不完全ベータ関数のソースを表示

[[数学]]において'''不完全ベータ関数'''（ふかんぜんベータかんすう、{{lang-en-short|incomplete beta function}}）とは、[[ベータ関数 (数学)|ベータ関数]]の一般化の一つで、ベータ関数の定義に現れる[[定積分]]を[[不定積分]]に置き換えた関数である。[[ガンマ関数]]を一般化して[[不完全ガンマ関数]]を定義する方法に似ている。

== 定義 ==
不完全ベータ関数は<math>0 \leq \mathrm{Re} \ z \leq 1</math>に対して、以下の積分で定義される。
{{Indent|<math> \mathrm{B}_z(a,b) = \int_0^z t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,\mathrm{d}t \!</math>}}
<!-- 第1種不完全ベータ関数ともいうが、第2種を知らないので省略する。不完全ガンマ関数と同様に、z→1で積分したときが2種なのかもしれない。-->

この式において<math>z = 1</math>のときが、ベータ関数である。不完全ベータ関数に対する用語として、普通のベータ関数を'''完全ベータ関数''' (complete beta function) ということもある。

'''正則化された不完全ベータ関数''' (regularized incomplete beta function)（あるいは単に'''正則ベータ関数''' (regularized beta function)）とは、不完全ベータ関数とベータ関数を用いて以下のように定義される。
{{Indent|<math> I_z(a,b) = \frac{\mathrm{B}_z(a,b)}{\mathrm{B}(a,b)} \!</math>}}
正則化不完全ベータ関数は[[ベータ分布]]の[[累積分布関数]]であり、離散的な[[二項分布]]の累積分布関数も正則化不完全ベータ関数を用いて表すことができる。

== 性質 ==
{{Indent|
<math> I_0(a,b) = 0 \, </math><br />
<math> I_1(a,b) = 1 \, </math><br />
<math> I_x(a,1) = x^a \, </math><br />
<math> I_x(1,b) = 1 - (1-x)^b \, </math><br />
<math> I_x(a,b) = 1 - I_{1-x}(b,a) \, </math><br />
<math> I_x(a+1,b) = I_x(a,b)-\frac{x^a(1-x)^b}{a \Beta(a,b)} \, </math><br />
<math> I_x(a,b+1) = I_x(a,b)+\frac{x^a(1-x)^b}{b \Beta(a,b)} \, </math><br />
<math>\Beta(x;a,b) = (-1)^{a} \Beta\left(\frac{x}{x-1};a,1-a-b\right) </math>
}}
<!-- ''(Many other properties could be listed here.)'' -->

== 参考文献 ==
* M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. (1972) [[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]. New York: Dover. ''(See sections 6.6 and 26.5)''
* W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. (1992) [http://nr.com/ Numerical Recipes] in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press. Second edition. ''(See section 6.4)''
* NIST: Digital Library of Mathematical Functions.  [http://dlmf.nist.gov/8.17　(section 8.17, Incomplete Beta Functinos)]

== 関連項目 ==
* [[ベータ関数]]

{{DEFAULTSORT:ふかんせんへえたかんすう}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[en:Beta function#Incomplete beta function]]