上昇と下降のソースを表示

{{otheruses|イデアル|エッシャーのリトグラフ|上昇と下降 (エッシャー)}}
[[数学]]の分野である[[可換環論]]において、'''上昇''' (going up) および'''下降''' (going down) は[[整拡大]]における[[素イデアル]]の[[鎖]]のある種の性質を意味する用語である。

フレーズ'''上昇'''は鎖を「上向きの[[部分集合|包含]]」によって拡張できるケースをいい、'''下降'''は鎖を「下向きの包含」によって拡張できるケースをいう。

主要な結果は '''Cohen-Seidenberg の定理''' (Cohen–Seidenberg theorems) であり、これは {{仮リンク|Irvin S. Cohen|en|Irvin Cohen}}と {{仮リンク|Abraham Seidenberg|en|Abraham Seidenberg}}によって証明された。これらは'''上昇定理''' (going-up theorem) と'''下降定理''' (going-down theorem) として知られている。

== 上昇と下降 ==
''A''⊆''B'' を可換環の拡大とする。

上昇定理と下降定理は ''B'' の素イデアルの鎖であってその各メンバーが ''A'' の素イデアルのより長い鎖のメンバーの上にあるようなものが ''A'' の素イデアルの鎖の長さに拡張できるための十分条件を与える。

===Lying over and incomparability===

まず、いくつか用語を固定する。<math>\mathfrak{p}</math> と <math>\mathfrak{q}</math> がそれぞれ ''A'' と ''B'' の[[素イデアル]]であって

:<math>\mathfrak{q} \cap A = \mathfrak{p}</math>

であれば（<math>\mathfrak{q} \cap A</math> は自動的に ''A'' の素イデアルであることに注意せよ）、<math>\mathfrak{p}</math> は <math>\mathfrak{q}</math> ''の下にある'' (<math>\mathfrak{p}</math> ''lies under'' <math>\mathfrak{q}</math>) と言い <math>\mathfrak{q}</math> は <math>\mathfrak{p}</math> ''の上にある'' (<math>\mathfrak{q}</math> ''lies over'' <math>\mathfrak{p}</math>) という。一般に、可換環の環拡大 ''A''⊆''B'' が '''lying over property''' を満たすとは、''A'' のすべての素イデアル ''P'' が ''B'' の素イデアル ''Q'' の下にあることをいう。

拡大 ''A''⊆''B'' が '''incomparability property''' を満たすとは、''Q'' と ''Q' '' が ''A'' の素イデアル ''P'' の上にある ''B'' の相異なる素イデアルであるときにはいつでも ''Q''⊈''Q' ''  かつ ''Q' ''⊈''Q'' であることをいう。

=== 上昇 ===

環の拡大 ''A''⊆''B'' が'''上昇性質''' (going-up property) を満たす、上昇定理が成り立つとは、

:<math>\mathfrak{p}_1 \subseteq \mathfrak{p}_2 \subseteq \cdots \subseteq \mathfrak{p}_n</math>

が ''A'' の[[素イデアル]]の鎖で

:<math>\mathfrak{q}_1 \subseteq \mathfrak{q}_2 \subseteq \cdots \subseteq \mathfrak{q}_m</math>

(''m'' < ''n'') が ''B'' の素イデアルの鎖であって各 1 ≤ ''i'' ≤ ''m'' に対して <math>\mathfrak{q}_i</math> が <math>\mathfrak{p}_i</math> の上にあるようなときにはいつでも後者の鎖が各 1 ≤ ''i'' ≤ ''n'' に対して <math>\mathfrak{q}_i</math> が <math>\mathfrak{p}_i</math> の上にあるような鎖

:<math>\mathfrak{q}_1 \subseteq \mathfrak{q}_2 \subseteq \cdots \subseteq \mathfrak{q}_n</math>

に拡張できることをいう。

{{harv|Kaplansky|1970}} において、拡大 ''A''⊆''B'' が上昇性質を満たせば lying-over property も満たすことが示されている。

=== 下降 ===

環の拡大 ''A''⊆''B'' が'''下降性質''' (going-down property) を満たすとは、

:<math>\mathfrak{p}_1 \supseteq \mathfrak{p}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{p}_n</math>

が ''A'' の[[素イデアル]]の鎖で

:<math>\mathfrak{q}_1 \supseteq \mathfrak{q}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{q}_m</math>

(''m'' < ''n'') が ''B'' の素イデアルの鎖であって各 1 ≤ ''i'' ≤ ''m'' に対して <math>\mathfrak{q}_i</math> が <math>\mathfrak{p}_i</math> 上にあるようなときにはいつでも後者の鎖が各 1 ≤ ''i'' ≤ ''n'' に対して <math>\mathfrak{q}_i</math> が <math>\mathfrak{p}_i</math> の上にあるような鎖

:<math>\mathfrak{q}_1 \supseteq \mathfrak{q}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{q}_n</math>

に拡張できることをいう。

環準同型をもった環の拡大のケースの一般化がある。''f'' : ''A'' → ''B'' を（単位的）[[環準同型]]であって ''B'' が ''f''(''A'') の環拡大であるとする。このとき ''f'' が'''上昇性質''' (going-up property) を満たすとは ''f''(''A'') に対して ''B'' において上昇性質が成り立つことである。

同様に、''f''(''A'') が環拡大であれば、''f'' が'''下降性質''' (going-down property) を満たすとは下降性質が ''f''(''A'') に対して ''B'' において成り立つということである。

''A''⊆''B'' のような普通の環の拡大のケースでは、[[包含写像]]を考えればよい。

== 上昇定理と下降定理 ==

上昇定理と下降定理の通常のステートメントは環拡大 ''A''⊆''B'' に言及する：
#（上昇） ''B'' が ''A'' の[[整拡大]]であれば上昇定理が成り立ち（したがって lying over property を満たし）、incomparability property を満たす。
#（下降） ''B'' が ''A'' の整拡大で ''B'' が整域であり ''A'' がその分数体において整閉であれば、（上記に加えて）下降定理も成り立つ。

下降定理には別の十分条件がある。
* ''A''⊆''B'' が可換環の{{仮リンク|平坦拡大|en|flat extension}}であれば、下降定理が成り立つ<ref>これははるかに一般的な補題 (Bruns-Herzog, Lemma A.9 on page 415) から従う。</ref>。

''証明''<ref>Matsumura, page 33, (5.D), Theorem 4</ref>：''p''<sub>1</sub>⊆''p''<sub>2</sub> を ''A'' の素イデアルとし ''q''<sub>2</sub> を ''B'' の素イデアルであって ''q''<sub>2</sub> ∩ ''A'' = ''p''<sub>2</sub> とする。''q''<sub>2</sub> に含まれる ''B'' の素イデアル ''q''<sub>1</sub> が存在して ''q''<sub>1</sub> ∩ ''A'' = ''p''<sub>1</sub> であることを証明したい。''A''⊆''B'' は環の平坦拡大であるから、''A''<sub>''p''<sub>2</sub></sub>⊆''B''<sub>''q''<sub>2</sub></sub> は環の平坦拡大であることが従う。実は、''A''<sub>''p''<sub>2</sub></sub>⊆''B''<sub>''q''<sub>2</sub></sub> は環の忠実平坦拡大である、なぜならば包含写像 ''A''<sub>''p''<sub>2</sub></sub> → ''B''<sub>''q''<sub>2</sub></sub> は局所射だからだ。それゆえ、スペクトルに誘導される写像 Spec(''B''<sub>''q''<sub>2</sub></sub>) → Spec(''A''<sub>''p''<sub>2</sub></sub>) は全射であり ''A''<sub>''p''<sub>2</sub></sub> の素イデアル ''p''<sub>1</sub>''A''<sub>''p''<sub>2</sub></sub> に contract する ''B''<sub>''q''<sub>2</sub></sub> の素イデアルが存在する。''B''<sub>''q''<sub>2</sub></sub> のこの素イデアルの ''B'' への contraction は ''p''<sub>1</sub> に contract する ''q''<sub>2</sub> に含まれる ''B'' の素イデアル ''q''<sub>1</sub> である。証明が完了する。 '''Q.E.D.'''

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
* [[Michael Atiyah|Atiyah, M. F.]], and [[I. G. Macdonald]], ''Introduction to Commutative Algebra'', Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9 {{MR|242802}}
* Winfried Bruns; Jürgen Herzog, ''Cohen–Macaulay rings''. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii+403 pp. ISBN 0-521-41068-1
* [[Irving Kaplansky|Kaplansky, Irving]], ''Commutative rings'', Allyn and Bacon, 1970.
* {{cite book|last=Matsumura|first=Hideyuki|title=Commutative algebra|publisher=W. A. Benjamin|year=1970|isbn=978-0-8053-7025-6}}
* {{cite book|last=Sharp|first=R. Y.|chapter=13 Integral dependence on subrings (13.38 The going-up theorem, pp. 258–259; 13.41 The going down theorem, pp. 261–262)|title=Steps in commutative algebra|edition=Second|series=London Mathematical Society Student Texts|volume=51|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|year=2000|pages=xii+355|isbn=0-521-64623-5|mr=1817605}}

{{DEFAULTSORT:しようしようとかこう}}
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[[Category:抽象代数学の定理]]
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