中心つき多角数のソースを表示

'''中心つき多角数'''（ちゅうしんつきたかくすう、{{lang-en-short|centered polygonal number}}）とは、[[正多角形]]の形に点を中心から順に並べたときにそこに含まれる点の総数にあたる[[自然数]]である。

主な中心つき多角数は以下の通りである。
* [[中心つき三角数]]：[[1]], [[4]], [[10]], [[19]], [[31]], …（{{OEIS|A005448}}）
* [[中心つき四角数]]：[[1]], [[5]], [[13]], [[25]], [[41]], …（{{OEIS|A001844}}）
* [[中心つき五角数]]：[[1]], [[6]], [[16]], [[31]], [[51]], …（{{OEIS|A005891}}）
* [[中心つき六角数]]：[[1]], [[7]], [[19]], [[37]], [[61]], …（{{OEIS|A003215}}）
* [[中心つき七角数]]：[[1]], [[8]], [[22]], [[43]], [[71]], …（{{OEIS|A069099}}）
* [[中心つき八角数]]：[[1]], [[9]], [[25]], [[49]], [[81]], …（{{OEIS|A016754}}）
* [[中心つき九角数]]：[[1]], [[10]], [[28]], [[55]], [[91]], …（{{OEIS|A060544}}）
* [[中心つき十角数]]：[[1]], [[11]], [[31]], [[61]], [[101]], …（{{OEIS|A062786}}）
また、中心つき九角数は 6 以外の[[完全数]]を含み、中心つき八角数は奇数番目の[[平方数]]であり、中心つき十二角数は[[六芒星数]]と一致する。

== 例 ==
[[中心つき四角数]]、[[中心つき六角数]]の例を以下に示す。

;中心つき四角数
{|
! 1 !!&nbsp;&nbsp;&nbsp; !! 5 !!&nbsp;&nbsp;&nbsp; !! 13 !! &nbsp;&nbsp;&nbsp;!! 25
|- align="center" valign="top"
|[[Image:RedDot.svg|16px|*]]
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|[[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]
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|[[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]
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|[[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]]&nbsp;&nbsp; [[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]] &nbsp;&nbsp;[[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]<br>[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]]&nbsp;&nbsp; [[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:GrayDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[Image:Blank300.png|16px|&nbsp;]][[Image:RedDot.svg|16px|*]]
|}

;中心つき六角数
{| 
! 1 !! &nbsp;&nbsp;&nbsp;!! 7 !!&nbsp;&nbsp;&nbsp; !! 19 !! &nbsp;&nbsp;&nbsp;!! 37
|- align="center" valign="middle" style="line-height: 0;"
|[[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
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|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br>[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|}

== 一般化 ==
1 番目の中心つき ''k'' 角数を 1 とするとき、''n'' 番目の中心つき ''k'' 角数 ''C<sub>k,n</sub>'' は以下の式で表される。
:<math>C_{k,n} = \dfrac{kn(n-1)}{2}+1</math>

また、''n'' 番目の[[三角数]] T<sub>n</sub> を用いると
:<math>C_{k,n} = kT_{n-1}+1</math>

となり、[[漸化式]]では次の通りとなる。
:<math>C_{k,1} = 1, C_{k,n+1} = C_{k,n}+kn</math>

== 数表 ==
{| class="wikitable"
|- align="right"
! 名前 ＼ ''n''!!一般式 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10 !! 11 !! 12 !! 13 !!  
[[オンライン整数列大辞典|OEIS]]
|- align="right"
| <center>[[中心つき三角数]]</center> ||<math>\dfrac{3n^2-3n+2}{2}</math> || [[1]] || [[4]] || [[10]] || [[19]] || [[31]] || [[46]] || [[64]] || [[85]] || [[109]] || [[136]] || [[166]] || [[199]] || [[235]] || {{OEIS2C|A005448}}
|- align="right"
| <center>[[中心つき四角数]]</center> || <math>2n^2-2n+1</math>|| [[1]] || [[5]] || [[13]] || [[25]] || [[41]] || [[61]] || [[85]] || [[113]] || [[145]] || [[181]] || [[221]] || [[265]] || [[313]] || {{OEIS2C|A001844}}
|- align="right"
| <center>[[中心つき五角数]]</center> ||<math>\frac{5n^2 - 5n + 2}{2}</math>||  [[1]] || [[6]] || [[16]] || [[31]] || [[51]] || [[76]] || [[106]] || [[141]] || [[181]] || [[226]] || [[276]] || [[331]] || [[391]] || {{OEIS2C|A005891}}
|- align="right"
| <center>[[中心つき六角数]]</center> ||<math>3n^2-3n+1.\,</math>|| [[1]] || [[7]] || [[19]] || [[37]] || [[61]] || [[91]] || [[127]] || [[169]] || [[217]] || [[271]] || [[331]] || [[397]] || [[469]] || {{OEIS2C|A003215}}
|- align="right"
| <center>[[中心つき七角数]]</center> ||<math>\frac{7n^2 - 7n + 2}{2}</math>|| [[1]] || [[8]] || [[22]] || [[43]] || [[71]] || [[106]] || [[148]] || [[197]] || [[253]] || [[316]] || [[386]] || [[463]] || [[547]] || {{OEIS2C|A069099}}
|- align="right"
| <center>[[中心つき八角数]]</center> ||<math>4n^2-4n+1</math>|| [[1]] || [[9]] || [[25]] || [[49]] || [[81]] || [[121]] || [[169]] || [[225]] || [[289]] || [[361]] || [[441]] || [[529]] || [[625]] || {{OEIS2C|A016754}}
|- align="right"
| <center>[[中心つき九角数]]</center> ||<math>\dfrac{(3n-2)(3n-1)}{2}</math>|| [[1]] || [[10]] || [[28]] || [[55]] || [[91]] || [[136]] || [[190]] || [[253]] || [[325]] || [[406]] || [[496]] || [[595]] || [[703]] || {{OEIS2C|A060544}}
|- align="right"
| <center>[[中心つき十角数]]</center> ||<math>5n^2-5n+1</math>|| [[1]] || [[11]] || [[31]] || [[61]] || [[101]] || [[151]] || [[211]] || [[281]] || [[361]] || [[451]] || [[551]] || [[661]] || [[781]] || {{OEIS2C|A062786}}
|- align="right"
| <center>中心つき十一角数</center> ||<math>\frac{11n^2 - 11n + 2}{2}</math>|| [[1]] || [[12]] || [[34]] || [[67]] || [[111]] || [[166]] || [[232]] || [[309]] || [[397]] || [[496]] || [[606]] || [[727]] || 859 || {{OEIS2C|A069125}}
|- align="right"
| <center>[[中心つき十二角数]]</center> ||<math>6n^2-6n+1</math>|| [[1]] || [[13]] || [[37]] || [[73]] || [[121]] || [[181]] || [[253]] || [[337]] || [[433]] || [[541]] || [[661]] || 793 || 937 || {{OEIS2C|A003154}}
|- align="right"
| <center>中心つき十三角数</center> ||<math>\frac{13n^2 - 13n + 2}{2}</math>|| [[1]] || [[14]] || [[40]] || [[79]] || [[131]] || [[196]] || [[274]] || [[365]] || [[469]] || 586 || [[716]] || 859 || 1015 || {{OEIS2C|A069126}}
|- align="right"
| <center>中心つき十四角数</center> ||<math>7n^2-7n+1</math>||  [[1]] || [[15]] || [[43]] || [[85]] || [[141]] || [[211]] || [[295]] || [[393]] || [[505]] || [[631]] || 771 || 925 || 1093 || {{OEIS2C|A069127}}
|- align="right"
| <center>中心つき十五角数</center> ||<math>\frac{15n^2 - 15n + 2}{2}</math>|| [[1]] || [[16]] || [[46]] || [[91]] || [[151]] || [[226]] || [[316]] || [[421]] || [[541]] || [[676]] || 826 || 991 || 1171 || {{OEIS2C|A069128}}
|- align="right"
| <center>中心つき十六角数</center> ||<math>8n^2-8n+1</math>|| [[1]] || [[17]] || [[49]] || [[97]] || [[161]] || [[241]] || [[337]] || [[449]] || [[577]] || 721 || [[881]] || 1057 || 1249 || {{OEIS2C|A069129}}
|- align="right"
| <center>中心つき十七角数</center> ||<math>\frac{17n^2 - 17n + 2}{2}</math>|| [[1]] || [[18]] || [[52]] || [[103]] || [[171]] || [[256]] || [[358]] || [[477]] || [[613]] || [[766]] || 936 || 1123 || 1327 || {{OEIS2C|A069130}}
|- align="right"
| <center>中心つき十八角数</center> |||<math>9n^2-9n+1</math>|| [[1]] || [[19]] || [[55]] || [[109]] || [[181]] || [[271]] || [[379]] || [[505]] || [[649]] || [[811]] || 991 || 1189 || 1405 || {{OEIS2C|A069131}}
|- align="right"
| <center>中心つき十九角数</center> ||<math>\frac{19n^2 - 19n + 2}{2}</math>|| [[1]] || [[20]] || [[58]] || [[115]] || [[191]] || [[286]] || [[400]] || [[533]] || [[685]] || 856 || 1046 || 1255 || [[1483]] || {{OEIS2C|A069132}}
|- align="right"
| <center>中心つき二十角数</center>||<math>10n^2-10n+1</math>||  [[1]] || [[21]] || [[61]] || [[121]] || [[201]] || [[301]] || [[421]] || [[561]] || 721 || [[901]] || 1101 || 1321 || 1561 || {{OEIS2C|A069133}}
|- align="right"
| 中心つき二十一角数 ||<math>\frac{21n^2 - 21n + 2}{2}</math>|| [[1]] || [[22]] ||  [[64]] || [[127]] || [[211]] || [[316]] || [[442]] || 589 || [[757]] || [[946]] || [[1156]] || 1387 || 1639 || {{OEIS2C|A069178}}
|- align="right"
| 中心つき二十二角数 ||<math>11n^2-11n+1</math>|| [[1]] || [[23]] || [[67]] || [[133]] || [[221]] || [[331]] || [[463]] || [[617]] || 793 || 991 || 1211 || 1453 || 1717 || {{OEIS2C|A069173}}
|- align="right"
| 中心つき二十三角数 ||<math>\frac{23n^2 - 23n + 2}{2}</math>|| [[1]] || [[24]] || [[70]] || [[139]] || [[231]] || [[346]] || [[484]] || [[645]] || [[829]] || 1036 || 1266 || 1519 || 1795 || {{OEIS2C|A069174}}
|- align="right"
| 中心つき二十四角数 ||<math>12n^2-12n+1</math>|| [[1]] || [[25]] || [[73]] || [[145]] || [[241]] || [[361]] || [[505]] || [[673]] || [[865]] || 1081 || 1321 || 1585 || 1873 || {{OEIS2C|A069190}}
|}

== 関連項目 ==
* [[図形数]]
* [[正多角形]]
* [[多角数]]
* [[六芒星数]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Centered Polygonal Number|urlname=CenteredPolygonalNumber}}

{{DEFAULTSORT:ちゆうしんつきたかくすう}}
[[Category:中心つき多角数|*]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]