不足角のソースを表示

{{表記揺れ案内|角不足|角欠損}}
'''不足角'''（ふそくかく、{{lang-en-short|angular defect}}）とは、[[ユークリッド幾何学]]においては、[[多面体]]の頂点において、その周りの角度の360°に対する不足分を言う。{{要出典|あるいはより一般に[[多胞体]]について、胞のピークの[[二面角]]が真円に足りないものを言う。|date=2024年11月}}

また、それとは少し異なる用法として、非ユークリッド平面上の多角形に対して定義されるものがある。

== 例 ==

全ての面が[[正五角形]]からなる[[正十二面体]]を考える。各頂点においては、正五角形の内角が3つ集まっており、正五角形の内角は108°だから、不足角は 360° − (108° + 108° + 108°) = 36° である。また頂点は全部で20個あるから、不足角の総和は 36° × 20 = 720° である。

他の正多面体についても同様の手順で計算すれば、以下の表を得る。

{|class="wikitable"
!正多面体
!頂点数
!1つの頂点に集まる図形
!不足角
!不足角の総和
|-
|[[正四面体]]||4||3つの正三角形||<math>\pi \ (180^\circ )</math>||<math>4\pi\,</math>
|-
|[[正八面体]]||6||4つの正三角形||<math>{2 \pi\over 3} \ (120^\circ )</math>||<math>4\pi </math>
|-
|[[立方体]]||8||3つの正方形||<math>{\pi\over 2}\ (90^\circ )</math>||<math>4\pi\,</math>
|-
|[[正二十面体]]||12||5つの正三角形||<math>{\pi\over 3}\ (60^\circ )</math>||<math>4\pi\,</math>
|-
|[[正十二面体]]||20||3つの正五角形||<math>{\pi\over 5}\ (36^\circ )</math>||<math>4\pi\,</math>
|}

== デカルトの定理 ==

不足角におけるデカルトの定理（{{lang-en-short|Descartes' theorem on total angular defect}}）とは、球と[[位相同型]]な、つまり穴のない多面体において、不足角の総和は常に 720°（<math>4 \pi </math>）に等しいという定理である（上表も参照）<ref>[[ルネ・デカルト|Descartes, René]], ''Progymnasmata de solidorum elementis'', in ''Oeuvres de Descartes'', vol. X, pp. 265–276</ref>。

より一般には、多面体の[[オイラー標数]] <math>\chi = 2 - 2 g </math>（ここで ''g'' は「穴の数」を表す）を用いて、不足角の総和は <math> 2 \pi \chi </math> で表される。

これは[[ガウス・ボネの定理]]において[[リーマン多様体]]が多面体であるときの特殊なケースであり、不足角はその頂点における[[ガウス曲率]]に一致する。このとき多面体中のガウス曲率は頂点に集中しており、辺や面におけるガウス曲率は 0 となっている。

== 非ユークリッド幾何学における不足角 ==

[[双曲幾何学|双曲三角形]]において、その内角の総和を ''A'' とすれば、不足角は <math>\pi - A </math> で表される。

{{疑問点範囲|
1=また[[球面幾何学|球面三角形]]において、その内角の総和を ''A'' とすれば、不足角は <math>A - \pi </math> で表される。
|title=これは角過剰ではありませんか|date=2024年11月}}

特筆すべきこととして、これらの三角形の面積はその全不足角<ref>球面三角形の場合は球過量 (Spherical Excess) と称され、この量が球面三角形の面積に関係している事実は{{仮リンク|アルベルト・ジラール|fr|Albert Girard|en|Albert Girard}}が彼の著書 ''Invention nouvelle en l'algebre'' において述べている。</ref>に比例することが示される。
{{seealso|球面三角法#球面三角法の基本公式}}

== 関連項目 ==
{{wiktionary|不足}}
{{wiktionary|defect}}

* [[ガウス・ボネの定理]]
* [[球面三角法]]
* [[球面幾何学]]

==脚注==
<references />

===関連文献===
*Richeson, D.; ''Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology'', Princeton (2008), Pages 220–225.
**デビッド・S.リッチェソン『世界で二番目に美しい数式（上）』『同（下）』根上生也訳、岩波書店、2014年、頁未確認。

==外部リンク==
*{{MathWorld|urlname=AngularDefect|title=Angular defect}}

{{DEFAULTSORT:ふそくかく}}
[[Category:多面体]]
[[Category:ユークリッド幾何学]]
[[Category:双曲幾何学]]
[[Category:球面幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]