三角錐数のソースを表示

[[Image:Pyramid of 35 spheres animation.gif|frame|right|n=5 のときの三角錐数である35個の[[球]]。最初の5つの三角数に等しい個数の球を順番に段重ねしたものである。]]
'''三角錐数'''（さんかくすいすう、triangular pyramidal number）は球を右図のように[[三角錐]]の形にならべたとき、そこに含まれる球の総数にあたる[[自然数]]である。つまり[[三角数]]を1から小さい順に足した数のことである。'''四面体数'''（しめんたいすう、tetrahedral number）ともいう。

例： 1, 4 (=1+3), 10 (=1+3+6), 20 (=1+3+6+10), 35 (=1+3+6+10+15)

''n'' 番目の三角錐数 T<sub>n</sub> は1から ''n'' 番目の三角数 ''n''(''n''  + 1)/2 までの[[加法|和]]に等しいので
:<math>\begin{align} T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} &= \frac{1}{2} \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\right)\\                            &= \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\\ \end{align}</math>
また[[組み合わせ]]の記号を用いると <math>T_n = {}_{n+2}{\rm C}_{3} \,</math> となる。

三角錐数を小さい順に列記すると
:[[1]], [[4]], [[10]], [[20]], [[35]], [[56]], [[84]], [[120]], [[165]], [[220]], [[286]], [[364]], [[455]], [[560]], [[680]], [[816]], [[969]], …（{{OEIS|A292}}）。

== 性質 ==

* 三角錐数のうち[[平方数]]でもある数は 1, 4 と 19600 (=140<sup>2</sup>) の3つのみである。({{OEIS|A003556}})

* 三角錐数でなおかつ[[四角錐数]]でもある数は 1 のみである。

* 三角錐数のうち[[三角数]]でもある数は[[1]], [[10]], [[120]], [[1540]], [[7140]] の5つのみである。（{{OEIS|A027568}}）

* 2つの連続する三角錐数の和は[[四角錐数]]になる。

* 三角錐数の奇数番目は奇数の[[平方和]]、偶数番目は偶数の平方和で表される。(例.35=1{{sup|2}}+3{{sup|2}}+5{{sup|2}}、56=2{{sup|2}}+4{{sup|2}}+6{{sup|2}})

:奇数の時　<math>\sum_{k=1}^n (2k-1)^2=\frac{(2n-1)\cdot 2n\cdot (2n+1)}{6} </math> 

:偶数の時　<math>\sum_{k=1}^n (2k)^2=\frac{2n(2n+1)(2n+2)}{6} </math> 

* 三角錐数は[[奇数]]-[[偶数]]-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。
:(奇数…{{OEIS|A015219}}、偶数…{{OEIS|A015220}})

[[画像:Pascal triangle.svg|right|thumb|350px|パスカルの三角形]]

* [[パスカルの三角形]]における[[数列]]は左上（または右上）にある列から順に

:モナド([[単数]])の数列　1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…, <math>{}_{n-1}{\rm C}_{0} \,</math>,…

:自然数の数列　1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, <math>{}_{n}{\rm C}_{1} \,</math> ,…

:[[三角数]]の数列　[[1]], [[3]], [[6]], [[10]], [[15]], [[21]], [[28]], [[36]], [[45]],…, <math>{}_{n+1}{\rm C}_{2} \,</math> ,…

:三角錐数の数列　[[1]], [[4]], [[10]], [[20]], [[35]], [[56]], [[84]], [[120]], [[165]],…, <math>{}_{n+2}{\rm C}_{3} \,</math> ,…

となっている。左上（または右上）にある数列はその一つ右下（または左下）の数列の[[階差数列]]である。

* 三角錐数の[[逆数]]の[[総和]]は
:<math>\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{k(k+1)(k+2)}{6}} &= 6 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} +\frac{1}{k+2}\right)\\ &= 3 \bigg\{\left(\frac{\color{Green}\not1}{\color{Green}\not1} - \frac{\color{Green}\not2}{\color{Green}\not2} + \frac{\not1}{\not3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\not2}{\not3} + \frac{\color{Red}\not1}{\color{Red}\not4}\right) + \left(\frac{\not1}{\not3} - \frac{\color{Red}\not2}{\color{Red}\not4} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{\color{Red}\not1}{\color{Red}\not4} - \frac{2}{5} + \frac{1}{6}\right) + \cdots \bigg\}\\ &= \frac{3}{2}\end{align}</math>

== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
* [[図形数]]
* [[三角数]]
* [[三角錐]]
* [[球充填]]
* [[四角錐数]], [[五角錐数]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=TetrahedralNumber|title=Tetrahedral Number}}

{{DEFAULTSORT:さんかくすいすう}}
[[Category:図形数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]