中心つき六角数のソースを表示

[[File:Hex number 37.svg|thumb|200px|[[37]]は、四番目の「中心つき六角数」。]]
[[File:Glinski Chess Setup.png|thumb|200px|六角形のマスを用いる[[変則チェス]]の一種。マス目の個数は、6番目の中心つき六角数である91個。]]
'''中心つき六角数'''（ちゅうしんつきろっかくすう、{{lang-en-short|centered hexagonal number}}）あるいは'''ヘックス数''' (hex number) とは、[[中心つき多角数]]の一種で、中心の一点を囲むように正[[六角形]]の形に点を並べたときの点の個数の総称である。

{{Unreferenced|date=March 2018}}
{| 
! 1 !! !! 7 !! !! 19 !! !! 37
|- style="color: red" align="center" valign="middle"
| +1</span> || || +6 || || +12 || || +18

|- align="center" valign="middle"
|<div style="line-height: 15px;">[[Image:RedDotX.svg|16px|*]]</div>
|
|<div style="line-height: 15px;">[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]</div>
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|<div style="line-height: 15px;">[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]</div>
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|<div style="line-height: 15px;">[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:GrayDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]] [[Image:RedDotX.svg|16px|*]]</div>
|}

''n'' 番目の中心つき六角数は以下の式によって表すことができる。

:<math>C_{6,n}=n^3 - (n-1)^3 = 3n(n-1)+1.\,</math>

中心つき六角数を小さいものから列挙すると次のようになる。

[[1]], [[7]], [[19]], [[37]], [[61]], [[91]], [[127]], [[169]], [[217]], [[271]], [[331]], [[397]], [[469]], [[547]], [[631]], [[721]], [[817]], [[919]],… ({{OEIS|A003215}})

==性質==

上にあげた ''n'' 番目の中心つき六角数を表す式は

:<math>1+6\left({1\over 2}n(n-1)\right)</math>

のように変形できることから、''n'' 番目の中心つき六角数は ''n'' &minus; 1 番目の三角数の6倍に1を加えた数に等しい。

また中心つき六角数の1の位は 1–7–9–7–1 の順の繰り返しになっている。

なお中心つき六角数のうち [[1]], [[19]], [[631]], 21421,… は[[中心つき三角数]]でもある。({{OEIS|A107118}})

この中心つき六角数を単に「六角数」と呼ばれることもあるが、[[古代ギリシア]]で研究対象とされた[[多角数]]の一種である[[六角数]]と区別する必要がある。

''n'' 番目の中心つき六角数を ''H''<sub>''n''</sub> とすると、''H''<sub>1</sub> = 1 で[[漸化式]]
:<math>H_{n+1}=H_n+6n\,</math>
を満たすから、一般項は
:<math>H_n=6\Delta_{n-1}+1=3n^2-3n+1=3n(n-1)+1\,</math>
である。ここに、&Delta;<sub>''n''</sub> は ''n'' 番目の[[三角数]]である。中心つき六角数の[[母関数]]は
:<math>\frac{x^2+4x+1}{(1-x)^3}=1+7x+19x^2+37x^3+\cdots</math>
で与えられる。

{| style="line-height:1; float:right;"
|- align="center"
|[[Image:BlackDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:BlackDotX.svg|16px|*]][[Image:BlackDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:BlackDotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:BlackDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:BlackDotX.svg|16px|*]][[Image:BlackDotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:R-DotX.svg|16px|*]][[Image:BlackDotX.svg|16px|*]][[Image:BlackDotX.svg|16px|*]]
|-
! ''n''=3の場合<br><math>3^3-2^3=27-8\,</math><br>または 28 - 3×3
|}

''n'' 番目までの中心つき六角数の和は[[立方数]]となる。すなわち
:<math>\sum_{k=1}^n H_k=n^3</math>
が成り立つ。これは
:<math>H_n=n^3-(n-1)^3\,</math>
より分かる。別の表現をすると、中心つき六角数は立方体数の[[図形数#グノモン|グノモン]]である。

== 中心つき六角素数 ==
'''中心つき六角素数'''(ちゅうしんつきろっかくそすう) とは中心つき六角数の数列において[[素数]]となる数である。具体的には

:[[7]], [[19]], [[37]], [[61]], [[127]], [[271]], [[331]], [[397]], [[547]], [[631]], [[919]],… {{OEIS|A002407}}.

(対応する ''n'' の値は 2, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 18, ...)

千以下で約61.1%、1万以下でも約48.3%が該当する<ref>[https://integers.hatenablog.com/entry/2016/01/06/043730 91：ヘックス数の天才的求め方] - インテジャーズ</ref>。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[六角数]]
* [[六芒星数]]
* [[ヘクス]]
* [[魔六角陣]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=HexNumber|title=Hex Number}}

{{DEFAULTSORT:ちゆうしんつきろつかくすう}}
[[Category:中心つき多角数|06]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]