三角錐のソースを表示

{{Redirect|Tetrahedron|学術雑誌|Tetrahedron (雑誌)}}
{{出典の明記|date=2016年11月}}
[[File:Tetraedro (Matemateca IME-USP).jpg|thumb|三角錐]]
'''三角錐'''（さんかくすい、{{lang-en|triangular pyramid、trigonal pyramid}}）や'''四面体'''（しめんたい、よんめんたい、{{lang-en|tetrahedron}}）とは、[[垂直]]断面に[[三角形]]を持つ[[錐体]]のことである。[[辺]]6本、[[頂点]]4つからなる。面の数は立体に於ける最小限界の4つであることから四面体とも呼ぶ。三角錐は、最小の頂点数で構成することができる立体であると表現することもできる。

[[幾何学]]において、[[角錐]]の側面は全て三角形であるが、この場合は底面も三角形であるから、三角錐は全ての面が三角形である[[立体]]である。

== 正三角錐 ==
底面が正三角形である場合、'''正三角錐'''（せいさんかくすい、regular triangular pyramid）という。

== 正四面体 ==
[[File:120px-Tetrahedron-slowturn.gif|right|正四面体]]
{{main|正四面体}}

底面だけでなく全ての面が[[正三角形]]であるような三角錐を、'''正四面体'''（せいしめんたい、せいよんめんたい、regular tetrahedron）という。全ての辺の長さが等しい。正四面体は、[[デルタ多面体]]の一種である。

== 多面体分割 ==
[[面積]]の等しい三角形と[[四角形]]は、適当に多角形に有限回[[集合の分割|分割]]することによって[[図形の合同|合同]]にすることができるが、三角錐と四角錐は、たとえ体積が等しくとも多面体に分割して合同にすることは無理である。これは、[[ボヤイの定理]]が 3 次元空間では一般に成立しないことを示す。こうして 3 次元空間に於けるボヤイの定理（それは[[ヒルベルトの23の問題|ヒルベルトの第三の問題]]でもあった）が否定的に解かれた。ただし、分割の仕方を多面体に限らなければ体積が等しくなくても有界な図形は合同にすることができる（[[バナッハ＝タルスキーのパラドックス]]）。

== 体積 ==
三角錐の体積は
:<math>V = \frac13 A_0\,h \,</math>
である。<math>A_0</math> が底面の面積、<math>h</math> が高さである。

頂点が {{nowrap|'''a''' {{=}} (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>)}},
{{nowrap|'''b''' {{=}} (''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ''b''<sub>3</sub>)}},
{{nowrap|'''c''' {{=}} (''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>, ''c''<sub>3</sub>)}}, 
{{nowrap|'''d''' {{=}} (''d''<sub>1</sub>, ''d''<sub>2</sub>, ''d''<sub>3</sub>)}} の場合、体積は
: <math>V = \frac{|\det(\mathbf{a} - \mathbf{d}, \mathbf{b} - \mathbf{d}, \mathbf{c} - \mathbf{d})|}{6}</math>
: <math>V = \frac { |(\mathbf{a}-\mathbf{d}) \cdot ((\mathbf{b}-\mathbf{d}) \times (\mathbf{c}-\mathbf{d}))| } {6}</math>
である。

== 一般次元への拡張 ==
{{Main|単体 (数学)}}
一般次元[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> にも、最小の頂点で構成できる立体は存在する。そのような立体を総称して[[単体 (数学)|単体]]と言う。''n'' 次元空間の単体は ''n''+1 個の頂点を持つ。

== 関連項目 ==
* [[四角錐]]
* [[五胞体]]
* [[錐体]]
* [[円錐]]
* [[正多角形]]
* [[正多面体]]
* [[正四面体リング]]
* [[ピラミンクス]]

== 外部リンク ==
{{Commonscat|Tetrahedron}}
* [http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kika/henkan-tex.cgi?target=/math/category/kika/sankakusui_no_taiseki.html 三角錐の体積（三角柱を3つの三角錐に分解することによる証明）] - [[金沢工業大学]]

{{多面体}}

{{Elementary-geometry-stub}}
{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:さんかくすい}}
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:角柱・角錐]]
[[Category:自己双対多面体]]
[[Category:数学に関する記事]]