中山の補題のソースを表示

[[数学]]、具体的には[[抽象代数学|現代代数学]]や[[可換環論]]において、'''中山の補題'''（なかやまのほだい、{{lang-en-short|Nakayama's lemma}}、'''クルル-東屋の定理'''（Krull–Azumaya theorem）とも{{sfn|Nagata|1962|loc=§A.2}}）は、[[環 (数学)|環]]（典型的には[[可換環]]）の[[ジャコブソン根基]]とその[[有限生成加群]]の間の相互関係を定める。有り体には、補題より直ちに可換環上の有限生成加群は[[可換体|体]]上の[[ベクトル空間]]のように振る舞うことが言える。これは[[代数幾何]]において重要な道具である、なぜならばそれによって[[代数多様体]]の局所的なデータを、[[局所環]]上の加群の形において、環の剰余体上のベクトル空間として各点ごとに研究することができるからである。

この補題は、まず[[ヴォルフガンク・クルル]]によって可換環の[[イデアル]]の特殊な場合において発見され、次に一般の場合が {{harvtxt|Azumaya|1951}} によって発見されたにもかかわらず、日本人[[数学者]][[中山正]]にちなんで名づけられている{{sfn|Nagata|1962|loc=§A.2}}{{sfn|Matsumura|1989|p=8}}。可換の場合には、補題は[[ケイリー・ハミルトンの定理]]を一般化した形の単純な帰結であり、これは {{harvtxt|Atiyah|MacDonald|1969}} に書かれている。非可換なときの右イデアルに対する補題の特別な場合は {{harvtxt|Jacobson|1945}} にあり、そのため非可換な中山の補題は'''ジャコブソン-東屋の定理''' (Jacobson–Azumaya theorem) と呼ばれることもある{{sfn|Nagata|1962|loc=§A.2}}。後者は[[ジャコブソン根基]]の理論にたくさんの応用をもっている{{sfn|Isaacs|1993|loc=Corollary 13.13|p=184}}。

== 補題の主張 ==
''R'' を単位元 1 をもった[[可換環]]とする。{{harvtxt|Matsumura|1989}} で述べられているように、以下が中山の補題である。

'''主張 1'''：  ''I'' を ''R'' の[[イデアル]]とし、''M'' を ''R'' 上[[有限生成加群]]とする。''IM'' = ''M'' であれば、''r'' &equiv; 1 (mod ''I'') であるような ''r'' &isin; ''R'' が存在して、''rM''&nbsp;=&nbsp;0 となる。

これは[[#証明|以下で]]証明される。

この系である次もまた中山の補題と呼ばれ、最もよく現れるのはこの形においてである{{sfn|Eisenbud|1995|loc={{Google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=124|Corollary 4.8}}}}{{sfn|Atiyah|MacDonald|1969|loc=Proposition 2.6}}。

'''主張 2'''： ''M'' が ''R'' 上有限生成加群で、''J''(''R'') が ''R'' の[[ジャコブソン根基]]で、''J''(''R'')''M''&nbsp;=&nbsp;''M'' とすると、''M''&nbsp;=&nbsp;0 である。
:''証明''：（上記の様な ''r'' に対し）''r'' &minus; 1 はジャコブソン根基に入るので ''r'' は可逆である。

より一般的に、次が成り立つ。

'''主張 3'''： ''M'' が ''R'' 上加群で、''N'' が ''M'' の部分加群であり、''M''&nbsp;=&nbsp;''N''&nbsp;+&nbsp;''J''(''R'')''M'' 、''M''/''NがR 上有限生成加群''であれば、''M''&nbsp;=&nbsp;''N'' である。
:''証明''： 主張 2 を ''M''/''N'' に適用する。

次の結果は生成元の言葉で中山の補題を述べている{{sfn|Eisenbud|1995|loc={{Google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=124|Corollary 4.8(b)}}}}。

'''主張 4'''： ''M'' が ''R'' 上有限生成加群であり、''M'' の元 ''m''<sub>1</sub>, ..., ''m''<sub>''n''</sub> の ''M''/''J''(''R'')''M'' における像が ''M''/''J''(''R'')''M'' を ''R''-加群として生成すれば、''m''<sub>1</sub>, ..., ''m''<sub>''n''</sub> は ''M'' を ''R''-加群として生成する。
:''証明''： 主張 3 を ''N''&nbsp;=&nbsp;&Sigma;<sub>i</sub>''Rm''<sub>''i''</sub> に適用する。

最後の系の結論は、前もって ''M'' が有限生成であると仮定しなくても、''I''-進位相について ''M'' が[[完備化 (環論)|完備]]かつ分離加群であると仮定すれば、成り立つ{{sfn|Eisenbud|1995|loc={{Google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=203|Exercise 7.2}}}}。ここで分離性は ''I''-進位相が[[T1空間|''T''<sub>1</sub>]]分離公理を満たすことを意味する。これは <math>\textstyle{\bigcap_{k=1}^\infty I^k M = 0}</math> と同値である。

== 結果 ==

=== 局所環 ===
''m'' を[[極大イデアル]]とする[[局所環]] ''R'' 上の有限生成加群 ''M'' という特別なケースにおいて、商 ''M''/''mM'' は体 ''R''/''m'' 上のベクトル空間である。このとき主張 4 は ''M''/''mM'' の[[基底]]は ''M'' の極小生成集合に持ちあがることを意味する。逆に、''M'' のすべての極小生成集合はこのようにして得られ、任意の2つのそのような生成集合は ''R'' に成分をもつ[[可逆行列]]によって関連付けられている。

この形において、中山の補題は具体的な幾何学的重要性を帯びる。局所環は幾何学において点における関数の[[芽 (数学)|芽]]として生じる。局所環上の有限生成加群はきわめて頻繁に[[ベクトル束]]の[[断面 (ファイバー束)|断面]]の芽として生じる。点よりもむしろ芽のレベルで研究するとき、有限次元ベクトル束の概念は[[連接層]]の概念に取って代わられる。インフォーマルには、中山の補題は連接層をなおある意味でベクトル束から来ているとみなすことができると言っている。正確には、''F'' を任意の[[概型|スキーム]] ''X'' 上の '''O'''<sub>''X''</sub>-加群の連接層とする。点 ''p''&nbsp;&isin;&nbsp;''X'' における ''F'' の[[茎 (数学)|茎]]、これは ''F''<sub>''p''</sub> と表記されるが、局所環 '''O'''<sub>''p''</sub> 上の加群である。''p'' における ''F'' のファイバーは
ベクトル空間 ''F''(''p'')&nbsp;=&nbsp;''F<sub>p</sub>''/''m<sub>p</sub>F<sub>p</sub>'' である、ただし ''m''<sub>''p''</sub> は '''O'''<sub>''p''</sub> の極大イデアル。中山の補題によってファイバー ''F''(''p'') の基底は ''F''<sub>''p''</sub> の極小生成集合に持ちあがる。つまり：
* 点における連接層 ''F'' のファイバーの任意の基底は局所断面の極小基底から来ている。

=== 上昇と下降 ===
{{main|上昇と下降}}
'''上昇定理''' (going up theorem) は本質的に中山の補題の系である{{sfn|Eisenbud|1995|loc={{Google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=129|§4.4}}}}。それは次のようなものである。

* ''R''&nbsp;&sub;&nbsp;''S'' を可換環の[[整拡大]]とし、''P'' を ''R'' の[[素イデアル]]とする。このとき ''S'' の素イデアル ''Q'' が存在して、''Q''&nbsp;&cap;&nbsp;''R''&nbsp;=&nbsp;''P''.  さらに、''Q'' は ''Q''<sub>1</sub>&nbsp;&cap;&nbsp;''R''&nbsp;&sub;&nbsp;''P'' であるような ''S'' の任意の素イデアル ''Q''<sub>1</sub> を含むように選ぶことができる。

この結果を幾何学的に述べるために、整拡大は代数多様体の[[固有射]]と対応する。複素数体上の多様体に対して、固有とは単に通常の位相で[[コンパクト集合]]の逆像が再びコンパクトであるということを意味する。すると上昇は固有射のもとでの部分多様体の像が再び部分多様体であることを意味している<ref>複素数体上では、この結果は '''固有写像定理''' (proper mapping theorem) とも呼ばれる。{{harvtxt|Griffiths|Harris|1994|p=34}} を参照。</ref>。

=== 加群の全射準同型 ===
中山の補題は可換環上の有限生成加群は体上のベクトル空間のようであるという解釈を与える。中山の補題の次の結果はこれが正しいような別の解釈を与える。

* ''M'' が有限生成 ''R''-加群で ''&fnof;'':&nbsp;''M''&nbsp;&rarr;&nbsp;''M'' が全射自己準同型であれば、''&fnof;'' は同型写像である{{sfn|Matsumura|1989|loc=Theorem 2.4}}。

局所環上では、加群の全射についてさらに言えることがある<ref name="Griffiths">{{harvnb|Griffiths|Harris|1994|p=681}}</ref>。

* ''R'' が局所環でその極大イデアルが ''m'' であり、''M'', ''N'' は有限生成 ''R''-加群であるとする。&phi;&nbsp;:&nbsp;''M''&nbsp;&rarr;&nbsp;''N'' が ''R''-線型写像で商 &phi;<sub>''m''</sub>&nbsp;:&nbsp;''M''/''mM''&nbsp;&rarr;&nbsp;''N''/''mN'' が全射であれば、&phi; は全射である。

=== ホモロジー代数において ===
中山の補題はまた[[ホモロジー代数学]]においてもいくつかのバージョンがある。上記の全射についてのステートメントは次のことを示すのに使える<ref name="Griffiths" />。

* ''M'' を局所環上有限生成加群とする。すると ''M'' が[[射影加群]]であることと[[自由加群]]であることは同値である。
これの幾何学的、大域的な対応物は [[セール・スワンの定理|Serre–Swan の定理]]であり、射影加群と連接層を関係づける。

より一般に{{sfn|Eisenbud|1993|loc={{Google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=473|Corollary 19.5}}}}、
* ''R'' を局所環とし ''M'' を ''R'' 上の有限生成加群とする。このとき ''M'' の ''R'' 上の[[射影次元]]は ''M'' のすべての極小[[自由分解]]の長さに等しい。さらに、射影次元は ''M'' の[[大域次元]]に等しく、これは定義によって次を満たす最小の整数 ''i''&nbsp;≥&nbsp;0 である：
::<math>\operatorname{Tor}_{i+1}^R(k,M) = 0.</math>
:ここで ''k'' は ''R'' の剰余体であり Tor は[[Tor関手]]である。

== 証明 ==
中山の補題の標準的な証明は{{harvtxt|Atiyah|MacDonald|1969}}<ref>{{harvnb|Matsumura|1989|p=7}}: "A standard technique applicable to finite ''A''-modules is the 'determinant trick'..." {{harvtxt|Eisenbud|1995|loc={{Google books quote|id=xDwmBQAAQBAJ|page=119|§4.1}}}} にある証明も見よ。</ref>による次のテクニックを用いる。
* ''M'' を ''n'' 元で生成された ''R''-加群とし、&phi;&nbsp;:&nbsp;''M''&nbsp;&rarr;&nbsp;''M'' を ''R''-線型写像とする。&phi;(''M'')&nbsp;&sub;&nbsp;''IM'' であるような ''R'' のイデアル ''I'' が存在すれば、''p''<sub>''k''</sub>&nbsp;&isin;&nbsp;''I''<sup>''k''</sup> であるような[[単多項式]]
::<math>p(x) = x^n + p_1x^{n-1}+\cdots + p_n</math>
:が存在して、''M'' の自己準同型として
::<math>p(\varphi)=0</math>
:である。

この主張はちょうど[[ケイリー・ハミルトンの定理]]を一般化したものであり、同様に証明できる。''M'' の生成元 ''x''<sub>''i''</sub> について、
:<math>\varphi(x_i) = \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j</math>
の形の関係がある。ただし ''a''<sub>''ij''</sub>&nbsp;&isin;&nbsp;''I'' である。したがって
:<math>\sum_{j=1}^n\left(\varphi\delta_{ij} - a_{ij}\right)x_j = 0</math>
である。求める結果は行列 (&phi;&delta;<sub>''ij''</sub>&nbsp;&minus;&nbsp;''a''<sub>''ij''</sub>) の[[行列式#余因子行列と逆行列|余因子行列]]を掛け、[[クラメルの公式]]を使うことによって従う。すると det(&phi;&delta;<sub>''ij''</sub>&nbsp;&minus;&nbsp;''a''<sub>''ij''</sub>)&nbsp;=&nbsp;0 であることがわかるので、求める多項式は
:<math>p(t) = \det(t\delta_{ij}-a_{ij})</math>
である。

中山の補題をケイリー・ハミルトンの定理から証明するため、''IM''&nbsp;=&nbsp;''M'' と仮定し、&phi; を ''M'' 上恒等写像であるようにとる。そして上記のように多項式 ''p''(''x'') を定義する。すると
:<math>r=p(1) = 1+p_1+p_2+\cdots+p_n</math>
が所望の性質をもっている。

== 非可換の場合 ==
補題は非可換[[単位的環]] ''R'' 上の右加群に対しても成り立つ。結果の定理は '''ジャコブソン-東屋の定理''' (Jacobson–Azumaya theorem) と呼ばれることもある{{sfn|Nagata|1962|loc=§A.2}}。

''J''(''R'') を ''R'' の[[ジャコブソン根基]]とする。''U'' が環 ''R'' 上の右加群で ''I'' が ''R'' の右イデアルであれば、''UI'' を ''ui'' の形の元のすべての（有限）和が成す集合と定義する。''UI'' は ''U'' の部分加群である。

''V'' が ''U'' の[[極大部分加群]]であれば、''U''/''V'' は[[単純加群]]である。なので ''UJ''(''R'') は ''J''(''R'') の定義と ''U''/''V'' が単純であるという事実によって ''V'' の部分集合である<ref>{{harvnb|Isaacs|1993|p= 182}}</ref>。したがって、''U'' が少なくとも1つの（真の）極大部分加群を含めば、''UJ''(''R'') は ''U'' の真の部分加群である。しかしながら、これは ''R'' 上の任意の加群 ''U'' に対しては成り立つとは限らない、というのも ''U'' がどの極大部分加群を含まないこともあるからだ{{sfn|Isaacs|1993|p=183}}。''U'' が[[ネーター加群]]であれば、自然にこれは成り立つ。''R'' が[[ネーター環]]であり ''U'' が[[有限生成加群|有限生成]]であれば、''U'' は ''R'' 上のネーター加群であり、結論が成り立つ{{sfn|Isaacs|1993|loc=Theorem 12.19|p=172}}。注目すべきなのはより弱い仮定、すなわち ''U'' が ''R''-加群として有限生成（かつ ''R'' についての有限性の仮定はない）で結論を保証するのに十分であるということである。本質的にこれが中山の補題のステートメントである<ref name="Isaacs">{{harvnb|Isaacs|1993|loc=Theorem 13.11|p=183}}</ref>。

正確に言えば、

:'''中山の補題'''： ''U'' を環 ''R'' 上の有限生成右加群とする。''U'' が 0 でなければ、''UJ''(''R'') は ''U'' の真の部分加群である<ref name="Isaacs" />。

=== 証明 ===

''X'' を ''U'' の有限部分集合とし、''U'' を生成するという性質をもつもので極小とする。''U'' は0でないので、この集合 ''X'' は空でない。''X'' の各元を <math>i\in \{1,\ldots,n\}</math> に対し ''x''<sub>i</sub> と表記する。''X'' は ''U'' を生成するので、

:<math>\sum_{i=1}^n x_i R = U</math>

<math>UJ(R) = U</math> と仮定し、矛盾を導く。<math>\sum_{i=1}^n x_i\in U</math> であるので、

:<math>\sum_{i=1}^n (x_i r_i) j_i = \sum_{i=1}^n x_i,\quad (r_i\in R,\, j_i\in J(R))</math>

結合律により、

:<math>\sum_{i=1}^n x_i (r_i j_i) = \sum_{i=1}^n x_i</math>

''J''(''R'') は ''R'' の（両側）イデアルであるので、すべての ''i'' に対して <math>r_i j_i \in J\left(R\right)</math> であって、それゆえ

:<math>\sum_{i=1}^n x_i k_i = \sum_{i=1}^n x_i,\quad (k_i\in J(R))</math>

分配律を適用して、

:<math>\sum_{i=1}^n x_i (1 - k_i) = 0</math>

<math>k_i\in J(R)</math> であるので、それは[[準正則]]であり、したがってすべての ''i'' に対して <math>1 - k_i\in U(R)</math>、ただし ''U''(''R'') は ''R'' の[[単元群]]を表す。ある ''j'' を選び、

:<math>\sum_{i=1}^n x_i (1 - k_i) (1 - k_j)^{-1} = 0</math>

と書く。したがって、

:<math>\sum_{i\neq j} x_i (1 - k_i) (1 - k_j)^{-1} = -x_j</math>

ゆえに ''x''<sub>j</sub> は ''x''<sub>j</sub> と異なる ''X'' の元の線型結合である。これは ''X'' の極小性に矛盾する。証明終了<ref>{{harvnb|Isaacs|1993|loc=Theorem 13.11, p. 183}}; {{harvnb|Isaacs|1993|loc=Corollary 13.12, p. 183}}</ref>。

===より精密な形===
''I'' を ''R'' の左イデアルとすると、以下の条件は同値である{{sfn|Lam|2001|p=60}}：
# ''I'' ⊂ ''J'' (''R'')
# 任意の有限生成左 ''R''-加群 ''M'' に対し、''IM'' = 0 ならば ''M'' = 0
# ''M'' / ''N'' が有限生成であるような任意の左 ''R'' 加群 ''N'' ⊂ ''M'' に対し、''N'' + ''IM'' = ''M'' ならば ''N'' = ''M''

== 次数環・加群において ==

中山の補題の次数付きバージョンもある。''R'' を非負整数からなる半群で[[次数環|次数付けられた]]環とし、<math>R_+</math> で次数が正の元で生成されたイデアルを表記する。このとき ''M'' が十分小さい ''i'' に対して <math>M_i = 0</math> であるような ''R'' 上の次数加群（特に ''M'' が有限生成で ''R'' が負の次数の元を含まない）であって <math>R_+M = M</math> であれば、<math>M = 0</math> である。特に重要なのは ''R'' が普通の次数付けによる多項式環で ''M'' が有限生成加群の場合である。

証明は次数付きでない場合よりもはるかに簡単である。''i'' を <math>M_i \ne 0</math> であるような最小の整数ととれば、<math>M_i</math> は <math>R_+M</math> に現れないことがわかるので、<math>M \ne R_+M</math> であるかまたは、そのような ''i'' は存在しないすなわち <math>M = 0</math>。

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2020年7月}}
*{{cite book| authorlink1= マイケル・アティヤ | last1=Atiyah | first1=Michael F. | authorlink2= :en:Ian G. Macdonald | last2=MacDonald | first2=Ian G. | title=Introduction to Commutative Algebra | publisher=Addison-Wesley | publication-place=Reading, MA | year=1969 | mr=0242802 | url = https://archive.org/details/introductiontoco0000atiy | ref = harv}}
*{{Cite journal| last1=Azumaya | first1=Gorô | author1-link=東屋五郎 | title=On maximally central algebras |mr=0040287 | year=1951 | journal=Nagoya Mathematical Journal 名古屋数学雑誌| issn=0027-7630 | volume=2 | pages=119–150 | ref = harv}}
*{{Cite book| last1=Eisenbud | first1=David | author1-link=:en:David Eisenbud | title=Commutative algebra | url={{google books|xDwmBQAAQBAJ|plainurl=yes}} | publisher=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア |Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94268-1|mr=1322960 | year=1995 | volume=150 | ref = harv}}
*{{Cite book| last1=Griffiths | first1=Phillip | author1-link=Phillip Griffiths | last2=Harris | first2=Joseph | author2-link=:en:Joe Harris (mathematician) | title=Principles of algebraic geometry | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 |mr=1288523 | year=1994 | ref = harv}}
*{{cite book | first=Robin | last=Hartshorne | authorlink=ロビン・ハーツホーン | title=Algebraic Geometry|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=52|publisher=Springer-Verlag|year=1977 | ref = harv}}.
* {{cite book| last= Isaacs | first = I. Martin | year = 1993 | title = Algebra, a graduate course | url={{google books|5tKq0kbHuc4C|plainurl=yes|page=183}} | edition = 1st | publisher = Brooks/Cole Publishing Company | isbn = 0-534-19002-2 | mr=1276273 | ref = harv}}
*{{Cite journal| doi=10.2307/2371731 | last1=Jacobson | first1=Nathan | author1-link= :en:Nathan Jacobson | title=The radical and semi-simplicity for arbitrary rings |mr=0012271 | year=1945 | journal=[[:en:American Journal of Mathematics| American Journal of Mathematics]] | issn=0002-9327 | volume=67 | issue=2 | pages=300–320 | jstor=2371731 | ref = harv}}
* {{cite book | last1 = Lam | first1 = Tsi-Yuen | title = A First Course in Noncommutative Rings|series = Graduate Texts in Mathematics | volume = 131 | edition = 2nd | publisher = Springer-Verlag|place = New York|year = 2001 | isbn = 978-1-4419-8616-0 | ref=harv}}
*{{Cite book| author = [[:d:Q59526510|Hideyuki, Matsumura]]（松村英之）|title=Commutative ring theory | publisher=[[ケンブリッジ大学出版局|Cambridge University Press]] | edition=2nd | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-36764-6 |mr=1011461 | year=1989 | volume=8 | ref = {{SfnRef|Matsumura|1989}}}}
*{{Cite book| last1=Nagata | first1=Masayoshi | author1-link= 永田雅宜 | title=Local rings | publisher=Robert E. Krieger Publishing Co., Huntington, N.Y. | isbn=978-0-88275-228-0 |mr=0460307 | year=1975 | url = https://archive.org/details/masayoshi-nagata-local-rings-reprint-r.-e.-krieger-pub.-co | origyear = 1962 | ref = {{SfnRef|Nagata|1962}}}}.
*{{Cite journal | last1=Nakayama | first1=Tadasi | author1-link= 中山正 | title=A remark on finitely generated modules |mr=0043770 | year=1951 | journal=Nagoya Mathematical Journal 名古屋数学雑誌| issn=0027-7630 |volume=3 | pages=139–140 | ref = harv}} ケンブリッジ大学出版局により2016年1月22日にウェブ{{doi|10.1017/S0027763000012265}}で公開。

== 関連項目 ==
* [[加群論]]
* [[セール・スワンの定理]]
== 関連文献 ==
* 中山正『局所類体論』、[[岩波書店]]〈岩波講座数学9 別項〉、1935年。{{ncid|BN14766638}}。
<!--* 中山正『束の代数的理論』、岩波書店〈現代数学叢書 束論; I〉、1944年。{{ncid|BN1058006X}}。-->
* 中山正『代数系と微分 : 代数学よりの二三の話題』、[[河出書房]]〈数学集書4〉、1948年。{{ncid|BN04295422}}。
* 中山正、東屋五郎『環論』、岩波書店〈現代数学5 代数学 2〉、1954年。	{{ncid|BN02068361}}。
* 松島与三、秋月康夫、永田雅宜、中山正『リー環論 . 近代代数学 . ホモロジー代数学』、服部昭（編）、共立出版〈現代数学講座[6]〉、1956年。		{{ncid|BN04204212}}。

{{デフォルトソート:なかやまのほたい}}
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