユークリッド]]の「[[ユークリッド原論|原論]]」にも記述が見られる。

他の点の多くは、[[1678年]]の[[チェバの定理]]より後となる。この定理によって存在が容易に示される心は少なくない。代表的な心に[[ジェルゴンヌ点]]などがある。

[[モーレーの定理]]の発表などもあり、19世紀から20世紀にかけて三角形の研究は広く行われた。この時期に発見された点には[[ブロカール点]]・[[ド・ロンシャン点]]などがある。

その後も新しい心が提示されており、[[エヴァンズビル大学]]内のサイト「[[Encyclopedia of Triangle Centers]]」には2024年現在62000以上の心が登録されている。

== 名称 ==
心の名前には、その心に関する研究をした人の名前が付けられることが多い。[[ナポレオンの定理|ナポレオン点]]の[[ナポレオン・ボナパルト]]や[[ソディ円|ソディ点]]の[[フレデリック・ソディ]]のように、数学者以外の名前がつく例もある。

[[マルファッティの円#安島-マルファッティ点|安島-マルファッティ点]]のように、日本人の名前が入っているものもある。

== 三線座標と重心座標 ==
平面上の点を表す座標として三角形の各頂点に対して対称な座標を導入すると、心の位置を表すのに便利である。そのような座標として、三線座標と重心座標が使われる。

'''三線座標系'''は、点を三角形の各辺からの距離を用いて表現する座標である。点Pが辺BCから ''h''<sub>A</sub>・辺CAから ''h''<sub>B</sub>・辺ABから ''h''<sub>C</sub> だけ離れているとき、Pの三線座標を (''h''<sub>A</sub>, ''h''<sub>B</sub>, ''h''<sub>C</sub>) で表す。実際にはこの値を単純な比に換算したものが用いられる。実際の距離で示したものを'''絶対三線座標'''という。辺に対し三角形と反対側にある場合には、この数字は負の値をとる。

例：[[三角形の内接円と傍接円|内心]]の三線座標は (1, 1, 1) であり、絶対三線座標は (''r'', ''r'', ''r'') である。ここで ''r'' は[[内接円]]の半径である。

'''{{ill2|重心座標系|en|Barycentric coordinate system}}'''は、△PBCと△PCAと△PABの面積の比で表される。点Pの重心座標が (''g''<sub>A</sub>, ''g''<sub>B</sub>, ''g''<sub>C</sub>) のとき、
:<math>\vec P=\frac{g_A \vec A+g_B \vec B+g_C \vec C }{g_ A+g_ B+g_C }</math>
が成り立つ。重心座標によって指定される点は、三角形の頂点 A, B, C に (''g''<sub>A</sub>, ''g''<sub>B</sub>, ''g''<sub>C</sub>) の質量を置いた時のいわゆる「加重重心」に相当する。

三線座標と重心座標の間には、''g''<sub>A</sub> : ''g''<sub>B</sub> : ''g''<sub>C</sub> = ''a h''<sub>A</sub> : ''b h''<sub>B</sub> : ''c h''<sub>C</sub> の関係が成り立つ。ここで、''a'', ''b'', ''c'' は 3 辺の長さである。

3 点の三線座標からなる行列式の値が 0 の場合、その 3 点は同一直線上にある。重心座標でも同様である。

主な心を三線座標・重心座標と共に示す<ref group="註">各座標は、比が意味を持つ事、および、角''A'', ''B'', ''C''と辺の長さ''a'', ''b'', ''c''は互換であることから、表示は一意的でない。表中の座標の表記は一例である。</ref>と以下のようになる:
{|class="wikitable" border="1"
!記号<ref group="註" name="symbol">記号は主に Encyclopedia of Triangle Centers に従う。</ref>!!名称!!三線座標または ''h''<sub>A</sub> = ''h''(''a'', ''b'', ''c'')<ref group="註" name="center-function">心の三線座標・重心座標は、その対称性から triangle center function ''h''(''a'', ''b'', ''c'') = (1/''a'') ''g''(''a'', ''b'', ''c'') が存在して、三線座標 (''h''(''a'', ''b'', ''c''), ''h''(''b'', ''c'', ''a''), ''h''(''c'', ''a'', ''b'')), 重心座標 (''g''(''a'', ''b'', ''c''), ''g''(''b'', ''c'', ''a''), ''g''(''c'', ''a'', ''b'')) と書ける。</ref>!!重心座標または ''g''<sub>A</sub> = ''g''(''a'', ''b'', ''c'') <ref group="註" name="center-function" />
|-
|''X''<sub>1</sub>, ''I''||[[内心]]||(1, 1, 1)||(''a'', ''b'', ''c'')
|-
|''X''<sub>2</sub>, ''G''||[[重心]]||(1/''a'', 1/''b'', 1/''c'')||(1, 1, 1)
|-
|''X''<sub>3</sub>, ''O''||[[外心]]||(cos ''A'', cos ''B'', cos ''C'')||(sin 2''A'', sin 2''B'', sin 2''C'')
(''a''<sup>2</sup>(''b''<sup>2</sup>''+c''<sup>2</sup>-''a''<sup>2</sup>), ''b''<sup>2</sup>(''c<sup>2</sup>+a''<sup>2</sup>''-b''<sup>2</sup>), ''c''<sup>2</sup>(''a''<sup>2</sup>''+b''<sup>2</sup>''-c''<sup>2</sup>))
|-
|''X''<sub>4</sub>, ''H''||[[垂心]]||(1/cos ''A'', 1/cos ''B'', 1/cos ''C'')||(tan ''A'', tan ''B'', tan ''C'')
(1/(''b''<sup>2</sup>''+c''<sup>2</sup>-''a''<sup>2</sup>), 1/(''c<sup>2</sup>+a''<sup>2</sup>''-b''<sup>2</sup>), 1/(''a''<sup>2</sup>''+b''<sup>2</sup>''-c''<sup>2</sup>))
|-
|''X''<sub>5</sub>, ''N''||[[九点円]]の中心||(cos(''B'' - ''C''), cos(''C'' - ''A''), cos(''A'' - ''B''))||''g''<sub>A</sub> = ''a''<sup>2</sup>(''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup>) - (''b''<sup>2</sup> - ''c''<sup>2</sup>)<sup>2</sup>
|-
|''X''<sub>6</sub>, ''K''||[[類似中線|類似重心]] (ルモワーヌ点)||(''a'', ''b'', ''c'')||(''a''<sup>2</sup>, ''b''<sup>2</sup>, ''c''<sup>2</sup>)
|-
|''X''<sub>7</sub>, ''G<sub>e</sub>''||[[ジェルゴンヌ点]]||(sec<sup>2</sup>(''A''/2), sec<sup>2</sup>(''B''/2), sec<sup>2</sup>(''C''/2))||(tan(''A''/2), tan(''B''/2), tan(''C''/2))<br />(1/(''b''+''c''-''a''), 1/(''c''+''a''-''b''), 1/(''a''+''b''-''c''))
|-
|''X''<sub>8</sub>, ''N<sub>a</sub>''||[[ナーゲル点]]||(csc<sup>2</sup>(''A''/2), csc<sup>2</sup>(''B''/2), csc<sup>2</sup>(''C''/2))||(cot(''A''/2), cot(''B''/2), cot(''C''/2))<br />(''b''+''c''-''a'', ''c''+''a''-''b'', ''a''+''b''-''c'')
|-
|''X''<small>9</small>'', M''
|[[ミッテンプンクト]]
|(''b+c-a,c+a-b,a+b-c'')
|(1+cos(''A''),1+cos(''B''),1+cos(''C''))
(''a''((''b+c'')<sup>2</sup>-''a''<sup>2</sup>), ''b''((''c+a'')<sup>2</sup>-''b''<sup>2</sup>), ''c''((''a+b'')<sup>2</sup>-''c''<sup>2</sup>))
|-
|''X''<sub>10</sub>, ''S<sub>p</sub>''
|[[シュピーカー点]]
|(''bc''(''b+c''), ''ca''(''a+b''), ''ab''(''a+b''))
|(''b+c, c+a, a+b'')
|-
|''X''<sub>11</sub>||[[フォイエルバッハ点]]
|(1- cos(''B'' - ''C''), 1- cos(''C'' - ''A''), 1- cos(''A'' - ''B''))
|''g''<sub>A</sub> = (''b'' +''c''-''a'')(''b''-''c'')<sup>2</sup> 
|-
|''X''<sub>12</sub>
|フォイエルバッハ点の{''X''<sub>1</sub>,''X''<sub>5</sub>}[[調和共役 (幾何学)|調和共役]]
|(1+ cos(''B'' - ''C'') ,1+ cos(''C'' - ''A'') ,1+ cos(''A'' - ''B''))
|''g''<sub>A</sub> =(''b''+''c'')<sup>2</sup>/(''b'' +''c''-''a'')
|-
|''X''<sub>13</sub>||第1[[フェルマー点]]||(csc(''A'' + π/3), csc(''B'' + π/3), csc(''C'' + π/3))||''g''<sub>A</sub> = ''a''<sup>4</sup> - 2(''b''<sup>2</sup> - ''c''<sup>2</sup>)<sup>2</sup> + ''a''<sup>2</sup>(''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + 4√3×△ABC)<ref group="註" name="面積">△ABC は三角形の面積であり、△ABC = (1/4)√[(''a'' + ''b'' + ''c'')(''a'' + ''b'' - ''c'')(''b'' + ''c'' - ''a'')(''c'' + ''a'' - ''b'')]</ref>
|-
|-
|''X''<sub>14</sub>||第2フェルマー点||(csc(''A'' - π/3), csc(''B'' - π/3), csc(''C'' - π/3))||''g''<sub>A</sub> = ''a''<sup>4</sup> - 2(''b''<sup>2</sup> - ''c''<sup>2</sup>)<sup>2</sup> + ''a''<sup>2</sup>(''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> - 4√3×△ABC)<ref group="註" name="面積" />
|-
|''X''<sub>15</sub>||第1[[等力点]]
|(sin(''A'' + π/3), sin(''B'' + π/3), sin(''C'' + π/3))
|''g''<sub>A</sub>=a<sup>2</sup>((a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup>-c<sup>2</sup>)√3-△ABC )<ref group="註" name="面積" />
|-
|''X''<sub>16</sub>||第2等力点
|(sin(''A'' - π/3), sin(''B'' - π/3), sin(''C'' - π/3))
|''g''<sub>A</sub>=a<sup>2</sup>((a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup>-c<sup>2</sup>)√3+△ABC )<ref group="註" name="面積" />
|-
|''X''<sub>17</sub>, ''N''||第1[[ナポレオンの定理|ナポレオン点]]||(sec(''A'' - π/3), sec(''B'' - π/3), sec(''C'' - π/3))||''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>18</sub>, ''N'''||第2ナポレオン点||(sec(''A'' + π/3), sec(''B'' + π/3), sec(''C'' + π/3))||''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>19</sub>
|[[クローソン点]]
|(tan ''A'', tan ''B'',  tan ''C'')
|''g''<sub>A</sub>=''a''(''b''<sup>2</sup>+''c''<sup>2</sup>-''a''<sup>2</sup>)
|-
|''X''<sub>20</sub>, ''L''||[[ド・ロンシャン点]]||''h''<sub>A</sub> = cos ''A'' - cos ''B'' cos ''C''||''g''<sub>A</sub> = tan ''B'' + tan ''C'' - tan ''A''
|-
|''X''<sub>21</sub>||[[シフラー点]]
|''h''<sub>A</sub> = (''b''+''c''-''a'')/(''b+c'')
|''g''<sub>A</sub> = sin ''A'' /(cos ''B''+cos ''C'')
|-
|''X''<sub>22</sub>, ''E<sub>x</sub>''||[[エクセター点]]
|''h<sub>A</sub>'' = ''a''(''b''<sup>4</sup>+''c''<sup>4</sup>-''a''<sup>4</sup>)
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>30</sub>
|[[オイラー線|オイラー無限遠点]]
|''h''<sub>A</sub> = cos ''A'' - 2cos ''B'' cos ''C''
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>39</sub>
|[[ブロカール点|ブロカール中点]]
|(''a''(''b''<sup>2</sup>+''c''<sup>2</sup>), ''b''(''c''<sup>2</sup>+''a''<sup>2</sup>), ''c''(''a''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>))
|(''a''<sup>2</sup>(''b''<sup>2</sup>+''c''<sup>2</sup>), ''b''<sup>2</sup>(''c''<sup>2</sup>+''a''<sup>2</sup>), ''c''<sup>2</sup>(''a''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>))
|-
|''X''<sub>40</sub>
|[[ベバン点]]
|''h''<sub>A</sub> = cos ''B'' +cos ''C'' -cos ''A'' -1
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>54</sub>
|[[コスニタの定理|コスニタ点]]
|(sec(''B'' - ''C''), sec(''C - A''), sec(''A'' - ''B''))
| ''g''A="(sin" A) hA |(sin ''A'' sec(''B'' - ''C''), sin ''B'' sec(''C - A''), sin ''C'' sec(''A'' - ''B''))
|-
|''X''<sub>68</sub>
|[[プラソロフ点]]
|''h''<sub>A</sub> = cos ''A'' sec 2''A''
|''g''<sub>A</sub> = (''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> - ''a''<sup>2</sup>)/(''a''<sup>4</sup> + ''b''<sup>4</sup> + ''c''<sup>4</sup> - 2''a''<sup>2</sup>''b''<sup>2</sup> - 2''a''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup>)
|-
|''X''<sub>76</sub>
|第3[[ブロカール点]]
|(1/''a<sup>3</sup>,1/b<sup>3</sup>,1/c<sup>3</sup>'')
|(1/''a''<sup>2</sup>'',1/b<sup>2</sup>,1/c<sup>2</sup>'')
|-
|''X''<sub>98</sub>
|[[タリー点|タリ―点]]
|''h''<sub>A</sub> = ''bc''/(''b''<sup>4</sup> + ''c''<sup>4</sup> - ''a''<sup>2</sup>''b''<sup>2</sup> - ''a''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup>)
|''g''<sub>A</sub> = ''1''/(''b''<sup>4</sup> + ''c''<sup>4</sup> - ''a''<sup>2</sup>''b''<sup>2</sup> - ''a''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup>)
|-
|''X''<sub>99</sub>
|[[シュタイナー点]]
|''h''<sub>A</sub> = ''bc''/(''b''<sup>2</sup> - ''c''<sup>2</sup>)
|''g''<sub>A</sub> = ''1''/(''b''<sup>2</sup> - ''c''<sup>2</sup>)
|-
|''X''<sub>110</sub>
|[[キーペルト円錐曲線|キーペルト放物線]]の[[焦点 (幾何学)|焦点]]
|''h''<sub>A</sub> = ''a''/(''b''<sup>2</sup> - ''c''<sup>2</sup>)
|''g''<sub>A</sub> = sec(''B - C'')+ sec(''C - A)''sec(''A - B)''
|-
|''X''<sub>111</sub>
|[[パリー点]]
|''h''<sub>A</sub> = ''a''/(2''a''<sup>2</sup>-''b''<sup>2</sup> - ''c''<sup>2</sup>)
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>115</sub>
|[[キーペルト双曲線]]の中心
|''h''<sub>A</sub> = ''bc''(''b''<sup>2</sup> - ''c''<sup>2</sup>)<sup>2</sup>
|''g''<sub>A</sub> = (''b''<sup>2</sup> - ''c''<sup>2</sup>)<sup>2</sup>
|-
|''X''<sub>125</sub>
|[[ジェラベク双曲線]]の中心
|''h''<sub>A</sub> = cos ''A'' sin<sup>2</sup>(''B'' - ''C'')
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>173</sub>
|[[合同二等辺化線点]]
|''h''<sub>A</sub> =tan ''A''/2 + sec ''A''/2
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>174</sub>
|[[イフ合同心]]
|(sec A/2 , sec B/2 , sec C/2)
|(sin A/2 , sin B/2 , sin C/2)
|-
|''X''<sub>175</sub>
|{{仮リンク|第1ソディ点|en|Isoperimetric point}}
|''h''<sub>A</sub> = sec(''A''/2) cos(''B''/2) cos(''C''/2) - 1
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>176</sub>||{{仮リンク|第2ソディ点|en|Equal detour point}}||''h''<sub>A</sub> = sec(''A''/2) cos(''B''/2) cos(''C''/2) + 1||''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>179</sub>||第1[[マルファッティの円#安島-マルファッティ点|安島-マルファッティ点]]||(sec<sup>4</sup>(''A''/4), sec<sup>4</sup>(''B''/4), sec<sup>4</sup>(''C''/4))||(sin ''A'' sec<sup>4</sup>(''A''/4), sin ''B'' sec<sup>4</sup>(''B''/4), sin ''C'' sec<sup>4</sup>(''C''/4))
|-
|''X''<sub>180</sub>||第2安島-マルファッティ点||''h''<sub>A</sub> = 1/''t''(''B'', ''C'', ''A'') + 1/''t''(''C'', ''B'', ''A'') - 1/''t''(''A'', ''B'', ''C''),<br>但し、''t''(''A'', ''B'', ''C'') = 1 + 2(sec(''A''/4) cos(''B''/4) cos(''C''/4))<sup>2</sup>||''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>181</sub>
|[[アポロニウス点]]
|''h''<sub>A</sub> = ''a''(''b+c'')<sup>2</sup>/(''b+c-a'')
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>182</sub>
|[[ブロカール円]]の中心
|(cos(A- ω) , cos(B - ω) , cos(C -ω))<ref group="註">ωは[[ブロカール点|ブロカール角]]である。</ref>
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>192</sub>
|[[合同辺平行線点]] 
|''bc''(''ca'' + ''ab'' - ''bc'') , ''ca''(''ab'' + ''bc'' - ''ca'') , ''ab''(''bc'' + ''ca'' - ''ab'')
|''ca'' + ''ab'' - ''bc'' ,''ab'' + ''bc'' - ''ca'' ,''bc'' + ''ca'' - ''ab''
|-
|''X''<sub>351</sub>
|[[パリー点|パリー円]]の中心
|''h''<sub>A</sub> = ''a''(''b''<sup>2</sup> - ''c''<sup>2</sup>)(''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> - 2''a''<sup>2</sup>)
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>354</sub>
|[[ヴァイルの定理 (幾何学)|ヴァイル点]]
|''h''<sub>A</sub> = (b - c)<sup>2</sup> - ab - ac
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>355</sub>
|[[フールマン円]]の中心
|''h''<sub>A</sub> =  ''a'' cos ''A'' - (''b'' + ''c'')cos(''B'' - ''C'')
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>356</sub>
|第一[[モーリーの定理|モーリー三角形]]の中心
|''h''<sub>A</sub> = cos A/3 + 2 cos B/3 cos C/3
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>357</sub>
|[[ホフスタッター点|第二モーリー中心]]
|sec A/3 , sec B/3 , sec C/3
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>359</sub>
|[[ホフスタッター点|ホフスタッター1点]]
|''h''<sub>A</sub> = ''a/A''
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>360</sub>
|ホフスタッター0点
|''h''<sub>A</sub> = ''A/a''
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>369</sub>
|{{仮リンク|第1周長三等分点|en|Trisected perimeter point}}
|''h''<sub>A</sub> =''bc''(''r'' - ''c'' + ''a'')(''r'' - ''a'' + ''b'')
ただし''r''は2''t''<sup>3</sup> - 3(''a'' + ''b'' + ''c'')t<sup>2</sup> + (''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + 8''bc'' + 8''ca'' + 8''ab'')t - (''cb''<sup>2</sup> + ''ac''<sup>2</sup> + ''ba''<sup>2</sup> + 5''bc''<sup>2</sup> + 5''ca''<sup>2</sup> + 5''ab''<sup>2</sup> + 9''abc'')=0''の実根''
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>389</sub>||[[六点円]]の中心||''h''<sub>A</sub> = cos ''A'' - cos 2''A'' cos(''B'' - ''C'')||''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>399</sub>
|[[パリー点#パリー鏡映点|パリー鏡映点]]
|''h''<sub>A</sub> = 5 cos ''A'' - 4 cos ''B'' cos ''C'' - 8 sin ''B'' sin ''C'' cos<sup>2</sup>''A''
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>402</sub>
|[[ゴッサード配景中心]]
|''h''<sub>A</sub> =(2''a''<sup>4</sup> - ''a''<sup>2</sup>''b''<sup>2</sup> - ''b''<sup>4</sup> - ''a''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> + 2''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> - ''c''<sup>4</sup>)(''a''<sup>8</sup> - ''a''<sup>6</sup>''b''<sup>2</sup> - 2''a''<sup>4</sup>''b''<sup>4</sup> + 3''a''<sup>2</sup>''b''<sup>6</sup> - ''b''<sup>8</sup> - ''a''<sup>6</sup>''c''<sup>2</sup> + 5''a''<sup>4</sup>''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> - 3''a''<sup>2</sup>''b''<sup>4</sup>''c''<sup>2</sup> - ''b''<sup>6</sup>''c''<sup>2</sup> - 2''a''<sup>4</sup>''c''<sup>4</sup> - 3''a''<sup>2</sup>''b''<sup>2</sup>''c''<sup>4</sup> + 4''b''<sup>4</sup>''c''<sup>4</sup> + 3''a''<sup>2</sup>''c''<sup>6</sup> - ''b''<sup>2</sup>''c''<sup>6</sup> - ''c''<sup>8</sup>)
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>481</sub>
|第一[[ソディ円#エップシュタイン点|エプシュタイン点]]
|''h''<sub>A</sub> = 2sec(''A''/2)cos(''B''/2)cos(''C''/2)-1
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>482</sub>
|第二エプシュタイン点
|''h''<sub>A</sub> = 2sec(''A''/2)cos(''B''/2)cos(''C''/2)+1
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>485</sub>
|外[[ベクタン点]]
|sec(''A'' - π/4) , sec(''B'' - π/4) , sec(''C'' -π/4)
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>486</sub>
|内ベクタン点
|sec(''A'' + π/4) , sec(''B'' + π/4) , sec(''C'' + π/4)
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>999</sub>
|[[混線内接円]]の[[根軸|根心]]
|''h''<sub>A</sub> =1/(''a''(''a''<sup>2</sup>''+'' 4''bc- b''<sup>2</sup>''- c''<sup>2</sup>))
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<small>1115</small>
|[[シュタイナー点#性質|シュタイナーの曲率重心]]
|(''bc''(π - ''A''), ''ca''(π - ''B''), ''ab''(π - ''C''))
|((π - ''A''), (π - ''B''), (π - ''C''))
|-
|''X''<sub>1116</sub>
|[[レスターの定理|レスター円]]の中心
|''h''<sub>A</sub> = ''bc''(''b''<sup>2</sup>-''c''<sup>2</sup>)(2(''a''<sup>2</sup>-''b''<sup>2</sup>)(''c''<sup>2</sup>-''a''<sup>2</sup>) + 3''R''<sup>2</sup>(2''a''<sup>2</sup>-''b''<sup>2</sup>-''c''<sup>2</sup>) - ''a''<sup>2</sup>(''a''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>+''c''<sup>2</sup>) + ''a''<sup>4</sup>+''b''<sup>4</sup>+''c''<sup>4</sup>)<ref group="註">Rは[[外接円]]の[[半径]]である。</ref>
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>1153</sub>
|[[ヴァン・ラモン円]]の中心
|''h''<sub>A</sub> = ''bc''(13''a''<sup>2</sup>(''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup>) + 10''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup> - 10''a''<sup>4</sup> - 4''b''<sup>4</sup> - 4''c''<sup>4</sup>) 
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>1323</sub>
|[[ソディ線|フレッチャー点]]
|''h''<sub>A</sub> = (sec<sup>2</sup>''A''/2)(2 cos<sup>2</sup>''A''/2 - cos<sup>2</sup>''B''/2 - cos<sup>2</sup>''C''/2)
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|-
|''X''<sub>1337</sub>
|第一[[フェルマー点#フェルマー点の特徴|ヴェルナウ点]]
|''h''<sub>A</sub> = ''a''(-2*(-''a''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>+''c''<sup>2</sup>)△ABC+√3*(''a''<sup>2</sup>-''c''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>)*(''a''<sup>2</sup>-''b''<sup>2</sup>+''c''<sup>2</sup>))*(√3*''b''<sup>2</sup>+2△ABC)*(√3*''c''<sup>2</sup>+2△ABC)
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>1338</sub>
|第ニヴェルナウ点
|''h''<sub>A</sub> = ''a''(-2*(-''a''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>+''c''<sup>2</sup>)△ABC+√3*(''a''<sup>2</sup>-''c''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>)*(''a''<sup>2</sup>-''b''<sup>2</sup>+''c''<sup>2</sup>))*(√3*''b''<sup>2</sup>-2△ABC)*(√3*''c''<sup>2</sup>-2△ABC)
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>1371</sub>
|第一[[ソディ円#リグビー点|リグビー点]]
|''h''<sub>A</sub> = 1 + 8(△ABC)/(3''a''(''b'' + ''c'' - ''a''))
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>1372</sub>
|第二リグビー点
|''h''<sub>A</sub> = 1 - 8(△ABC)/(3''a''(''b'' + ''c'' - ''a''))
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>1373</sub>
|第一[[ソディ円#グリフィス点|グリフィス点]]
|''h''<sub>A</sub> = 1 + 8(△ABC)/(''a''(''b'' + ''c'' - ''a''))
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>1374</sub>
|第二グリフィス点
|''h''<sub>A</sub> = 1 - 8(△ABC)/(''a''(''b'' + ''c'' - ''a''))
|''g''<sub>A</sub> = ''a'' ''h<sub>A</sub>''
|-
|''X''<sub>8142</sub>
|[[ソディ線#GEOS円|GEOS円]]の中心
|''h''<sub>A</sub> = ''a''<sup>2</sup>cot ''A''/(2△ABC)+cot ''B''cot C -a(b+c-a)/(2(a-b)(a-c))
|''g''<sub>A</sub> = (sin ''A'') ''h''<sub>A</sub>
|}

また、（厳密な意味で）三角形の心ではないが重要な点の座標を以下に挙げる:
{|class="wikitable" border="1"
!記号<ref group="註" name="symbol" />!!名称!!三線座標!!重心座標
|-
|A<br />B<br />C||頂点||(1, 0, 0)<br />(0, 1, 0)<br />(0, 0, 1)||(1, 0, 0)<br />(0, 1, 0)<br />(0, 0, 1)
|-
|''I''<sub>A</sub><br />''I''<sub>B</sub><br />''I''<sub>C</sub>||[[傍心]]||(-1, 1, 1)<br />(1, -1, 1)<br />(1, 1, -1)||(-''a'', ''b'', ''c'')<br />(''a'', -''b'', ''c'')<br />(''a'', ''b'', -''c'')
|-
|''P''<sub>1</sub><br />''U''<sub>1</sub>||第1[[ブロカール点]]<br />第2ブロカール点||(''c''/''b'', ''a''/''c'', ''b''/''a'')<br />(''b''/''c'', ''c''/''a'', ''a''/''b'')||(''ac''/''b'', ''ba''/''c'', ''cb''/''a'')<br />(''ab''/''c'', ''bc''/''a'', ''ca''/''b'')
|}
{{Reflist|group=註}}
== 出典 ==
<references />

== 外部リンク ==
* Clark Kimberling, [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html Encyclopedia of Triangle Centers] - [http://www.evansville.edu/ エヴァンズビル大学]。2024年3月12日更新版、2024年3月12日閲覧。
* Clark Kimberling, [http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/BicentricPairs.html Bicentric Pairs] - [http://www.evansville.edu/ エヴァンズビル大学]。2015年1月7日更新版、2015年5月24日閲覧。
* {{MathWorld|urlname=TriangleCenter|title=Triangle Center}}
* {{PlanetMath|urlname=TriangleCenter|title=triangle center}}
* {{SpringerEOM|urlname=Triangle_centre|title=Triangle centre|author= Hazewinkel, M.}}

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{{DEFAULTSORT:さんかくけいのちゆうしん}}
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