上半平面のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年2月}}
[[数学]]、とくに[[リーマン幾何学]]あるいは（[[局所コンパクト群|局所]]）[[コンパクト群]]の[[調和解析]]において'''上半平面'''（じょうはんへいめん、{{lang-en-short|upper half plane}}）は、[[虚部]]が[[正の数と負の数|正]]である[[複素数]]全体の成す[[集合]]をいう。上半平面は[[連結集合|連結]]な[[開集合]]であり、それが[[リーマン球面]]に埋め込まれているとみなしたとき、その[[閉包 (位相空間論)|閉包]]を閉上半平面と呼ぶ。閉上半平面は上半平面に実軸と[[無限遠点]]を含めたものである。（開いた）上半平面を慣例的に ''H'' や '''H''' あるいは <math>\mathfrak{H}</math> と記す（このとき、下半平面は ''H''<sup>&minus;</sup> や '''H'''<sub>&minus;</sub> などと書かれ、対比的に上半平面を '''H'''<sup>+</sup> などと記すこともある）。上半平面は、[[リー群の表現|リー群の表現論]]やロバチェフスキーの[[双曲幾何学]]などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。
:<math>\mathbb{H}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y>0\}</math>
または
:<math>\mathfrak{H}=\mathfrak{H}^+ = \mathfrak{H}_{+}=\{z\in\mathbb{C} \mid \Im\,z > 0 \} = \{x+yi\mid x,y\in \mathbb{R},\, y > 0\},</math>
:<math>\bar{\mathfrak{H}}=\mathfrak{H}\cup \partial\mathfrak{H} = \mathfrak{H}^+ \cup \mathbb{R}\cup \{\infty\}.</math>
:<math>\bar{\mathfrak{H}}\cup\mathfrak{H}_{-} = \mathfrak{H}_{+} \cup \mathfrak{H}_{-} \cup \mathbb{R} \cup \{\infty\} = \mbox{ Riemann sphere}.</math>

== 双曲モデル ==
[[ポワンカレの上半平面モデル]]と呼ばれる双曲幾何のユークリッド空間内での実現がある。このモデルでは、[[計量]]が
:<math>\frac{d(z\bar{z})}{|\Im z|^2}</math>
で与えられていて、実軸に近づくほどに空間が歪んでいる。双曲幾何のモデルとしての上半平面における「直線」（[[測地線]]）は、両端がそれぞれ実軸に直交する円周（直線も半径無限大であると見なして円に含める）である。上半平面を[[単位円板]]
:<math>D=\{z\in\mathbb{C}\mid z\bar{z} < 1\}</math>
に写す[[正則関数|正則]]な[[全単射]]
:<math>\mathfrak{H}\ni z \mapsto \frac{z-i}{z+i}\in D</math>
:<math>D\ni w \mapsto \frac{1+w}{1-w}i \in \mathfrak{H}</math>
が存在して、上半平面モデルは単位円板モデルと呼ばれる計量
:<math>\frac{d(z\bar{z})}{(1-|z|)^2}</math>
をもつ実現と互いにうつりあう。これは二つのモデルが[[リーマン面]]として解析的同型であることを意味している。これらの閉包もやはり解析同相となるので、閉上半平面はコンパクトリーマン面になる。
<!-- 計量や座標近傍などを書かずにリーマン面として同型とか言っても何も言ってないのと同じ -->

== SL(2) の表現論 ==
上半平面に[[リー群]] GL(2, '''R''') が
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}z:=\frac{az+b}{cz+d}\quad\text{ for }z\in\mathfrak{H}</math>
によって（計量を保って）作用する。'''H''' は同じ作用で SL(2) の作用を受ける。このとき、''z'' = ''i'' の固定部分群は
:<math>SO(2,\mathbb{R})=\left\{\begin{pmatrix}\cos\,\theta & -\sin\,\theta\\ \sin\,\theta & \cos\,\theta\end{pmatrix}\right\}</math>
となるので、解析同相
:<math>\mathfrak{H}\simeq SL(2,\mathbb{R})/SO(2,\mathbb{R})</math>
が成り立つ。さらに SL(2, '''Z''') のような[[離散部分群]]（しばしば &Gamma; で表される）の作用で '''H''' を割った空間（これも適当な仕方でリーマン面の構造を持つ）の上の微分形式は[[保型形式]]と呼ばれる[[数論]]的対象を定める。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|半空間|en|Half-space (geometry)}}

{{DEFAULTSORT:しようはんへいめん}}
[[Category:複素解析]]
[[Category:双曲幾何学]]
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:数論]]
[[Category:モジュラー形式]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[de:Obere Halbebene]]