三角行列のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年8月}
[[File:Cyclic group Z4; Cayley table; powers of Gray code permutation (small).svg|thumb|[[Logical matrix|二値]]下単三角[[テプリッツ行列|テプリッツ]]行列の、[[有限体|'''F'''<sub>2</sub>]]の演算による積。<br>これらは[[巡回群|Z<sub>4</sub>]]の[[乗積表]]を構成し、[[v:Gray code permutation powers#4 bit|4ビットグレイコードの置換のべき乗]]に対応する。]]

[[数学]]の一分野[[線型代数学]]における'''三角行列'''（さんかくぎょうれつ、{{lang-en-short|''triangular matrix''}}）は特別な種類の[[正方行列]]である。正方行列が '''{{vanc|下半三角}}'''または'''{{vanc|下三角}}'''であるとは[[主対角線]]より「上」の成分がすべて零となるときに言い、同様に'''{{vanc|上半三角}}'''または'''{{vanc|上三角}}'''とは主対角線より「下」の成分がすべて零となるときに言う。三角行列は上半または下半三角となる行列のことを言い、また上半かつ下半三角となる行列は[[対角行列]]と呼ぶ。

三角行列に関する行列方程式は解くことが容易であるから、それは[[数値解析]]において非常に重要である。[[LU分解]]アルゴリズムにより、[[正則行列]]が下半三角行列 {{mvar|L}} と上半三角行列 {{mvar|U}} との積 {{mvar|LU}} に書くことができるための[[必要十分条件]]は、その行列の首座[[小行列式]] (leading principal minor) がすべて非零となることである。

== 定義と簡単な性質 ==
'''下三角行列'''または'''左三角行列'''は <math display="block"> L=\begin{bmatrix}
 \ell_{1,1} & & \cdots & & 0 \\
 \ell_{2,1} & \ell_{2,2} & & & \\
 \ell_{3,1} & \ell_{3,2} & \ddots & & \vdots \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \\
 \ell_{n,1} & \ell_{n,2} & \dotsb & \ell_{n,n-1} & \ell_{n,n}
\end{bmatrix}</math> なる形に書ける行列を言い、同様に'''上三角行列'''または'''右三角行列'''は <math display="block"> U =\begin{bmatrix}
 u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & u_{1,n}\\
 & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & u_{2,n}\\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\
 & & & \ddots & u_{n-1,n}\\
 0 & & \cdots & & u_{n,n}
\end{bmatrix}</math> の形に書けるものをいう。ここで用いたような、下三角行列を変数 {{mvar|L}}（'''l'''eft or '''l'''ower の略）や上三角行列を変数 {{mvar|U}}（'''u'''pper の略）または {{mvar|R}}（'''r'''ight の略）で表す用法が一般的にしばしば用いられる。

上半かつ下半三角な行列は[[対角行列]]といい、また三角行列に[[行列の相似|相似]]な行列は'''[[シュール分解|三角化]]可能'''であると言う。

上三角（resp. 下三角）であるという性質は様々な行列演算に関して保たれる: 
* 二つの上（resp. 下）三角[[行列の和]]は上（resp. 下）三角行列である;
* 二つの上（resp. 下）三角[[行列の積]]は上（resp. 下）三角行列である; 
* 正則上（resp. 下）三角行列の[[逆行列]]は上（resp. 下）三角である;
* 上（resp. 下）三角のスカラー倍は上（resp. 下）三角である。

これらの事実により、与えられたサイズの上（resp. 下）三角行列の全体は、同じサイズの[[正方行列]]の成す[[結合多元環]]（[[行列環]]）の[[部分多元環]]を成すことがわかる。さらに加えて、[[リー括弧積]]を[[交換子]] {{math|{{bracket|''A'', ''B''}} {{coloneqq}} ''AB'' &minus; ''BA''}} を与えれば、同じサイズの正方行列全体の成す[[リー環]]の部分リー環としても見ることもできる。この上（resp. 下）三角行列全体の成すリー環は[[可解リー環]]であり、またしばしば全行列リー環の{{ill2|ボレル部分リー環|en|Borel subalgebra}}とも呼ばれる。

上記の記述においては下半と上半を混ぜた演算を行ってはならない（その場合、一般には三角行列にならない）。例えば上三角行列と下三角行列の和は任意の行列となり得るし、下三角行列と上三角行列との積も三角行列でないものになり得る。
{{see also|アフィン群}}

== 特別なクラス ==
=== 冪単三角行列 ===
主対角成分が全て {{math|1}} の三角行列は'''単三角行列''' (''uni&shy;triangular'') という{{efn|'''単位三角行列''' (''unit triangular'') とか正規化された (''normed triangular'') などともいうが、単位三角行列は単位行列ではないし、正規化された三角行列は[[行列ノルム|ノルム化された]]わけでもない}}。単位行列は上半単三角かつ下半単三角なる唯一の行列である。

任意の単三角行列は[[冪単]]である。上（resp. 下）単三角行列全体の成す集合は[[リー群]]を成す。

=== 冪零三角行列 ===
主対角成分が全て零の三角行列は'''狭義'''三角行列であるという。任意の狭義三角行列は[[冪零行列]]であり、上（resp. 下）三角行列全体の成す集合は[[冪零リー環]] <math display="inline">\mathfrak{n}</math> を成す。このリー環はすべての上（resp. 下）三角行列全体の成すリー環 <math display="inline">\mathfrak{b}</math> の[[導来リー環]]: <math display="inline">\mathfrak{n} = [\mathfrak{b},\mathfrak{b}]</math> であり、かつこのリー環 <math display="inline">\mathfrak{n}</math> は上（resp. 下）単三角行列全体の成すリー群のリー環である。

実は[[エンゲルの定理]]により、任意の有限次元冪零リー環は狭義上三角行列からなる部分リー環に共軛、すなわち任意の有限次元冪零リー環は狭義上三角行列に同時三角化可能である。

=== フロベニウス行列 ===
{{main|{{ill2|フロベニウス行列|en|Frobenius matrix}}}}
単三角行列が'''原子的''' (''atomic''; アトミック) とは、ただ一つの列を除いて非対角成分が全て零であるときに言う。そのような行列を'''フロベニウス行列'''や'''ガウス行列'''（ガウス変換行列）などとも呼ぶ。つまり、下半フロベニウス行列は <math display="block"> \mathbf{L}_{i} =
\begin{bmatrix}
 1 & & & \cdots & \cdots & & & 0 \\
 0 & \ddots & & & & & & \\
 & \ddots & 1 & & & & & \\ \vdots
 & & 0 & 1 & & & & \vdots \\
\vdots & & &\ell_{i+1,i}& 1 & & & \vdots \\
 & & \vdots & \vdots & 0 & \ddots & & \\
 & & & \vdots & \vdots & \ddots & 1 & \\
 0 & \dotsb & 0 &\ell_{n,i} & 0 & \dotsb & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math> という形をしている。フロベニウス行列の逆行列はふたたびフロベニウスで、もとのフロベニウス行列の非対角成分をすべて符号反転したものによって与えられる。

== 特徴的な性質 ==
[[正規行列|正規]]三角行列は[[対角行列]]である。これは正規三角行列 {{mvar|A}} に対して {{mvar|A*A}} および {{mvar|AA*}} の対角成分を見ればわかる。

上三角行列の[[転置行列]]は下三角であり、下三角の転置は上三角である。

三角行列の[[行列式]]は対角成分の積である。任意の三角行列 {{mvar|A}} に対して {{math|''λI'' &minus; ''A''}} もまた三角行列で、その行列式は {{mvar|A}} の[[固有多項式]]であるから、実は {{mvar|A}} の対角成分の全体は {{mvar|A}} の[[固有値]]全体の成す[[多重集合]]を与える（重複度 {{mvar|m}} の固有値はちょうど {{mvar|m}} 個が対角成分に現れる）{{sfn|Axler|1996|pages=86&ndash;87, 169}}。

どんな下三角行列もある上三角行列と[[行列の相似|相似]]である。より具体的には
:<math>\begin{align}
&\begin{bmatrix}
 & & & 1 \\
 & & 1 & \\
 & \dots & & \\
1 & & &
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
\ell_{1 1} & & & \\
\ell_{2 1} & \ell_{2 2} & & \\
\vdots & \vdots & \ddots & \\
\ell_{n 1} & \ell_{n 2} & \dots & \ell_{n n}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 & & & 1 \\
 & & 1 & \\
 & \dots & & \\
1 & & &
\end{bmatrix}
\\
&\qquad=
\begin{bmatrix}
 & & & 1 \\
 & & 1 & \\
 & \dots & & \\
1 & & &
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 & & & \ell_{1 1} \\
 & & \ell_{2 2} & \ell_{2 1} \\
 & \dots & \vdots & \vdots \\
\ell_{n n} & \dots & \ell_{n 2} & \ell_{n 1}
\end{bmatrix}
\\
&\qquad=
\begin{bmatrix}
\ell_{n n} & \dots & \ell_{n 2} & \ell_{n 1} \\
 & \ddots & \vdots & \vdots \\
 & & \ell_{2 2} & \ell_{2 1} \\
 & & & \ell_{1 1}
\end{bmatrix}
\end{align}</math>
となる。同様にして、どんな上三角行列もある下三角行列と相似であることが示せる。したがって、三角化可能性の定義などで相似な行列を考えるときには、一般性を失うことなく議論を三角行列から上三角行列に制限することができる。

== 三角化可能性 ==
三角行列と[[相似行列|相似]]な行列は'''三角化可能''' (triangularizable) であるという。抽象的には[[完全旗]]を固定することに同値である。上三角行列とは[[標準基底]] {{math|(''e''{{sub|1}}, &hellip;, ''e''{{sub|''n''}})}} により与えられる[[標準旗]]
:<math> \langle e_1 \rangle < \langle e_1, e_2 \rangle < \dotsb < \langle e_1, e_2, \dotsc, e_{n-1} \rangle </math>
を保つ行列に他ならない。完全旗は互いに[[行列の相似|共役]]なので（[[一般線形群]]が基底に[[推移的群作用|推移的]]に[[群作用|作用]]するから）、ある完全旗を固定する行列は標準旗を固定する行列と相似である。

任意の複素正方行列は三角化可能である{{sfn|Axler|1996|pages=86&ndash;87, 169}}。実際には行列 {{mvar|A}} が、その[[固有値]]すべてを含む[[体]]（たとえば[[代数的閉体]]）上で三角行列と相似であることが示せる。これは帰納法により証明できる。行列 {{mvar|A}} は固有ベクトルをもつので、その[[線型包|生成系]]による[[商線型空間|商空間]]を考え、帰納法によって完全旗を固定することを示すことにより、その基底に関して三角化可能であることがわかる。より精密な主張が[[ジョルダン標準形]]の理論により与えることができ、行列は非常に特別な形の上三角行列（ジョルダン標準形）と相似である。けれども、より単純な三角化で多くの場合は用が足りる。いずれにせよジョルダン標準形の存在を示すときには三角化が必要となる{{sfn|Herstein|1975|pages=285&ndash;290}}。

複素行列の場合には三角化に関してより強い主張ができる。任意の複素正方行列 {{mvar|A}} は[[シューア分解]]をもつ。つまり {{mvar|A}} が上三角行列と[[ユニタリ同値]]（[[ユニタリ行列]]による基底変換で相似）である。これは完全旗の[[正規直交基底]]をとることで得られる。

代数閉体上の互いに可換な正方行列は同時三角化可能である。

== 一般化 ==
上三角行列全体の成す集合は[[結合多元環]]を成すのであった。これは[[函数解析学]]において[[ヒルベルト空間]]上の{{ill2|nest algebra|en|nest algebra}}に一般化される。

主対角線の上（resp. 下）の成分が全て零の非正方行列は、その非零成分が[[台形]]に並ぶから、下（resp. 上）台形行列と呼ばれる。

=== ボレル部分群とボレル部分環 ===
{{main|{{ill2|ボレル部分群|en|Borel subgroup}}|{{ill2|ボレル部分環|en|Borel subalgebra}}}}
上（resp. 下）正則三角行列全体の成す集合は[[群 (数学)|群]]、実際には[[リー群]]を成し、正則行列全体の成す[[一般線型群]]の部分群となる。三角行列が可逆となるのはちょうどすべての対角成分が可逆つまり非零となるときであることに注意する。

実係数で考えれば、この群は非連結で、各対角成分が正または負となることに応じて {{math|2{{exp|''n''}}}} 個の連結成分を持つ。単位成分は対角成分が全て正の正則三角行列全体に等しく、また正則三角行列全体の成す群はこの単位成分の群と対角線上に {{math|±1}} が（各連結成分に対応して）並ぶ対角成分との[[半直積]]になる。

正則上三角行列全体の成すリー群に付随する[[リー環]]は、必ずしも正則でない上三角行列全体の成す集合であり、それは[[可解リー環]]である。これらはそれぞれ、一般線型リー群 {{mvar|GL{{sub|n}}}} の標準[[ボレル部分群]] {{mvar|B}} および、一般線型リー環 <math display="inline">\mathfrak{gl}_n</math> の標準[[ボレル部分リー環]]と呼ばれる。

上三角行列はちょうど{{ill2|旗 (線型代数学)|en|Flag (linear algebra)|label=標準旗}}を固定する行列である。そのなかで正則三角行列の全体は一般線型群の部分群として、その共軛部分群が適当な完全旗 (complete frag) の固定群として定義されるような群である。これらの部分群は[[ボレル部分群]]<ref>{{nlab|id=Borel+subgroup|title=Borel subgroup}}</ref>と総称される。正則下三角行列全体の成す群がそのような群であることは、それが標準基底を逆順にしたものに対応する標準旗の固定部分群となることからわかる。

標準旗の適当な部分を忘れて得られる部分旗の固定部分群は、区分行列として上三角な（つまり各区分は上三角であるとは限らない）行列の成す集合として記述することができる。そのような部分群の共軛は適当な部分旗の固定部分群として定義される。これらの部分群を{{ill2|放物型部分群|en|parabolic subgroup}}<ref>{{nlab|id=parabolic+subgroup|title=parabolic subgroup}}</ref>と総称する。

例えば、二次の上単三角行列全体の成す群は係数体の[[加法群]]に[[同型]]である。複素係数の場合にはその群は放物型[[メビウス変換]]からなる群に対応する。三次の上単三角行列の全体は[[ハイゼンベルク群]]を成す<ref>{{nlab|id=Heisenberg+group|title=Heisenberg group}}</ref>。

== 関連項目 ==
* [[シュール分解]]: 三角化する方法。シュールの三角化とも。
* [[ガウス消去]]
* [[QR分解]]
* [[コレスキー分解]]
* {{ill2|ヘッセンベルク行列|en|Hessenberg matrix}}
* {{ill2|三重対角行列|en|Tridiagonal matrix}}
* [[不変部分空間]]
* {{ill2|三角配列|en|triangular array}}: よく似た概念
* {{ill2|三角行列環|en|triangular matrix ring}}: 二つの環とそれらの上の両側加群の三つ組に対応する要素を持つ三角行列の成す行列環
== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}
== 参考文献 ==
{{refbegin}} 
* {{Citation | first = Sheldon | last = Axler | title = Linear Algebra Done Right | publisher = Springer-Verlag | year = 1996 | isbn=0-387-98258-2}}
* {{Citation | first1 = M. P. | last1 = Drazin | first2 = J. W. | last2 = Dungey | first3 = K. W. | last3 = Gruenberg | title = Some theorems on commutative matrices | journal = J. London Math. Soc. | volume = 26 | pages = 221–228 | year = 1951 | url = http://jlms.oxfordjournals.org/cgi/pdf_extract/s1-26/3/221 |doi=10.1112/jlms/s1-26.3.221 | issue = 3}}
* {{Citation | first = I. N. | last = Herstein | title=Topics in Algebra | edition=2nd | publisher=John Wiley and Sons | year = 1975 | isbn = 0-471-01090-1}}
* {{Citation | title = Problems and theorems in linear algebra | first = Viktor | last = Prasolov | year = 1994 | url = https://books.google.com/books?id=fuONq1od6nsC&lpg=PP1&dq=victor%20prasolov%20Problems%20and%20theorems%20in%20linear%20algebra&pg=PP1#v=onepage&q&f=false | isbn = 9780821802366 }}
{{refend}}

{{数値線形代数}}
{{linear algebra}}
== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1332|上三角行列と下三角行列の意味と6つの定理}}
* {{MathWorld|urlname=TriangularMatrix|title=Trianglular Matrix}}
* {{nlab|urlname=triangular+matrix|title=trianglular matrix}}
* {{PlanetMath|urlname=TriangularMatrix|title=trianglular matrix}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Triangular_Matrix|title=Definition:Trianglular Matrix}}
* {{SpringerEOM|urlname=Triangular_matrix|title=Trianglular matrix|author= Ivanova, O.A.}}

{{DEFAULTSORT:さんかくきようれつ}}
[[Category:数値線形代数]]
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:数の三角形|*]]