三角積分のソースを表示

{{Expand English|date=2023年1月}}

'''三角積分'''（さんかくせきぶん、{{lang-en|trigonometric integral}}）は[[数学]]において、[[三角関数]]を含む[[積分]]によって定義される[[特殊関数]]の一つである。

== 定義 ==
'''正弦積分''' ({{En|sine integral}}) は[[三角関数|正弦関数]]を含む積分によって定義される関数である。

: <math>\begin{align}
&\operatorname{Si}(z)=\int_{0}^{z}\frac{\sin{t}}{t} \mathrm{d}t\\
&\operatorname{si}(z)=-\int_{z}^{\infty}\frac{\sin{t}}{t} \mathrm{d}t=\operatorname{Si}(z)-\frac{\pi}{2}
\end{align}</math>

被積分関数は非正規化[[Sinc関数]]といい、[[球ベッセル関数]]のα=0のときの値に等しい。

'''余弦積分''' ({{En|cosine integral}}) は[[三角関数|余弦関数]]を含む積分によって定義される関数である。

: <math>\operatorname{Ci}(z)=-\int_{z}^{\infty}\frac{\cos{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t</math>

複素関数としての余弦積分は[[多価関数|多価]]であるが、次のように[[複素対数関数]]と[[正則関数]]の和で表すことができる。

: <math>\begin{align}
\operatorname{Ci}(z) &= \gamma+\log{z}-\operatorname{Cin}(z) \\
\operatorname{Cin}(z) &= \int_{0}^{z}\frac{1-\cos{t}}{t}\,\operatorname{d}\!t
\end{align}</math>

== 性質 ==

=== 微分積分 ===

* <math>{d \over dz}\operatorname{Si}(z)={d \over dz}\operatorname{si}(z)=\frac{\sin(z)}{z}</math>
* <math>{d \over dz}\operatorname{Ci}(z)=\frac{\cos(z)}{z}</math>
* <math>\int \operatorname{Si}(z)dz=z\operatorname{Si}(z)+\cos(z)+C</math>
* <math>\int \operatorname{Ci}(z)dz=z\operatorname{Ci}(z)-\sin(z)+C</math>

また、Si(z)のz→∞のときの値

:<math>\lim_{z\rightarrow\infty}\operatorname{Si}(z)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(t)}{t}dt=\frac{\pi}{2}</math>

は[[ディリクレ積分]]といい、[[複素積分]]などを用いることによって示せる。

=== 級数展開 ===
ローラン級数

:<math>\operatorname{Si}(z)=z\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kz^{2k}}{(2k+1)^2(2k)!}</math>

:<math>\operatorname{Ci}(z)=\gamma+\log(z)+\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^kz^{2k}}{k(2k)!}</math>

ベッセル級数

:<math>\operatorname{Si}(z)=\pi\sum_{k=0}^{\infty}J_{\frac{1}{2}+k}\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^2</math>

超幾何級数

:<math>\operatorname{Si}(z)=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2},\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]</math>

:<math>\begin{align}
\operatorname{Ci}(z) &=\gamma+\log{z}-\frac{z^2}{4}\cdot{_2F_3}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2,\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\
\end{align}</math>

=== 指数積分との関係 ===

:<math>\operatorname{Ein}(\pm iz) = \operatorname{Cin}(z)\pm i\operatorname{Si}(z)</math>

== 参考文献 ==
* {{AS ref|5|231}}{{cite arXiv|eprint=0912.3844|class=math.CA|last1=Mathar|first1=R.J.|title=Numerical evaluation of the oscillatory integral over exp(''i{{pi}}x'')&middot;''x''<sup>1/''x''</sup> between 1 and ∞|year=2009|at=Appendix B}}
* {{cite book |last1=Press |first1=W.H. |last2=Teukolsky |first2=S.A. |last3=Vetterling |first3=W.T. |last4=Flannery |first4=B.P. |year=2007 |title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |edition=3rd |publisher=Cambridge University Press |publication-place=New York |isbn=978-0-521-88068-8 |chapter=Section&nbsp;6.8.2 – Cosine and Sine Integrals |chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=300}}
* {{cite web |first=Dan |last=Sloughter |url=http://de2de.synechism.org/c5/sec58.pdf |title=Sine Integral Taylor series proof |website=Difference Equations to Differential Equations |archive-url= https://web.archive.org/web/20160313080610/http://de2de.synechism.org/c5/sec58.pdf |archive-date=2016-03-13  |access-date=2023-06-01 }}
* {{dlmf|id=6|title=Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals|first=N.M.|last=Temme}}

== 関連項目 ==

* [[一般化された超幾何関数]]
* [[三角関数]]
* [[指数積分]]
* [[Sinc関数]]
* [[ディリクレ積分]]
* [[特殊関数]]
* [[ベッセル関数]]

== 外部リンク ==

* [https://ja.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Si%5C%2840%29z%5C%2841%29 Si(z) - Wolfram|Alpha (wolframalpha.com)]
* [https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Ci%5C%2840%29z%5C%2841%29&lang=ja Ci(z) - Wolfram|Alpha (wolframalpha.com)]
* [https://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/SinIntegral/06/ShowAll.html Sine integral: Series representations (wolfram.com)]
* [https://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/CosIntegral/26/ShowAll.html Cosine integral: Representations through more general functions (wolfram.com)]
* [https://keisan.casio.jp/exec/system/1166087007 正弦積分 Si(x) - 高精度計算サイト (casio.jp)]

* http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
* {{springer|title=Integral sine|id=p/i051650}}
* {{springer|title=Integral cosine|id=p/i051370}}
{{数学}}
{{DEFAULTSORT:さんかくせきぶん}}
[[Category:三角法]]
[[Category:積分法]]
[[Category:超幾何級数]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]