中点三角形のソースを表示

[[File:Medial Triangle.svg|thumb|三角形とその中点三角形（赤い辺のものが中点三角形）]]
'''中点三角形'''（ちゅうてんさんかくけい、[[英語|英]]:medial triangle, midpoint triangle）または'''補三角形'''<ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=初等幾何学 第1巻 平面之部 |year=1913 |publisher=山海堂書店 |pages=538 |doi=10.11501/930885}}</ref>、中三角形<ref>{{Cite book|和書 |title=英和数学新字典 |year=1902 |publisher=[[開新堂]] |pages=184,311 |doi=10.11501/826188}}</ref>は、[[三角形]]の3[[辺]]の[[中点]]を[[頂点]]とする三角形である。

== 性質 ==
中点三角形の3辺の長さは元の三角形の半分である。これは[[中点連結定理]]から容易に導かれる。これより、中点三角形と元の三角形は[[図形の相似|相似]]であり、その比は 1:2 であることが分かる。また、相似の中心は[[重心]]（2つの三角形の重心は一致する）である。

元の三角形に対する中点三角形のように、重心を中心に-1/2拡大した図形を、元の図形の「Complement」と言う。図形が点であるなら、そのComplementを[[補点 (三角形)|補点]]という。以下の表もComplementの一例である<ref>{{Cite web |title=Complement |url=https://mathworld.wolfram.com/Complement.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-30 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

=== 元の三角形との対応関係 ===
{|border=1
|-
!中点三角形!!元の三角形
|-
||[[頂点]]||[[辺]]の[[中点]]
|-
|[[重心]]||重心
|-
||[[三角形の内接円と傍接円|内心]]||[[シュピーカー点]]
|-
||[[外心]]||[[九点円]]の中心
|-
||[[垂心]]||外心
|-
|[[ジェルゴンヌ点]]
|[[ミッテンプンクト]]
|-
||[[ナーゲル点]]||内心
|-
||[[ド・ロンシャン点]]||垂心
|-
|[[ブロカール点|第三ブロカール点]]
|[[ブロカール点|ブロカール中点]]
|-
||[[オイラー線]]||オイラー線
|-
||[[外接円]]||九点円
|-
||[[内接円]]||[[シュピーカー円]]
|-
|[[シュタイナー楕円|シュタイナーの外接楕円]]
|[[シュタイナーの内接楕円]]
|}

== 座標 ==
[[重心座標]]系で、中点三角形は以下の式で表される<ref>{{Cite web |title=Medial Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/MedialTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-07-13 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

<math>\begin{bmatrix}
   0 & 1 & 1 \\
   1 & 0 & 1 \\
   1 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}</math>

== 逆補三角形 ==
'''逆補三角形'''<ref name=":0" />（Anticomplementary triangle<ref>{{Cite web |title=Anticomplementary Triangle |url=https://mathworld.wolfram.com/AnticomplementaryTriangle.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-07-13 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>）または'''反中点三角形'''<ref>{{Cite web |title=三角形の心 |url=http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/wd/glossary/triangle-centers.html |website=taurus.ics.nara-wu.ac.jp |access-date=2024-07-13}}</ref>とは三角形ABCを中点三角形とする三角形である。元の三角形、中点三角形と相似である。英名の「Anticomplementary」は、逆補三角形の頂点が元の三角形のAnticomplement、重心を中心に-2倍に拡大した点（[[補点 (三角形)|逆補点]]）であること（2:1の反転<ref>{{Cite book|和書 |edition=初版 |title=重心座標による幾何学 |publisher=[[現代数学社]] |date=2014 |location=京都市 |isbn=978-4-7687-0437-0 |editor-first=信 |editor-last=一松 |page=20 |editor-link=一松信}}</ref>）に由来する<ref>{{Cite web |title=Anticomplement |url=https://mathworld.wolfram.com/Anticomplement.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-30 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

逆補三角形は重心座標で以下の式で表される。

<math>\begin{bmatrix}
   -1 & 1 & 1 \\
   1 & -1 & 1 \\
   1 & 1 & -1 \\
\end{bmatrix}</math>

== 脚注 ==
{{reflist}}

{{Elementary-geometry-stub}}
{{DEFAULTSORT:ちゆうてんさんかくけい}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:初等幾何学]]