主曲率のソースを表示

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{{要改訳}}
[[File:Minimal surface curvature planes-en.svg|thumb|360px|right|主曲率の方向へ法平面を持つ{{仮リンク|鞍点曲面|en|Saddle surface}}(Saddle surface)]]

[[微分幾何学]]において、[[曲面]]上の与えられた点での 2つの'''主曲率'''（しゅきょくりつ、{{lang-en-short|principal curvature}}）は、その点での[[ガウス写像]](Gauss map)の微分の 2つの[[固有値]]である。それらは、曲面がその点で別々な方向へどれくらい曲がっているかを測る。
<!--[[File:Minimal surface curvature planes-en.svg|thumb|300px|right|[[Saddle surface]] with normal planes in directions of principal curvatures]]

In [[differential geometry]], the two '''principal curvatures''' at a given point of a [[surface]] are the [[eigenvalues]] of the [[shape operator]] at the point.  They measure how the surface bends by different amounts in different directions at that point.-->

==要旨==
3次元[[ユークリッド空間]]の中の[[微分可能多様体|微分可能な]][[曲面]]の各々の点 ''p'' では、[[法ベクトル]](normal vector)を選ぶことができる。''p'' での{{仮リンク|法平面|en|Normal plane (geometry)}}(normal plane)は、法ベクトルを含んだ平面であり、従って、曲面の唯一の接方向を含み、{{仮リンク|垂直截線|en|normal section}}(normal section)と呼ばれる平面曲線で曲面の断面を作る。この曲線は、一般には、点 ''p'' で異る法平面に対し異る[[曲率]]を持つ。''p'' での'''主曲率'''(principal curvatures)は、''k''<sub>1</sub> と ''k''<sub>2</sub> と書くことにすると、この曲率の最大値と最小値である。

ここに曲線の曲率は、定義により{{仮リンク|接触円|en|osculating circle}}(osculating circle)の[[半径]]に[[逆数|反比例]]する。曲率は、曲面の選択された法線として曲線が同じ方向にあるときに正となり、そうでない場合は負となる。''k''<sub>1</sub> が ''k''<sub>2</sub> が等しくないとき、曲率が極大値や極小値を取るような法平面の方向は、常に垂直である。この事実は[[レオンハルト・オイラー]](Leonhard Euler) (1760) の結果であり、'''主方向'''(principal directions)と呼ばれる。現代的な観点からは、[[対称テンソル]]の{{仮リンク|主軸定理|label=主軸|en|principal axis theorem}}(principal axes) - [[第二基本形式]](second fundamental form)であるので、この定理は[[スペクトル定理]]から従う。主曲率と主方向の系統的な解析は、[[ジャン・ガストン・ダルブー]](Gaston Darboux)により{{仮リンク|ダルブー標構|en|Darboux frame}}(Darboux frame)を使って研究された。

2つの主曲率の積 ''k''<sub>1</sub>''k''<sub>2</sub> がガウス曲率 ''K'' であり、平均 (''k''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''k''<sub>2</sub>)/2 が{{仮リンク|平均曲率|en|mean curvature}}(mean curvature) ''H'' である。

すくなくとも主曲率の片方が 0 であれば、ガウス曲率は 0 となり、曲面は[[可展面]]である。[[極小曲面]](minimal surface)に対し、平均曲率はすべての点で 0 である。
<!--==Discussion==
At each point ''p'' of a [[differentiable manifold|differentiable]] [[surface]] in 3-dimensional [[Euclidean space]] one may choose a unit [[normal vector]].  A [[normal plane]] at ''p'' is one that contains the normal vector, and will therefore also contain a unique direction tangent to the surface and cut the surface in a plane curve, called [[normal section]].  This curve will in general have different [[curvature]]s for different normal planes at ''p''.  The '''principal curvatures''' at ''p'', denoted ''k''<sub>1</sub> and ''k''<sub>2</sub>, are the maximum and minimum values of this curvature.

Here the curvature of a curve is by definition the [[multiplicative inverse|reciprocal]] of the [[radius]] of the [[osculating circle]].  The curvature is taken to be positive if the curve turns in the same direction as the surface's chosen normal, and otherwise negative.  The directions of the normal plane where the curvature takes its maximum and minimum values are always perpendicular, if ''k''<sub>1</sub> does not equal ''k''<sub>2</sub>, a result of [[Leonhard Euler|Euler]] (1760), and are called '''principal directions'''.  From a modern perspective, this theorem follows from the [[spectral theorem]] because these directions are as the [[principal axis theorem|principal axes]] of a [[symmetric tensor]]&mdash;the [[second fundamental form]].  A systematic analysis of the principal curvatures and principal directions was undertaken by [[Gaston Darboux]], using [[Darboux frame]]s.

The product ''k''<sub>1</sub>''k''<sub>2</sub> of the two principal curvatures is the [[Gaussian curvature]], ''K'', and the average (''k''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''k''<sub>2</sub>)/2 is the [[mean curvature]], ''H''.

If at least one of the principal curvatures is zero at every point, then the [[Gaussian curvature]] will be 0 and the surface is a [[developable surface]]. For a [[minimal surface]], the mean curvature is zero at every point.-->

== 定義 ==
''M'' を[[第二基本形式]](second fundamental form) <math>I\!I(X,Y)</math> を持つユークリッド空間内の曲面とし、点 ''p''∈''M'' と ''p'' での接ベクトルの[[正規直交基底]](orthonormal basis) ''X''<sub>1</sub> と ''X''<sub>2</sub> と固定すると、主曲率は対称行列

:<math>\left[I\!I_{ij}\right] = 
\begin{bmatrix}
I\!I(X_1,X_1)&I\!I(X_1,X_2)\\
I\!I(X_2,X_1)&I\!I(X_2,X_2)
\end{bmatrix}</math>

の固有値である。

''X''<sub>1</sub> と ''X''<sub>2</sub> を行列 <math>\left[I\!I_{ij}\right]</math> が対角行列となるように選ぶと、選び方を'''主方向'''(principal directions)と呼ぶ。曲面が[[向き付け可能性|向き付け可能]]であれば、与えられた向きに関して正の向きであるようにペア (''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>) を取る。

特別な直交基底を参照することなしに、主曲率は{{仮リンク|シェイプ作用素|en|shape operator}}(shape operator)の[[固有値]]であり、主方向は[[固有ベクトル]]である。
<!--==Formal definition==
Let ''M'' be a surface in Euclidean space with [[second fundamental form]] <math>I\!I(X,Y)</math>.  Fix a point ''p''∈''M'', and an [[orthonormal basis]] ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub> of tangent vectors at ''p''.  Then the principal curvatures are the eigenvalues of the symmetric matrix

:<math>\left[I\!I_{ij}\right] = 
\begin{bmatrix}
I\!I(X_1,X_1)&I\!I(X_1,X_2)\\
I\!I(X_2,X_1)&I\!I(X_2,X_2)
\end{bmatrix}.</math>

If ''X''<sub>1</sub> and ''X''<sub>2</sub> are selected so that the matrix <math>\left[I\!I_{ij}\right]</math> is a diagonal matrix, then they are called the '''principal directions'''.  If the surface is [[orientation (mathematics)|oriented]], then one often requires that the pair (''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>) be positively oriented with respect to the given orientation.

Without reference to a particular orthonormal basis, the principal curvatures are the [[eigenvalue]]s of the [[shape operator]], and the principal directions are its [[eigenvector]]s.-->
=== 高次元の場合 ===
{{Main|部分リーマン多様体の接続と曲率}}{{Mvar|M}}を[[リーマン多様体]]{{Mvar|{{overline|M}}}}の部分多様体とする。{{Mvar|M}}が{{Mvar|{{overline|M}}}}において'''余次元1であれば'''、[[第二基本形式]]が2階のテンソル（すなわち[[行列]]）になり、第二基本形式の固有値・固有ベクトルとして主曲率''k''<sub>1</sub>, ..., ''k''<sub>n</sub> とそれに対応する主方向<math>e_1,\ldots,e_n</math>を定義できる。


''p'' での [[断面曲率]]は、<math>i\neq j</math> であるすべての <math>i,j</math> に対し、
:<math>K(e_i,e_j) = \bar{K}(e_i,e_j) + k_ik_j</math>
を満たす。ここで<math> K(e_i,e_j) </math>、<math> \bar{K}(e_i,e_j)  </math>はそれぞれ{{Mvar|M}}、{{Mvar|{{overline|M}}}}の主方向<math>e_i,e_j</math>に関する断面曲率である。

==曲面上の点の分類==

*'''楕円点'''では、双方の主曲率が同じ符号を持っていて、曲面は局所的に凸である。
**'''{{仮リンク|臍点|en|umbilical point}}'''(umbilic points)では、2つの主曲率は等しく、すべての接ベクトルは主方向と考えられる。これらは典型的な孤立点である。
*'''双曲点'''では、2つの主曲率は異る符号を持ち、曲面は鞍状の形となる。
*'''放物点'''では、主曲率の内の一つが 0 である。放物点は、一般に楕円的な領域と双曲的な領域を分離する曲線の上にある。
** '''平坦な臍点'''では、2つの主曲率が 0 である。一般的な曲面は、平坦な臍点を持たない。[[猿の腰掛け]](monkey saddle)は、孤立した平坦な臍点をもつ曲面である。
<!--==Classification of points on a surface==

*At '''elliptical''' points, both principal curvatures have the same sign, and the surface is locally convex.
**At '''[[umbilical point|umbilic points]]''', both principal curvatures are equal and every tangent vector can be considered a principal direction. These typically occur in isolated points.
*At '''hyperbolic''' points, the principal curvatures have opposite signs, and the surface will be locally saddle shaped.
*At '''parabolic''' points, one of the principal curvatures is zero.  Parabolic points generally lie in a curve separating elliptical and hyperbolic regions.
** At '''flat umbilic''' points both principal curvatures are zero. A generic surface will not contain flat umbilic points. The [[monkey saddle]] is one surface with an isolated flat umbilic.-->

==曲率の線==
'''曲率の線'''(lines of curvature)、あるいは、'''曲率線'''(curvature lines)は、主方向に常に接している曲線である（曲率の線は主方向の場の[[積分曲線]](integral curve)である）。各々の非臍点を通して曲率線は 2本あり、直交している。

臍点の近くでは、曲率線は典型的には、次の 3つの構成をとる。'''星状'''、'''レモン状'''、'''モンスター状'''（レモン状から導出される）<ref>Berry, M V, & Hannay, J H, 'Umbilic points on Gaussian random surfaces', J.Phys.A 10, 1977, 1809&ndash;21, .</ref>。これらの点も、ダルブーの臍点と呼ばれ、ジャン・ガストン・ダルブー (Gaston Darboux)が、1896年に最初に系統的に研究したことによっている（彼の講義のVol. 4, p&nbsp;455）。

<gallery caption="臍点の近くの曲率線の構成" widths="180px">
Image:TensorLemon.png|レモン状
Image:TensorMonstar.png|モンスター状
Image:TensorStar.png|星状
</gallery>

これらの図は、赤色の曲線が主方向の曲率線の族であり、青色がもうひとつの主方向の線の曲率線である。

曲率線が同じ主曲率の局所的に極値を持つと、曲線は'''{{仮リンク|峰 (微分幾何学)|label=峰点|en|ridge (differential geometry)}}'''(ridge point)と呼ぶ。峰点は曲面上では曲線を形成し、'''峰'''と呼ばれる。星状の場合とモンスター状の場合には、それぞれ 3本か 1本の峰線が臍点を通る。レモン状の場合は、一本の峰線のみが臍点を通る<ref>{{Cite book|last=Porteous|first=I. R.|title=Geometric Differentiation|publisher=Cambridge University Press|year=1994|isbn=0-521-39063-X|postscript=}}</ref>。
<!--==Line of curvature==
The '''lines of curvature''' or '''curvature lines''' are curves which are always tangent to a principal direction (they are [[integral curve]]s for the principal direction fields). There will be two lines of curvature through each non-umbilic point and the lines will cross at right angles.

In the vicinity of an umbilic the lines of curvature typically form one of three configurations '''star''', '''lemon''' and '''monstar''' (derived from  ''lemon-star'').<ref>Berry, M V, & Hannay, J H, 'Umbilic points on Gaussian random surfaces', J.Phys.A 10, 1977, 1809&ndash;21, .</ref> These points are also called Darbouxian Umbilics, in honor to 
[[Gaston Darboux]], the first to make a systematic study in Vol. 4, p&nbsp;455, of his Leçons (1896).

<gallery caption="Configurations of lines of curvature near umbilics" widths="150px">
Image:TensorLemon.png|Lemon 
Image:TensorMonstar.png|Monstar
Image:TensorStar.png|Star
</gallery>

In these figures, the red curves are the lines of curvature for one family of principal directions, and the blue curves for the other.

When a line of curvature has a local extremum of the same principal curvature then the curve has a '''[[ridge (differential geometry)|ridge point]]'''. These ridge points form curves on the surface called '''ridges'''. The ridge curves pass through the
umbilics. For the star pattern either 3 or 1 ridge line pass through the umbilic, for the monstar and lemon only one ridge passes through.<ref>{{Cite book|last=Porteous|first=I. R.|title=Geometric Differentiation|publisher=Cambridge University Press|year=1994|isbn=0-521-39063-X|postscript=}}</ref>-->

==参考文献==
* {{cite book|first=Gaston|last=Darboux|year=1887,1889,1896|title=Leçons sur la théorie génerale des surfaces: [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0001.001 Volume I], [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0002.001 Volume II], [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0003.001 Volume III], [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABV4153.0004.001 Volume IV]
|publisher=Gauthier-Villars}}
* {{cite book|first=Heinrich|last=Guggenheimer|title=Differential Geometry|year=1977|publisher=Dover|chapter=Chapter 10. Surfaces|isbn=0-486-63433-7}}
*{{cite book | author=Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi | title = Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 | publisher=Wiley-Interscience | year=1996|edition=New |isbn = 0-471-15732-5}}
* {{cite book|last=Spivak|first=Michael|authorlink=Michael Spivak|title=A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3)|year=1999|publisher=Publish or Perish|isbn=0-914098-72-1}}

<references/>

==外部リンク==
*[http://front.math.ucdavis.edu/0411.5403 Historical Comments on Monge's Ellipsoid and the Configuration of Lines of Curvature on Surfaces Immersed in '''R'''<sup>3</sup>]

{{Curvature}}
{{DEFAULTSORT:しゆきよくりつ}}
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