三項系のソースを表示

{{for|[[ブロックデザイン]]などの組合せ論における概念|{{仮リンク|シュタイナー三項系|en| Steiner triple system}}}}

[[代数学]]における'''三重系'''または'''三項系'''（さんこうけい、{{lang-en-short|''triple system''}}）は、[[ベクトル空間]] ''V'' と ''V'' 上の'''三重積''' (triple product) または'''三項積''' (ternary product) と呼ばれる[[多重線型写像|三重線型写像]]
: <math> (\cdot,\cdot,\cdot) \colon V\times V \times V\to V</math>
との組として与えられる構造である。最も重要な例に'''リー三重系'''や'''ジョルダン三重系'''があり、これらは1949年に[[ネイサン・ジェイコブソン]]が三項交換子{{math| [&thinsp;[''u'', ''v''], ''w''&thinsp;] }}および三項反交換子{{math| {&thinsp;''u'', {''v'', ''w''}&thinsp;} }}に関して閉じている結合代数の部分空間を研究するために導入した。特に、任意の[[リー環]]はリー三重系を定め、任意の[[ジョルダン環]]はジョルダン三重系を定める。これらの概念は、[[対称空間]]（特に[[エルミート対称空間]]およびその一般化である[[対称リーマン空間|対称 ''R''-空間]]とその非コンパクト双対）の理論において重要である。

== リー三重系 ==
三重系がリー三重系であるとは、その三重積 {{math|[&bull;,&thinsp;&bull;,&thinsp;&bull;]}} が以下の三つの恒等式
: <math> [u,v,w] = -[v,u,w],</math>
: <math> [u,v,w] + [w,u,v] + [v,w,u] = 0,</math>
: <math> [u,v,[w,x,y]] = [[u,v,w],x,y] + [w,[u,v,x],y] + [w,x,[u,v,y]]</math>
を満足するときに言う。前二者の恒等式は三項交換子が満たす[[歪対称性|歪対称律]]と[[ヤコビ恒等式|ヤコビ律]]を抽出したもので、一方最後の恒等式は線型写像
: <math>L_{u,v}\colon V\to V;\; w\mapsto L_{u,v}(w) := [u, v, w]</math>
が三重積の[[導分|微分作用素]]となることを意味するものになっている。また、この恒等式からは、いま定義した線型写像たちで[[線型包|張られる空間]]
: <math>\mathfrak{k} := \text{span}\{L_{u,v} : u,v\in V\}</math>
が交換子括弧積に関して閉じており、したがってリー環となることもわかる。

記号を替えて ''V'' を <math>\mathfrak{m}</math> と書くことにし、
:<math>\mathfrak g := \mathfrak k \oplus\mathfrak m</math>
を考えると、これは括弧積を
:<math>[(L,u),(M,v)] := ([L,M]+L_{u,v}, L(v) - M(u))</math>
で定めてリー環となる。この <math>\mathfrak{g}</math> の分解は明らかにこの括弧積に対する[[対称空間|対称分解]]であり、従って <math>\mathfrak{g}</math> を付随するリー環とする連結リー群 ''G'' とその部分群 ''K'' で付随するリー環が <math>\mathfrak{k}</math> となるものをとれば、剰余リー群 ''G''/''K'' は[[対称空間]]となる。

逆に、そのような対称分解（つまり対称空間のリー環）をもつリー環 <math>\mathfrak{g}</math> が与えられたとき、三項括弧積 {{math|[&thinsp;[''u'', ''v''], ''w''&thinsp;]}} によって <math>\mathfrak{m}</math> をリー三重系にすることができる。

== ジョルダン三重系 ==
三重系がジョルダン三重系であるとは、その三重積{{math| {&bull;,&thinsp;&bull;,&thinsp;&bull;} }}が以下の二つの恒等式
: 対称律: <math>\{u,v,w\} = \{u,w,v\},</math>
: ジョルダン律: <math>\{u,v,\{w,x,y\}\} = \{w,x,\{u,v,y\}\} + \{w, \{u,v,x\},y\} -\{\{v,u,w\},x,y\}</math>
を満足することを言う。前者の恒等式は三項反交換子の対称性を抽出したものであり、また後者の恒等式は ''L''<sub>''u'',''v''</sub>(''y'') := {''u'', ''v'', ''y''} によって線型写像 ''L''<sub>''u'',''v''</sub>: ''V'' → ''V'' を定めるとき
:<math> [L_{u,v},L_{w,x}] = L_{u,v}\circ L_{w,x} - L_{w,x} \circ L_{u,v} = L_{w,\{u,v,x\}}-L_{\{v,u,w\},x} </math>
が成り立つことを示す。このとき線型写像の空間 span{''L''<sub>''u'',''v''</sub> : ''u'',''v'' ∈ ''V''} は交換子括弧積に関して閉じていて、従って
: <math>\mathfrak{g}_0 := \text{span}\{L_{u,v} : u,v\in V\}</math>
はリー環となることがわかる。

任意のジョルダン三重系に対して、新たな括弧積を
:<math> [u,v,w] = \{u,v,w\} - \{v,u,w\}</math>
で定めると、リー三重系が得られる。

ジョルダン三重系が'''正定値''' (''positive definite'') あるいは'''非退化''' (''nondegenerate'') であるとは、''L''<sub>''u'',''v''</sub> のトレースとして定義される双線型写像が正定値あるいは非退化であることにそれぞれ従って言う。何れの場合にも、''V'' はその双対空間と同一視され、対応する[[対合]]が <math>\mathfrak{g}_0</math> 上に入る。これにより
: <math>V\oplus\mathfrak g_0\oplus V^*</math>
上に対合が誘導され、<math>\mathfrak{g}_0</math> 上の対合が正定値であった場合には、誘導された対合は[[カルタン対合]]となり、対応する[[対称空間]]は[[対称リーマン空間]]である。この空間は、カルタン対合を <math>\mathfrak{g}_0</math> 上で +1, ''V'' および ''V''<sup>&lowast;</sup> 上で &minus;1 を取る対合との合成で置き換えることにより、非コンパクト双対が与えられる。この構成の特別の場合として、<math>\mathfrak{g}_0</math> が ''V'' 上の複素構造を保つ場合を考えると、コンパクト型および非コンパクト型の双対[[エルミート対称空間]]（後者は{{仮リンク|有界対象領域|en|bounded symmetric domain}}になる）が得られる。 

== ジョルダン対 ==
ジョルダン対とは、ジョルダン三重系の一般化を与える二つのベクトル空間 ''V''<sub>+</sub>, ''V''<sub>&minus;</sub> の対を言う。このとき三重積は二つの三重積の対
:<math> \{\bullet,\bullet,\bullet\}_+\colon V_-\times S^2V_+ \to V_+,</math>
:<math> \{\bullet,\bullet,\bullet\}_-\colon V_+\times S^2V_- \to V_-</math>
で置き換わり、これらはしばしば ''V''<sub>+</sub> → Hom(''V''<sub>&minus;</sub>, ''V''<sub>+</sub>) および ''V''<sub>&minus;</sub> → Hom(''V''<sub>+</sub>, ''V''<sub>&minus;</sub>) なる二次写像と見做される。ジョルダン律（ジョルダン三重系の対称律でないほうの公理）は同様に二つに分けられて、ひとつは
:<math> \{u,v,\{w,x,y\}_+\}_+ = \{w,x,\{u,v,y\}_+\}_+ + \{w, \{u,v,x\}_+,y\}_+ - \{\{v,u,w\}_-,x,y\}_+</math>
となり、もうひとつはこれの下付きの "+" と "&minus;" とを入れ換えたものとなる。

ジョルダン三重系に対するのと同様に、''u'' &isin; ''V''<sub>&minus;</sub> と ''v'' &isin; ''V''<sub>+</sub> に対して線型写像
:<math> L^+_{u,v}:V_+\to V_+;\; y\mapsto L^+_{u,v}(y) = \{u,v,y\}_+</math>
および同様の ''L''<sup>&minus;</sup> が定義できて、ジョルダン律を
:<math> [L^{\pm}_{u,v},L^{\pm}_{w,x}] = L^{\pm}_{w,\{u,v,x\}_\pm}-L^{\pm}_{\{v,u,w\}_{\mp},x} </math>
と書くことができるので、''L''<sup>+</sup> および ''L''<sup>&minus;</sup> の像はそれぞれ End(''V''<sub>+</sub>) および End(''V''<sub>&minus;</sub>) において交換子括弧の下で閉じていることが言える。これらを合わせて得られる線型写像
: <math> V_+\otimes V_- \to \mathfrak{gl}(V_+)\oplus \mathfrak{gl}(V_-)</math>
の像は部分リー環 <math>\mathfrak{g}_0</math> であり、ジョルダン律は
: <math> V_+\oplus \mathfrak g_0\oplus V_-</math>
上の次数付きリー括弧積に対するヤコビ律となるから、従って逆に
: <math> \mathfrak g = \mathfrak g_{+1} \oplus \mathfrak g_0\oplus \mathfrak g_{-1}</math>
が次数付きリー環ならば、対 <math>(\mathfrak g_{+1}, \mathfrak g_{-1})</math> は括弧積
:<math> \{X_{\mp},Y_{\pm},Z_{\pm}\}_{\pm} := [[X_{\mp},Y_{\pm}],Z_{\pm}]</math>
を備えたジョルダン対となる。

ジョルダン三重系は ''V''<sub>+</sub> = ''V''<sub>&minus;</sub> かつそれらの三重積が一致しているときのジョルダン対である。他に重要な場合としては、''V''<sub>+</sub> と ''V''<sub>&minus;</sub> の一方が他方の双対であって、双対三重積が
: <math>\mathrm{End}(S^2V_+) \cong S^2V_+^* \otimes S^2V_-^*\cong \mathrm{End}(S^2V_-)</math>
の元によって定義される場合である。このような場合というのは、特に上記の <math>\mathfrak g</math> が半単純な場合に生じ、このとき[[キリング形式]]が <math>\mathfrak{g}_{+1}</math> と <math>\mathfrak{g}_{-1}</math> との間の双対性（内積）を与える。

== 関連項目 ==
* [[三項演算子|三項演算]]

== 参考文献 ==
* Wolfgang Bertram (2000), "The geometry of Jordan and Lie structures", Lecture Notes in Mathematics '''1754''', Springer-Verlag, Berlin, 2000. ISBN 3-540-41426-6.
* Sigurdur Helgason (2001), "Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces", American Mathematical Society, New York (1st edition: Academic Press, New York, 1978).
* Nathan Jacobson (1949), "[http://www.jstor.org/stable/info/2372102 Lie and Jordan triple systems]",  American Journal of Mathematics '''71''', pp.&nbsp;149–170.
* {{SpringerEOM|title=Lie triple system|last= Kamiya|first=Noriaki|urlname=Lie_triple_system}}.
* {{SpringerEOM|title=Jordan triple system|last= Kamiya|first=Noriaki|urlname=Jordan_triple_system}}.
* M. Koecher (1969), An elementary approach to bounded symmetric domains. Lecture Notes, Rice University, Houston, Texas.
* Ottmar Loos (1969), "Symmetric spaces. Volume 1: General Theory. Volume 2: Compact Spaces and Classification",  W. A. Benjamin, New York.
* Ottmar Loos (1971), "[http://www.ams.org/bull/1971-77-04/S0002-9904-1971-12753-2/home.html Jordan triple systems, ''R''-spaces, and bounded symmetric domains]",  Bulletin of the American Mathematical Society '''77''', pp.&nbsp;558–561. {{doi|10.1090/S0002-9904-1971-12753-2}}
* Ottmar Loos (1975), "Jordan pairs", Lecture Notes in Mathematics '''460''', Springer-Verlag, Berlin and New York.
* Tevelev, E (2002), "[http://www.emis.de/journals/JLT/vol.12_no.2/9.html Moore-Penrose inverse, parabolic subgroups, and Jordan pairs]", Journal of Lie theory '''12''', pp.&nbsp;461–481.
* {{cite book|和書|author=佐武一郎|title=リー環の話［新版］|publisher=日本評論社|series=日評数学選書|isbn=4-535-60137-2|year=2002}}

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[[Category:表現論]]
[[Category:数学に関する記事]]