不変量のソースを表示

{{otheruses|数学における不変量|物理学における不変量|不変量 (物理学)}}
{{出典の明記|date=2017年2月}}
'''不変量'''（ふへんりょう、<em lang="en">invariant</em>）とは、[[圏 (数学)|数学的対象]]を特徴付ける別種の数学的対象のことである。一般に、不変量は数や多項式など、不変量同士の[[準同型|同型性]]判定がもとの対象の同型性判定より簡単であるものをとる。良い不変量とは、簡単に計算でき、かつなるべく強い同型性判別能力をもつものである。

== 定義 ==
対象の含まれる[[圏 (数学)|圏]] ''C'' 、対象間の同型[[射 (圏論)|射]] &sim; が与えられているとする。
:<math>\forall X, Y \in \operatorname{ob}(C),\quad X \stackrel{\sim}{\leftrightarrow} Y \Rightarrow f(X) \stackrel{\sim}{\leftrightarrow} f(Y)</math>

を満たすような[[関手]] ''f'': ''C'' &rarr; ''D''（による像）を、''D'' に値をとる ''C'' の'''不変量'''という。定義より、相異なる不変量をもつ二つの対象は互いに異なるが、さらに、
:<math>\forall X, Y \in \operatorname{ob}(C), \quad X \stackrel{\sim}{\leftrightarrow} Y \iff f(X) \stackrel{\sim}{\leftrightarrow} f(Y)</math>

が言えるとき、この不変量は'''完全'''であるという。

== さまざまな不変量 ==
* [[ホモロジー (数学)|ホモロジー群]]は、複体の[[ホモトピー]]同型性に関しての不変量である。
* [[オイラー標数]]はホモロジー群の群同型性に関しての不変量であり、したがって複体の[[ホモトピー]]同型性に関しての不変量である。
* [[結び目]]不変量は、結び目の同型性に関しての不変量である。
* [[グラフ理論|グラフ]]の頂点数は、グラフの同型性に関しての不変量である。
* 図形の[[面積]]([[測度]])は合同性に関しての不変量である。
* [[写像度]]は[[写像]]のホモトピック性に関しての不変量である。

== 関連項目 ==
* [[位相幾何学]]
* [[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]
* [[結び目理論]]

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:ふへんりよう}}
[[Category:数学用語]]
[[Category:数学に関する記事]]