三角形の決定のソースを表示

'''三角形の決定'''（{{lang-la|solutio triangulorum}}）は、[[三角形]]の[[辺]]と角のいくつかが与えられた場合に、残りのものを求める[[三角法]]の問題である。[[測地学]]、[[天文学]]、[[建築]]、[[航法]]などに応用される。

==平面三角形の決定==
[[File:Triangle - angles, vertices, sides.svg|thumb|220px|right|]]
三角形には6つの特徴が存在し、上図の3辺（{{math|''a'', ''b'', ''c''}}）と3角（{{math|''α'', ''β'', ''γ''}}）である。古典的な平面三角形の問題は6つの特徴のうち3つが与えられた上で、残りを求めることであり、以下のいずれかの条件が与えられれば、一意に定まる<ref>{{cite web |url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-triangles.html |title=Solving Triangles |publisher=Maths is Fun |access-date=4 April 2012<!-- 6:37 (UTC)-->}}</ref><ref>{{cite web |url=http://web.horacemann.org/academics/math/pcbch/trig/triangle.html |title=Solving Triangles |publisher=web.horacemann.org |access-date=4 April 2012<!-- 6:42 (UTC)--> |url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20140107224746/http://web.horacemann.org/academics/math/pcbch/trig/triangle.html |archive-date=7 January 2014 }}</ref>。

*3辺 ('''SSS''')
*2辺とその間の角 ('''SAS''')
*2辺と1角 ('''SSA''')
*1辺と両端の角 ('''ASA''')
*1辺と2角 ('''AAS''').

すべての場合において、少なくとも1辺の長さが与えられる必要がある。[[角度]]のみでは、[[図形の相似|相似]]な三角形が解となり、辺の長さを求めることはできない。

===三角法の関係式===
[[File:Beliebiges Dreieck cen.png|thumb|upright=2.0|]]
標準的な解法は基本的な関係式を適用して求めることである。
;[[余弦定理]]
:<math>\begin{align}
a^2 &= b^2 + c^2 - 2 b c \cos \alpha \\
b^2 &= a^2 + c^2 - 2 a c \cos \beta \\
c^2 &= a^2 + b^2 - 2 a b \cos \gamma
\end{align}</math>
;[[正弦定理]]
:<math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>
;[[三角形の内角の和]]:
:<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ </math>
;[[正接定理]]
:<math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan\dfrac{\alpha-\beta}{2}}{\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}}.</math>
他にも[[余接定理]]や{{仮リンク|モルワイデの公式|en|Mollweide's formula}}などが存在する。

====備考====
#未知の角度を求めるには、正弦定理より余弦定理の方が安全である。なぜなら、正弦の値からは、0°から180°までの範囲では、角度が一意に定まることはないからである（例えば、{{math|sin ''β'' {{=}} 0.5}}ならば、{{math|''β''}}は30°または150°である）。余弦定理ならば、そうした問題は起こらず、0°から180°までの範囲では、余弦からただ一つの値として角度が求められる。一方で、角度が小さい（または180°に近い）場合は、逆余弦関数の導関数が1または-1で発散するため、余弦より正弦で求める方が数値的に安定している。
#与えられた特徴の相対的な位置が既知だと仮定する。そうでない場合は、三角形の鏡面反射もまた解になる。例えば、3辺の長さにより、三角形または鏡面反射が一意的に求められる。

===3辺 (SSS)===
[[File:resolve triangle with a b c.png|thumb|right|250px|]]

3辺{{math|''a'', ''b'', ''c''}}が与えられた場合は、余弦定理から角度{{math|''α'', ''β''}}を求めることができる<ref>{{cite web |url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-sss-triangles.html |title=Solving SSS Triangles |publisher=Maths is Fun |access-date=13 January 2015}}</ref>。
:<math>
\begin{align}
\alpha & = \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c} \\[4pt]
\beta & = \arccos \frac{a^2 + c^2 - b^2} {2 a c}.
\end{align}
</math>

また、内角の和から、{{math|''γ'' {{=}} 180° − ''α'' − ''β''}}である。

正弦定理から{{math|''β''}}を求める方法も存在するが、（上述の備考1にあるように）鋭角と鈍角を混同する可能性がある。

この他にも余接定理により求める方法がある。

===2辺とその間の角 (SAS)===
[[File:resolve triangle with a b gamma.png|thumb|right|250px|]]

2辺{{math|''a'', ''b''}}とその間の角{{math|''γ''}}が与えられた場合は、残りの1辺を余弦定理により求めることができる<ref>{{cite web |url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-sas-triangles.html |title=Solving SAS Triangles |publisher=Maths is Fun |access-date=13 January 2015}}</ref>。
:<math>c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}.</math>
また、余弦定理より
:<math> \alpha =  \arccos \frac{b^2 + c^2 - a^2} {2 b c}.</math>
最後に、内角の和から、{{math|''β'' {{=}} 180° − ''α'' − ''γ''}}である。

===2辺と1角 (SSA)===
[[File:resolve triangle with b c beta.png|thumb|right|250px|]]
[[File:Resolve triangle with b c beta 2 solutions.png|thumb|250px|]]

すべての場合で解が存在するとは限らず、角に隣接する辺の長さが他の辺より小さい場合にのみ一意に定まる。2辺 {{math|''b'', ''c''}}と角{{math|''β''}}が与えられた場合は、 正弦定理より{{math|''γ''}}を求めることができる<ref>{{cite web |url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-ssa-triangles.html |title=Solving SSA Triangles |publisher=Maths is Fun |access-date=9 March 2013}}</ref>。
:<math>\sin\gamma = \frac c b \sin\beta.</math>
さらに、{{math|''D'' {{=}} {{sfrac|''c''|''b''}} sin ''β''}}とすると、以下の4つの場合が存在する。
#{{math|''D'' > 1}}のとき、辺{{math|''b''}}は直線 {{math|''BC''}}と交点を持たないため、条件を満たす三角形は存在しない。{{math|''β'' ≥ 90°}}かつ{{math|''b'' ≤ ''c''}}の場合も同様である。
#{{math|''D'' {{=}} 1}}のとき、ただ一つの解が存在し、 {{math|''γ'' {{=}} 90°}}（直角）である。
#{{math|''D'' < 1}}のとき、以下の2つの場合が存在する。
## {{math|''b'' ≥ ''c''}}ならば{{math|''β'' ≥ ''γ''}}（より大きい辺がより大きい角に対応する）である。2つの鈍角を持つ三角形は存在しないため、{{math|''γ''}}は鋭角であり、{{math|''γ'' {{=}} arcsin ''D''}}が一意に定まる。
## {{math|''b'' < ''c''}}ならば{{math|''γ''}}は鋭角（{{math|''γ'' {{=}} arcsin ''D''}}）または鈍角（{{math|''γ′'' {{=}} 180° − ''γ''}}）になる可能性がある。上図では、第1解として点{{math|''C''}}、辺{{math|''b''}}、角{{math|''γ''}}を、第2解として 点{{math|''C′''}}、平面{{math|''b′''}}、角{{math|''γ′''}}が表されている。

{{math|''γ''}}が鈍角ならば、{{math|''α'' {{=}} 180° − ''β'' − ''γ''}}である。

残りの1辺は正弦定理または余弦定理により求めることができる。
:<math>a = b\ \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}</math>

:<math>a = c\cos\beta \pm  \sqrt{b^2 -c^2\sin^2\beta} </math>

===1辺と両端の角 (ASA)===
[[File:resolve triangle with c alpha beta.png|thumb|right|250px|]]

1辺{{math|''c''}}と両端の2角{{math|''α'', ''β''}}が与えられたとする。

内角の和から、{{math|''γ'' {{=}} 180° − ''α'' − ''β''}}である。

残りの2辺は正弦定理により求めることができる<ref>{{cite web |url=http://www.mathsisfun.com/algebra/trig-solving-asa-triangles.html |title=Solving ASA Triangles |publisher=Maths is Fun |access-date=13 January 2015}}</ref>。
:<math>a = c\ \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}; \quad b = c\ \frac{\sin\beta}{\sin\gamma}.</math>

:<math>a = c \frac{\sin\alpha}{\sin\alpha \cos \beta +\sin\beta \cos \alpha}</math>
:<math>b = c \frac{\sin\beta}{\sin\alpha \cos \beta +\sin\beta \cos \alpha}</math>

===1辺と隣接する1角と辺の対角 (AAS)===
ASAの場合と同様に、内角の和から残りの角を求めて、正弦定理により残りの2辺を求める。

===その他の長さ===
多くの場合、三角形の[[中線]]、[[頂垂線 (三角形)|高さ]]、[[角の二等分線]]の長さなど3つの条件が与えられれば、求めることができる。ポサメンティエとレーマン<ref>Alfred S. Posamentier and Ingmar Lehmann, ''[[The Secrets of Triangles]]'', Prometheus Books, 2012: pp. 201–203.</ref>は、95つの場合に対して平方根以下を使った可解性の問題の結果（すなわち[[定規とコンパスによる作図|作図可能性]]）を一覧にしており、63つの場合で作図可能である。
==球面三角形の決定==
{{main|球面三角法}}
==応用例==
==関連項目==
*[[図形の合同]]
*{{仮リンク|ハンゼンの問題|en|Hansen's problem}}
*[[Hinge theorem]]
*[[Lénárt sphere]]
*{{仮リンク|スネリウス・ポテノーの問題|en|Snellius–Pothenot problem}}
==脚注==
{{Reflist}}
*{{cite book |author=Euclid |author-link=Euclid |editor=Sir Thomas Heath |editor-link=Thomas Little Heath |title=The Thirteen Books of the Elements. Volume I |others=Translated with introduction and commentary |publisher=Dover |year=1956 |orig-year=1925 |isbn=0-486-60088-2 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl }}
==外部リンク==
*[https://web.archive.org/web/20040404234808/http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ Trigonometric Delights], by [[Eli Maor]], Princeton University Press, 1998.  Ebook version, in PDF format, full text presented.
*[https://books.google.com/books/about/Trigonometry.html?id=RsxHAAAAIAAJ Trigonometry] by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented. Google book.
*''[http://mathworld.wolfram.com/SphericalTrigonometry.html Spherical trigonometry]'' on Math World.
*[http://www.rwgrayprojects.com/rbfnotes/trig/strig/strig.html Intro to Spherical Trig.] Includes discussion of The Napier circle and Napier's rules
*[https://archive.org/details/sphericaltrigono19770gut Spherical Trigonometry &mdash; for the use of colleges and schools] by I. Todhunter, M.A., F.R.S. Historical Math Monograph posted by [http://historical.library.cornell.edu/math/index.html Cornell University Library].
*''[http://www.rlefebvre.ca/triangulateur/triangulator.htm Triangulator]'' &ndash; Triangle solver. Solve any plane triangle problem with the minimum of input data. Drawing of the solved triangle.
*''[http://gnomonique.fr/trisph/index_en.htm TriSph]'' &ndash; Free software to solve the spherical triangles, configurable to different practical applications and configured for gnomonic.
*''[https://web.archive.org/web/20141009115504/https://files.nyu.edu/emf202/public/js/spherical.html  Spherical Triangle Calculator]'' &ndash; Solves spherical triangles.
*''[http://triancal.x10.bz TrianCal]'' &ndash; Triangles solver by [[Jesus S.]]

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[[Category:球面三角法]]
[[Category:三角法]]
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