中心極限定理のソースを表示

{{告知|議論|中心極限定理の書き換えとその理解について|ノート:中心極限定理#2024年9月5日 (木) 11:22の編集について|date=2024年12月}}
{{出典の明記|date=2010年2月}}
[[File:Somme tirage 1 a 6d6 et loi normale.svg|thumb|400px|right|サイコロを {{mvar|''n''}} 回振ったときの出た目の和 {{math2|''S{{sub|n}}'' {{=}} ''X''{{sub|1}} + … + ''X{{sub|n}}''}} の分布が {{mvar|n}} を大きくするに従って正規分布による近似に近づく様子]]
'''中心極限定理'''（ちゅうしんきょくげんていり、{{lang-en-short|central limit theorem, CLT}}）は、[[確率論]]・[[統計学]]における[[極限定理]]の一つ。

[[大数の法則]]によると、ある[[母集団]]から[[無作為抽出]]した[[標本]]の算術平均は、標本の大きさを大きくすると母集団の[[平均#母平均と標本平均|母平均]]に近づく。これに対して'''中心極限定理'''は、標本の算術平均と母平均との[[誤差]]の[[確率分布]]が、定理の条件が満たされれば、標本の大きさを大きくすると近似的に期待値ゼロの「[[正規分布]]」になることをいう。

なお、母集団の[[分散 (確率論)|分散]]が存在しないあるいは[[有限]]の[[実数]]にならないときには、標本平均と母平均の誤差の分布の[[極限]]が正規分布と異なる場合もある。

中心極限定理は、統計学における[[基本定理]]であり、例えば[[世論調査]]における必要[[サンプル]]のサイズの算出等に用いられる。

== 定理 ==
以下の定理はLindeberg (1922) による<ref>{{harv|Feller|1968|p=244}} あるいは {{harv|フェラー|1961|p=314}}</ref>。

期待値 {{mvar|μ}} と分散 {{math|''σ''{{sup|2}}}} を持つ[[独立同分布]] ("i.i.d.") に従う[[確率変数]]列 {{math2|''X''{{sub|1}}, ''X''{{sub|2}}, …}} に対し <math>\textstyle S_n := \sum_{k=1}^n X_k</math> とおくと、
:<math>P \left( \frac{S_n - n \mu}{\sqrt{n}\sigma} \le \alpha \right) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\alpha} e^{-x^2/2} dx \qquad (n \to \infty).</math>
つまり、独立同分布に従う確率変数列の部分和を標準化すると、期待値 {{math|0}}, 分散 {{math|1}} の[[正規分布]] {{math|N(0, 1)}} に[[確率変数の収束#分布収束|分布収束]]する。

これにより（正規分布に従う確率変数の[[一次式]]もまた正規分布に従うため）{{mvar|n}} が十分大きいとき近似的に、部分和 {{math2|''S{{sub|n}}'' {{=}} ''X''{{sub|1}} + … + ''X{{sub|n}}''}} は平均 {{mvar|nμ}}, 分散 {{math|''nσ''{{sup|2}}}} の正規分布 {{math|N(''nµ'', ''nσ''{{sup|2}})}} に従い、標本平均 <math>\bar{X}_n = (X_1 + \dotsb + X_n)/n</math> は平均 {{mvar|μ}}, 分散 {{math|''σ''{{sup|2}}/''n''}} の正規分布 {{math|N(''μ'', ''σ''{{sup|2}}/''n'')}} に従う。

== 証明 ==
中心極限定理は、[[特性関数 (確率論)|特性関数]]（と[[レヴィの連続性定理]]）を用いることにより証明できる。

{{math|{''X''{{sub|1}}, …, ''X{{sub|n}}''}|}} を[[独立同分布]]に従う[[確率変数]]とする。分布の平均を {{mvar|µ}}、分散を {{math|''σ''{{sup|2}}}} とする。ここで部分和 {{math|''S{{sub|n}}'' {{=}} ''X''{{sub|1}} + … + ''X{{sub|n}}''}} を考えると、その平均と分散はそれぞれ {{mvar|nµ}}, {{math|''nσ''{{sup|2}}}} となる。 <math>S_n</math> を[[標準化]]した確率変数を <math>Z_n</math> とおくと、

:<math>Z_n = \frac{S_n - n \mu}{\sqrt{n \sigma^2}} = \sum_{j=1}^n \frac{X_j - \mu}{\sqrt{n \sigma^2}} = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{j=1}^n  Y_j</math>

を得る。最後の式では新たに、<math>X_j</math> を[[標準化]]した確率変数 {{math|''Y{{sub|j}}''}} を導入した。ここで、{{mvar|Z{{sub|n}}}} の[[特性関数 (確率論)|特性関数]]は、独立性より積の期待値は期待値の積になるため、

:<math>\varphi_{Z_n}(t) = \operatorname{E} [ \exp(i t Z_n)]
= \operatorname{E} \left[  \prod_{j=1}^n \exp \left(\frac{it Y_j}{\sqrt{n}} \right) \right]
= \prod_{j=1}^n \operatorname{E} \left[\exp \left(\frac{it Y_j}{\sqrt{n}} \right) \right]
= \left(\varphi_{Y_1} \left( \frac{t}{\sqrt{n}} \right) \right)^n</math>

最後の等式は全ての {{mvar|Y{{sub|j}}}} は同一分布に従うため同じ特性関数を持つことから導いた。ここで、<math>\varphi_{Y_1}(t)</math> を[[マクローリン展開]]する。

:<math>\begin{align}
\varphi_{Y_1}(0) &= \left. \operatorname{E} \left[e^{i t Y_1}\right]\right|_{t=0} = 1 \\
\varphi_{Y_1}'(0) &= \left. \operatorname{E} \left[i Y_1 e^{i t Y_1}\right]\right|_{t=0} = \operatorname{E} \left[ i Y_1 \right] = i \operatorname{E} \left[ Y_1 \right] = 0 \\
\varphi_{Y_1}''(0) &= \left. \operatorname{E} \left[- Y_1^2 e^{i t Y_1}\right]\right|_{t=0} = \operatorname{E} \left[ - Y_1^2 \right] = -\operatorname{V} \left[ Y_1 \right] = -1
\end{align}</math>

より

:<math>\varphi_{Y_1} \left( \frac{t}{\sqrt{n}} \right) = 1 - \frac{t^2}{2 n} + O(n^{-\frac{3}{2}}), \quad n \rightarrow \infty</math>

となる。ここで、{{math|''O''}} は[[ランダウの記号]]である。この式と[[指数関数]]の定義

:<math>e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n</math>

を用いると、<math>\varphi_{Z_n} \left( t \right) </math> の <math>n \to \infty</math> における極限が以下のように求められる。

:<math>\varphi_{Z_n} \left( t \right) = \left(\varphi_{Y_1} \left( \frac{t}{\sqrt{n}} \right) \right)^n= \left( 1 - \frac{t^2}{2 n} + O(n^{-\frac{3}{2}}) \right)^n= \left( 1 + \frac{-\frac{t^2}{2}+O(n^{-\frac{1}{2}})}{n} \right)^n\to e^{-t^2/2}, \quad n \to \infty</math>

最後の関数は[[標準正規分布]] {{math|N(0, 1)}} の特性関数である。[[特性関数]]と[[確率分布]]の対応は一対一なので、この結果は、{{mvar|Z{{sub|n}}}} の確率分布が <math>n \to \infty</math> の極限で[[標準正規分布]] {{math|N(0, 1)}} に収束することを意味する{{Efn|厳密に[[特性関数]]の収束と[[確率分布関数]]の収束の対応関係が成り立つことは[[レヴィの連続性定理]]により保証される。}}。

以上により、部分和 {{math|''S{{sub|n}}'' {{=}} ''X''{{sub|1}} + … + ''X{{sub|n}}''}} は正規分布 {{math|N(''nµ'', ''nσ''{{sup|2}})}} に収束し、標本平均 <math>\bar{X}_n = (X_1 + \cdots + X_n)/n</math> は正規分布 {{math|N(''µ'', ''σ''{{sup|2}}/''n'')}} に収束することが証明された。

== 正規分布に収束しない場合 ==
より一般化された確率理論（[[確率の公理]]）では、中心極限定理は弱収束理論 (weak-convergence theories) の一部となる。それによると、[[独立同分布]] (i.i.d.) に従う確率変数の分散（2次の[[モーメント (確率論)|モーメント]]）が有限な場合は「確率変数の和の確率分布」は変数の数が多くなるに従い正規分布に収束する{{Efn|古典的な中心極限定理が成り立つ。}}が、確率変数が従う分布の裾が {{math|{{!}}''x''{{!}}{{sup|−''α''−1}}}}（ただし {{math2|0 < ''α'' < 2}}）のべき乗で減衰する場合（分布の裾が厚くなり分散は無限大に発散して）（正規分布には収束せず）特性指数 {{mvar|α}} の[[安定分布]]に収束する<ref>{{Cite book |first1=Johannes |last1=Voit |page=124 |year=2003 |title=The Statistical Mechanics of Financial Markets |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-00978-7}}</ref>。

※なお安定分布は特性指数が {{math2|0 < ''α'' < 2}} のとき分散は無限大となり、分布の裾が[[冪乗則]]に従う[[裾の重い分布#ファットテール|ファットテール]]を有する。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
===注釈===
{{Notelist}}
===出典===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book
|last1 = Feller
|first1 = William
|year = 1968
|title = An introduction to probability theory and its applications
|edition = Third
|volume = I
|publisher = John Wiley & Sons, Inc.
|isbn = 0-471-25711-7
|ref = harv
}}
:* {{Cite book
|和書
|author = W. フェラー
|year = 1961
|title = 確率論とその応用（第1巻、第2版）
|volume = 下巻
|publisher = 紀伊国屋書店
|id = {{NDLDC|2421978|format=NDLJP}}
|ref = {{sfnref|フェラー|1961}}
}}
== 関連項目 ==
{{Commonscat|Central limit theorem}}
* [[確率論]]
* [[大数の法則]]
*{{仮リンク|ド・モアブル{{=}}ラプラスの定理|en|De Moivre–Laplace theorem}}

{{確率論}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ちゆうしんきよくけんていり}}
[[Category:中心極限定理|*]]
[[Category:確率論の定理]]
[[Category:統計学の定理]]
[[Category:漸近理論 (統計学)]]
[[Category:数学に関する記事]]