主値のソースを表示

{{for|[[広義積分]]における主値については|コーシーの主値}}

[[複素解析]]において、関数値として複数の複素数を取る[[多価関数]]を考えるとき、関数の'''主値'''（しゅち、{{lang-en-short|principal value}}）とはその関数の[[分枝_(数学)|分枝]]から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。

== 必要性 ==
[[複素対数関数]] log ''z'' は、一つの[[複素数]] ''z'' を以下を満たす複素数 ''w'' に移す関数である。
:<math>e^w = z\,\!</math>
例えば、<math>\log i</math> の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として ''w'' を求めることになる。
:<math>e^w = i\,\!</math>
[[オイラーの公式]]から、<math>i\pi /2</math> が一つの解であることは明らかであるが、解はそれだけでない。

関数の引数とした点 <math>(0, i)</math> の[[複素平面]]上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。<math>(1, 0)</math> から反時計回りに <math>\pi /2</math> [[ラジアン]]だけ回転した点が <math>(0, i)</math> になるが、ここからさらに <math>2\pi</math> 回転すると、また <math>(0, i)</math> になる。したがって<math>i(\pi/2+2\pi)</math> も <math>\log i</math> の値であると考えることができ、また <math>2\pi</math> だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と考えることができる。

しかし実数関数の場合と比較すると、これには違和感がある。つまり <math>\log i</math> の値は一意に定まらない、ということである。log ''z'' は、''k'' を任意の整数として
: <math>\log{z} = \ln{|z|} + i\left(\mathrm{arg}\ z+2\pi k\right)</math>
と書ける。''k'' の値は[[分岐点_(数学)|分岐点]]として知られ、[[多価関数]]が一価になる点を決めることになる。

ここで ''k'' = 0 に相当する分枝を{{仮リンク|主枝_(数学)|label=主枝|en|principal branch}}、この主枝において関数が取る値を主値と呼ぶ。

== 一般化 ==
一般に ''f''(''z'') が多価関数のとき、''f'' の主値を
:<math>\mathrm{pv}\ f(z)</math>
と書き表す。これは、''f'' の定義域内の複素数 ''z'' について一価の関数となる。

=== 主な関数の主値 ===
複素数を取る[[初等関数]]は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。

==== 対数関数 ====
[[対数関数]]の例は上述したが、その形は
:<math>\log{z} = \ln{|z|} + i\left(\mathrm{arg}\ z\right)</math>
である。ここで <math>\mathrm{arg}\ z</math> が多価である。この偏角の取りうる範囲を <math>-\pi < \mathrm{arg}\ z \le \pi</math> に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの（範囲の限定された）偏角を、大文字を使って <math>\mathrm{Arg}\ z</math> と書く。関数の定義に <math>\mathrm{arg}\ z</math> の代わりに <math>\mathrm{Arg}\ z</math> を使うことで、対数関数が一価になり、
:<math>\mathrm{pv}\ \log{z} = \mathrm{Log}\ z = \ln{|z|} + i\left(\mathrm{Arg}\ z\right).</math>
と書くことができるようになる。

==== 指数関数 ====
<math>\alpha</math> を複素数（<math> \alpha \in \mathbb{C}</math>）とするときの指数 <math>z ^\alpha\,</math> について考えるとき、一般には ''z''<sup>&alpha;</sup> を ''e''<sup>&alpha; log ''z''</sup> として定義する。ここで Log でなく log を使うと、''e''<sup>&alpha; log ''z''</sup> は多価関数となる。Log を使えば以下の形で ''z''<sup>&alpha;</sup> の主値を取ることができる。
: <math>\mathrm{pv}\ z^\alpha = e^{\alpha \mathrm{Log}\ z}</math>

==== 平方根 ====
複素数 <math>z=r e^{\phi i}\,</math> の[[平方根]]の主値は以下のようになる。
:<math>\mathrm{pv} \sqrt{z} = \sqrt{r} \, e^{i \phi / 2}</math>
ここで偏角は <math>-\pi < \phi < \pi \,</math> の範囲である。

==== 複素数の偏角 ====
[[File:Atan2atan.png|right|thumb|atan と atan2 の比較]]

ラジアンで表される複素数の[[偏角_(複素数)|偏角]]の主値は、以下のどちらかで定義されることが多い。
* <math>[0, 2\pi)</math>
* <math>(-\pi, \pi]</math>

逆正接関数をプロットすれば、これらの値を見ることができる。
* [[atan2]]：<math>(-\pi, \pi]</math> の範囲
* [[逆三角関数|atan]]：<math>[-\pi/2, \pi/2)</math> の範囲

==関連項目==
* {{仮リンク|主枝_(数学)|label=主枝|en|principal branch}}
* [[分岐点_(数学)|分岐点]]
* [[多価関数]]
* [[関数_(数学)#多変数関数と多価関数|価数]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Principal Value|urlname=PrincipalValue}}

{{DEFAULTSORT:しゆち}}
[[Category:複素解析]]
[[Category:数学に関する記事]]