三角形関数のソースを表示

{{出典の明記|date=2022年2月}}
{{混同|三角関数}}
[[画像:Triangular function.svg|thumb|right|三角形関数]]
'''三角形関数'''（さんかくけいかんすう、{{lang-en-short|triangular function}}）は、以下のように定義される。

:<math>
\begin{align}
\operatorname{tri}(t) = \land (t) 
&:= \max(1 - |t|, 0) \\
&= 
\begin{cases}
1 - |t|, & |t| < 1 \\
0, & \mbox{otherwise} 
\end{cases}\\
&=\frac{1}{2}|t+1|+\frac{1}{2}|t-1|-|t|
\end{align}
</math>

あるいは等価的に2つの[[矩形関数]]の[[畳み込み]]で表すこともできる。

:<math>
\begin{align}
\operatorname{tri}(t) = \operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t) 
&= \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(t-\tau)\ d\tau\\
&= \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(\tau-t)\ d\tau 
\end{align}
</math>

これを'''テント関数'''（{{lang-en-short|tent function}}）とも呼ぶ。三角形関数は[[信号処理]]や[[通信工学]]で、理想的信号の表現としてよく使われ、そこからより現実的な信号を引き出すことができるプロトタイプまたはカーネルとして利用する。[[パルス符号変調]]でも[[デジタル信号]]を転送するパルスの波形として利用し、受信側では[[整合フィルタ]]として利用する。また、[[窓関数]]の'''三角窓'''と等価である（バートレット窓とも呼ぶ）。

尺度を変換する場合、<math>a \ne 0\,</math> である任意のパラメータを使い、次のように表す。

:<math>
\begin{align}
\operatorname{tri}(t/a) &= \int_{-\infty}^\infty \mathrm{rect}(\tau) \cdot \mathrm{rect}(\tau - t/a)\ d\tau \\
&= 
\begin{cases}
1 - |t/a|, & |t| < |a| \\
0, & \mbox{otherwise} 
\end{cases}
\end{align}
</math>

三角形関数の[[フーリエ変換]]は、これを矩形関数の畳み込みで表し、フーリエ変換の畳み込み特性から、次のように導き出せる。

:<math>
\begin{align}
\mathcal{F}\{\operatorname{tri}(t)\} 
&= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t) * \operatorname{rect}(t)\}\\
&= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}\cdot \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}\\
&= \mathcal{F}\{\operatorname{rect}(t)\}^2\\
&= \mathrm{sinc}^2(f) 
\end{align}
</math>

== 関連項目 ==
*[[テント写像]]
*[[三角波 (波形)]]

{{Mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:さんかつけいかんすう}}
[[Category:初等関数]]
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