三角関数の無限乗積展開のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年7月}}
数学において、[[三角関数]]と[[双曲線関数]]について[[無限乗積]]を用いた以下の恒等式が成立する。
:<math>\sin{({\pi}z)}={\pi}z\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}</math>
:<math>\cos{({\pi}z)}=\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2}\right)}</math>
:<math>\sinh{({\pi}z)}=\frac{\sin({\pi}iz)}{i}={\pi}z\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1+\frac{z^2}{n^2}\right)}</math>
:<math>\cosh{({\pi}z)}=\cos({\pi}iz)=\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1+\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2}\right)}</math>

== 初等的な考察 ==
<math>\sin({\pi}z)</math>は複素平面全体で正則([[マクローリン展開]]の[[収束半径]]が[[無限|無限大]])であるから無限次の[[多項式]]で表される。<math>\sin({\pi}z)</math>の零点は<math>z = \dotsc, -1, 0, +1, \dotsc</math>であるから、<math>c</math>を定数として
:<math>\sin({\pi}z)=cz\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1+\frac{z}{n}\right)}{\left(1-\frac{z}{n}\right)}=cz\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}</math>
微分して
:<math>\pi\cos({\pi}z)=c\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}+cz\frac{d}{dz}\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}</math>
<math>z=0</math>を代入すれば<math>c=\pi</math>を得る。同様に
:<math>\cos({\pi}z)=c'\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1+\frac{z}{n-1/2}\right)}{\left(1-\frac{z}{n-1/2}\right)}</math>
<math>z=0</math>を代入すれば<math>c'=1</math>を得る。但し、これは厳密な証明ではない。何故ならば<math>z\to\infty</math>を考慮していないからである。同じ方法で<math>e^z</math>の無限乗積展開を求めようとすると失敗するであろう。一般には[[ワイエルシュトラスの因数分解定理]]が必要になる。

== 証明 ==
正弦関数の乗積展開を証明するには
:<math>f(z)=\frac{{\pi}z\prod_{n=1}^{\infty}{\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)}}{\sin({\pi}z)}</math>
として、恒等的に<math>f(z)=1</math>であることを示せば良い。そのために<math>f(z)</math>の[[対数微分]]
:<math>\frac{d}{dz}\log{f(z)}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{1}{n+z}-\frac{1}{n-z}\right)}-\pi\frac{\cos{{\pi}z}}{\sin{{\pi}z}}</math>
を考える。余接関数の[[三角関数の部分分数展開|部分分数展開]]
:<math>\pi\cot{{\pi}z}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{2z}{z^2-n^2}}</math>
を用いて<math>\frac{d}{dz}\log{f(z)}=0</math>となるから<math>f(z)</math>は定数であり、<math>f(z)=f(0)=1</math>が得られる。

=== フーリエ級数を用いた証明 ===
<math>\alpha\in(0,1)</math> とし、区間 <math>[-\pi,\pi]</math> で定義された関数 <math>f(x) = \cos(\alpha x)</math> を考える。

これを周期 <math>2 \pi</math> で延長した関数のフーリエ級数は区間 <math>[-\pi,\pi]</math> において <math>f</math> に各点収束する。

<math>f(x) = \frac{2\alpha \sin \pi \alpha}{\pi} \left(\frac{1}{2\alpha^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\alpha^2 - n^2} \cos n x \right)</math>

<math>x=\pi</math> を代入すると

<math>\cot \pi \alpha - \frac{1}{\pi \alpha} = \frac{2 \alpha}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\alpha^2 - n^2}</math> 

ここで <math>z \in (0,1)</math> をとる。<math>\alpha \in (0,z)</math>であるとき、<math>\left|\frac{1}{\alpha^2-n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2-z^2}</math>であり、また <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 - z^2}</math> は収束することから、

[[ワイエルシュトラスのM判定法]]より上式は <math>\alpha \in (0,z)</math> において一様収束する。よって上式は区間 <math>[0,z]</math> において積分できる。

<math>\ln \frac{\sin \pi z}{\pi z} = \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)</math>

これより <math>\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty}  \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)</math> が得られる。

== ウォリス積 ==
正弦関数の乗積展開
:<math>\frac{\pi{z}}{\sin\pi{z}}=\prod_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{n^2}{n^2-z^2}\right)}</math>
に<math>z=\textstyle\frac{1}{2}</math>を代入すると
:<math>\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}</math>
が得られる。これは[[ウォリス積]]と呼ばれるものである。

== 外部リンク ==
*[https://kikyousan.com/mathmatics/complexfunction/inftysincos 三角関数の無限乗積展開] - 理系ノート
*[https://kikyousan.com/mathmatics/complexfunction/btenkai 部分分数展開] - 理系ノート
*{{PDFlink|[http://www.math.aoyama.ac.jp/~kyo/sotsuken/2015/sotsuron_2015_ezoe.pdf 複素関数論における無限積の公式]}}
*{{MathWorld|title=Infinite Product|urlname=InfiniteProduct}}

{{DEFAULTSORT:さんかくかんすうのむけんしようせきてんかい}}
[[Category:解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]