乗法群のソースを表示

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[[数学]]と[[群論]]において、用語'''乗法群''' (multiplicative group) は次の概念の1つを意味する：

* [[可換体|体]]、[[環 (数学)|環]]、あるいはその演算の 1 つとして乗法をもつ他の構造の、[[可逆元]]が'''乗法の下でなす群'''<ref>See Hazewinkel et al. (2004), p. 2.</ref>。体 ''F'' の場合には、群は {{nowrap|{''F'' ∖ {0}, •}}} である、ただし 0 は ''F'' の[[零元]]であり[[二項演算]] • は体の[[乗法]]である。
* {{仮リンク|代数的トーラス|en|algebraic torus}} GL(1).

== 1 の冪根の群スキーム ==
'''[[1の冪根|1の ''n'' 乗根]]の群スキーム''' (group scheme of ''n''-th [[:en:roots of unity|roots of unity]]) は定義によって{{仮リンク|群スキーム|en|group scheme}}と考えて乗法群 GL(1) への ''n'' ベキ写像の核である。つまり、任意の整数 ''n'' > 1 に対して、単位元として働く射 ''e'' とともに、''n'' 乗をとる乗法群の射を考えその[[スキーム論]]の意味で適切な[[ファイバー積]]をとることができる。

得られる群スキームは μ<sub>''n''</sub> と書かれる。体 ''K'' 上とったときそれが{{仮リンク|被約スキーム|en|reduced scheme}}を生じることと ''K'' の[[標数]]が ''n'' を割らないことは[[同値]]である。これによってそれは非被約スキーム（[[構造層]]に[[冪零元]]があるスキーム）のいくつかの重要な例の源となる。例えば任意の[[素数]] ''p'' に対して ''p'' 個の元からなる[[有限体]]上の μ<sub>''p''</sub>。

この現象は代数幾何学の古典的な言葉で容易には表現されない。例えば標数 ''p'' の{{仮リンク|アーベル多様体の双対理論|en|duality theory of abelian varieties}}（[[:en:Pierre Cartier (mathematician)<!-- [[:ja:ピエール・カルティエ]] とリンク -->|Pierre Cartier]] の理論）を表現するのにそれはかなり重要であることがわかる。この群スキームのガロワコホモロジーは[[クンマー理論]]を表現する方法である。

== 例 ==
* {{仮リンク|nを法とする整数の乗法群|label=''n'' を法とする整数の乗法群|en|multiplicative group of integers modulo n}}は群 <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> の可逆元が乗法についてなす群である。''n'' が素数でないとき、0 の他に可逆でない元が存在する。

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* [[Michiel Hazewinkel]], Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. ''Algebras, rings and modules''. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0

== 関連項目 ==
*[[:en:Multiplicative group of integers modulo n]]
*[[加法群]]

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[[Category:群論]]
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