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'''中線定理'''（ちゅうせんていり、{{lang-en-short|parallelogram law}}）とは、[[幾何学]]において、三角形の[[中線]]の長さと辺の長さの関係を表す[[定理]]である。[[パップス]]の定理と知られているが、実は[[ペルガのアポロニウス|アポロニウス]]が発見した定理である。

== 概要 ==
=== 初等幾何学における中線定理 ===
[[三角形]]OABにおいて以下の関係が成り立つ。
:<math>OA^2+OB^2=2(OM^2+AM^2)</math>
:ただし、点Mは辺ABの[[中点]]である。

この性質を'''中線定理'''という。これは[[スチュワートの定理]]の特別な場合である。特に[[二等辺三角形]]においては[[ピタゴラスの定理]]と同等になる。

[[平行四辺形]]の対角線が互いの中点を通るという事実から、平行四辺形ABCD に対し
:<math>AC^2+BD^2=2(AB^2+BC^2)</math>
と書くこともできるので'''平行四辺形の法則'''とも言われる。

=== 内積空間における中線定理 ===
中線定理は、[[内積]]を有する[[ベクトル空間]]（[[計量ベクトル空間]]）の一般的性質としてとらえることができる。内積空間 ''V'' において、内積 {{math|&lang;&sdot;, &sdot;&rang;}}から導かれる[[ノルム]]:
:<math>\| \boldsymbol{x} \| := \sqrt{\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle}</math>
を与えると、任意の元 '''''x''''', '''''y''''' ∈ ''V'' について、次の中線定理が成り立つ：
:<math>\| \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} \|^2 + \| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \|^2 = 2( \| \boldsymbol{x} \|^2 + \| \boldsymbol{y} \|^2 )</math>
このように、計量ベクトル空間において、内積から導かれるノルムについて中線定理が成り立つが、逆に十分条件でもあることが、[[ジョン・フォン・ノイマン|フォン・ノイマン]]および[[パスクアル・ヨルダン]]によって示されている<ref name="jordan_nuemann1935">{{Cite journal |last=Jordan |first=P. |last2=Neumann |first2=J. V. |date=1935-07 |title=On Inner Products in Linear, Metric Spaces |url=https://www.jstor.org/stable/1968653?origin=crossref |journal=The Annals of Mathematics |volume=36 |issue=3 |page=719 |doi=10.2307/1968653}}</ref>。すなわち、内積が定義されていない[[ノルム空間]]において、ノルムが中線定理を満たすならば、そのノルムを導く内積が存在する。

実際、中線定理が成り立つならば、実数体 '''R''' 上のノルム空間の元 '''''x''''', '''''y''''' に対して、
:<math>\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \rangle :=\frac{1}{4} \{ \| \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} \|^2 - \| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \|^2 \}</math>
複素数体 '''C''' 上のノルム空間の元 '''''x''''', '''''y''''' に対して、
:<math>\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \rangle :=\frac{1}{4} \{ (\| \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y} \|^2 - \| \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y} \|^2) +i(\| \boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y} \|^2 - \| \boldsymbol{x}-i\boldsymbol{y} \|^2) \}</math>
により内積が導かれる。

== 証明 ==
定理をスチュワートの定理の特別な場合と考えて証明するか、または計量ベクトル空間におけるベクトルを使用することで証明することができる。

=== ベクトルによる証明 ===
<math>\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB}</math> をそれぞれ <math>\boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b}</math> と置くと、辺ABの中点がMなので、<math>\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{AM}</math> はそれぞれ <math>\frac{1}{2} (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}),\ \frac{1}{2} (\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})</math> となる。

したがって、
:<math>OM^2 = \frac{1}{4} \| \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} \|^2 = \frac{1}{4} ( \| \boldsymbol{a} \|^2 + 2 \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle + \| \boldsymbol{b} \|^2 ),</math>
:<math>AM^2 = \frac{1}{4} \| \boldsymbol{b} - \boldsymbol{a} \|^2 = \frac{1}{4} ( \| \boldsymbol{a} \|^2 - 2 \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle + \| \boldsymbol{b} \|^2 ).</math>
これより、辺々を加えて2倍すると、
:<math>2(OM^2+AM^2) = \| \boldsymbol{a} \|^2 + \| \boldsymbol{b} \|^2= OA^2+OB^2.</math> [[Q.E.D.]]

=== 解析幾何学による証明 ===
三角形OABにおいて、辺ABの中点Mを原点に取り、辺ABを''x''軸上に取ると、
:<math>M(0,0),\ A(-a,0),\ B(a,0)</math>
と置くことができる。

ここで、頂点Oの座標を (''b'', ''c'') とすると、
:<math>OA^2 = (b + a)^2 + c^2,\ OB^2 = (b - a)^2 + c^2.</math>
したがって、辺々を加えると、
:<math>OA^2 + OB^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2).</math>
一方、
:<math>OM^2 = b^2 + c^2,\ AM^2 = a^2.</math>
したがって、
:<math>OA^2 + OB^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) = 2(OM^2+AM^2).</math> [[Q.E.D.]]

=== 初等幾何学による証明 ===
三角形OABにおいて、辺ABの中点をMとし、∠OMA = θ とすると、
∠OMB = π - θ.

三角形OMAにおいて、[[余弦定理]]を適用すると、
:<math>OA^2 = OM^2 + AM^2 - 2OM \cdot AM \cos\theta.</math>
三角形OMBにおいて、余弦定理を適用すると、
:<math>OB^2 = OM^2 + BM^2 - 2OM \cdot BM \cos(\pi-\theta).</math>
ここで、点Mは辺ABの中点だから、AM = BM が成り立つ。

一方、<math>\cos(\pi-\theta) = - \cos\theta</math> が成り立つので、
:<math>OA^2 + OB^2 = 2(OM^2+AM^2).</math> [[Q.E.D.]]

== 中線定理の逆 ==
中線定理の[[逆]]は成り立たない。[[反例]]として、鋭角三角形△ABCと直線BC上の点Pが
:<math>\text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 2( \text{AP}^2 + \text{BP}^2 )</math>
を満たすとする。

辺ABの中点をNとすると、
:<math>\begin{align}
\text{AB}^2 + \text{AC}^2 &= 2 \{ \text{AP}^2 + \text{BP}^2 \} \\
  &= 2 \{ 2( \text{PN}^2 + \text{BN}^2 ) \} \\
  &= (2 \text{PN})^2 + (2 \text{BN})^2 \\
  &= (2 \text{PN})^2 + \text{AB}^2 \\
\end{align}</math>
:<math>\therefore \ \text{NP} = \frac{1}{2} \text{AC}</math>
△ABCが鋭角三角形のとき、これを満たす点Pで辺BCの中点ではないものがある。（実際に中心が点Nで辺ACの半分の長さを半径とする円を描いてみると明らか。）故に、中線定理の式が成り立っても、Pは辺BCの中点とは限らない。■

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==<!--項目の50音順-->
*[[計量ベクトル空間]] - [[内積]]
*[[スチュワートの定理]]
*[[パップス]]（エジプトの数学者）

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|パップスの定理|2=ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典}}
*{{高校数学の美しい物語|655|中線定理の３通りの証明}}
*{{MathWorld|title=Parallelogram Law|urlname=ParallelogramLaw}}

{{sci-stub}}
{{DEFAULTSORT:ちゆうせんていり}}
[[Category:三角形]]
[[Category:四角形に関する定理]]
[[Category:初等幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:証明を含む記事]]