中心力のソースを表示

{{混同|向心力}}
'''中心力'''（ちゅうしんりょく、central force）は[[古典力学]]において、原点と物体を結ぶ線に沿っている方向に働く[[力 (物理学)|力]]である<ref name="wolfram">
{{cite web
|url= http://scienceworld.wolfram.com/physics/CentralForce.html
|title= Central Force
|accessdate= 2008-08-18
|author= Eric W. Weisstein
|date= 1996-2007
|work= ScienceWorld
|publisher= Wolfram Research
}}
</ref>。

:<math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) = F(\boldsymbol{r})\hat{\boldsymbol{r}}</math>

ここで<math>\boldsymbol{F}</math>は力、<math>\boldsymbol{r}</math>は[[位置ベクトル]]、<math>|\boldsymbol{r}|</math>はその長さ、<math>\hat{\boldsymbol{r}} = \boldsymbol{r}/|\boldsymbol{r}|</math>はその[[単位ベクトル]]、<math>F</math> は[[スカラー (物理学)|スカラー]][[関数 (数学)|関数]]である。
中心力の議論では[[球対称]]性を仮定する場合も多く、その場合には<math> F(\boldsymbol{r})</math>は原点からの距離にのみ依存する量<math> F(|\boldsymbol{r}|)</math>になる。
逆に[[球対称]]である場合には、力場は中心力場となる。

== 性質 ==
中心力は[[保存場]]であるため、常に[[ポテンシャル]]の負の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]として表すことができる。
{{indent|<math> \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) = - \mathbf{\nabla} V(\boldsymbol{r}),\quad \text{where }V(\boldsymbol{r}) = \int_{|\boldsymbol{r}|}^{+\infin} F(r)\,\mathrm{d}r</math>}}
（積分の上限はポテンシャルが定義されている任意の定数である。）

保存場では、全[[力学的エネルギー]]（[[運動エネルギー]]と[[ポテンシャルエネルギー]]）は保存される。
{{indent|<math>E = \frac{1}{2} m |\dot{\boldsymbol{r}}|^2 + V(\boldsymbol{r}) = \text{constant}</math>}}
（ここで<math>\dot{\boldsymbol{r}}</math>は<math>\boldsymbol{r}</math>の時間[[微分]]を意味しており、言い換えれば[[速度]]である。）

また中心力場での[[角運動量]]は、力による[[トルク]]がゼロであることより
{{indent|<math>\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times m\dot{\boldsymbol{r}} = \text{constant}</math>}}
である。結果として物体は角運動量ベクトルと垂直で原点を含む面を動き、[[ケプラーの法則|ケプラーの第二法則]]に従う。（角運動量がゼロの場合、物体は原点と物体を結ぶ直線上を運動する。）

保存場であることの結果として、''原点を例外として''中心力場は渦なし（[[回転 (数学)|回転]]がゼロ）である。

{{indent|<math> \nabla\times\boldsymbol{F} (\boldsymbol{r}) = \boldsymbol{0}</math>}}

== 例 ==
[[重力]]と[[クーロン力]]は<math>F(r)</math>が[[逆2乗の法則|1/''r''<sup>2</sup>に比例する]]中心力の代表例である。このような負の<math>F</math>（引力を意味する）の力場の物体は、[[ケプラーの法則]]に従う。

空間的[[調和振動子]]の力場は<math>F(r)</math>が<math>r</math>に比例し、符号が負である。

[[ベルトランの定理]]によれば、これら<math>F(r) = -k/r^2</math> と <math>F(r) = -kr</math>の場合は安定な閉じた軌道を持つ唯一の中心力場である。

ポテンシャル<math>V(r)</math>が[[湯川ポテンシャル]]の場合も力は中心力となる。また重力の働く二質点間における二体問題は、その換算質量による中心力場での'''一体問題'''に帰着させることができる（他の中心力場でも同様に二体→一体に帰着できる）。

== 参考文献 ==
<references/>

== 関連項目 ==
* [[物理学]]
* [[角運動量保存の法則]]
* [[力学]]

{{DEFAULTSORT:ちゆうしんりよく}}
[[Category:力学]]
[[Category:力 (自然科学)]]