乗算器のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年10月}}
'''乗算器'''（じょうざんき）とは、二つの数について[[乗算]]を行うための[[電子回路]]であり、[[#デジタル乗算器]]と[[#アナログ乗算器]]がある。

==デジタル乗算器==
[[デジタル]]に乗算を実行する回路で、[[演算装置]]の一種である。

デジタル乗算器を実装するには様々な技法が考えられる。
多くの技法は分割した部分の積を計算し、それを加算してまとめることで実現する。
このやり方は、小学校で習う十進整数の筆算による乗算と似ている。
しかし、乗算器ではそれを二進数で実現する。

===符号無整数の場合の例===
ここでは、例示のために8ビットの符号無整数の乗算について説明する。
乗算器の入力であるふたつの数を <math>a[7:0]</math> と <math>b[7:0]</math> とし、ビット配列とみなす。
この場合、8回の 1ビット乗算で 8つの部分積を求める。<math>a</math>の各ビットを<math>b</math>にかける。
つまり、それは <math>a</math> のビットを取り出して、その値に応じて <math>00000000</math> か <math>11111111</math> のどちらかのビットパターンを作り、[[ビット演算]]で[[論理積]]（<math>\mbox{AND}</math>）を実行するのと等しい。

<math>
\begin{cases}
p_0[7:0] = a[0] \times b[7:0] = \{a[0]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\
p_1[7:0] = a[1] \times b[7:0] = \{a[1]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\
p_2[7:0] = a[2] \times b[7:0] = \{a[2]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\
p_3[7:0] = a[3] \times b[7:0] = \{a[3]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\
p_4[7:0] = a[4] \times b[7:0] = \{a[4]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\
p_5[7:0] = a[5] \times b[7:0] = \{a[5]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\
p_6[7:0] = a[6] \times b[7:0] = \{a[6]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]\\
p_7[7:0] = a[7] \times b[7:0] = \{a[7]\}\ \mbox{AND}\ b[7:0]
\end{cases}
</math>

次に最終的な積を求めるため、部分積を以下のように足し合わせる。

{|
| || || || || || || || ||<math>p_0[7]</math>||<math>p_0[6]</math>||<math>p_0[5]</math>||<math>p_0[4]</math>||<math>p_0[3]</math>||<math>p_0[2]</math>||<math>p_0[1]</math>||<math>p_0[0]</math>
|-
| || || || || || ||<math>+</math>||<math>p_1[7]</math>||<math>p_1[6]</math>||<math>p_1[5]</math>||<math>p_1[4]</math>||<math>p_1[3]</math>||<math>p_1[2]</math>||<math>p_1[1]</math>||<math>p_1[0]</math>||<math>0</math>
|-
| || || || || ||<math>+</math>||<math>p_2[7]</math>||<math>p_2[6]</math>||<math>p_2[5]</math>||<math>p_2[4]</math>||<math>p_2[3]</math>||<math>p_2[2]</math>||<math>p_2[1]</math>||<math>p_2[0]</math>||<math>0</math>||<math>0</math>
|-
| || || || ||<math>+</math>||<math>p_3[7]</math>||<math>p_3[6]</math>||<math>p_3[5]</math>||<math>p_3[4]</math>||<math>p_3[3]</math>||<math>p_3[2]</math>||<math>p_3[1]</math>||<math>p_3[0]</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>
|-
| || || ||<math>+</math>||<math>p_4[7]</math>||<math>p_4[6]</math>||<math>p_4[5]</math>||<math>p_4[4]</math>||<math>p_4[3]</math>||<math>p_4[2]</math>||<math>p_4[1]</math>||<math>p_4[0]</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>
|-
| || ||<math>+</math>||<math>p_5[7]</math>||<math>p_5[6]</math>||<math>p_5[5]</math>||<math>p_5[4]</math>||<math>p_5[3]</math>||<math>p_5[2]</math>||<math>p_5[1]</math>||<math>p_5[0]</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>
|-
| ||<math>+</math>||<math>p_6[7]</math>||<math>p_6[6]</math>||<math>p_6[5]</math>||<math>p_6[4]</math>||<math>p_6[3]</math>||<math>p_6[2]</math>||<math>p_6[1]</math>||<math>p_6[0]</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>
|-
|<math>+</math>||<math>p_7[7]</math>||<math>p_7[6]</math>||<math>p_7[5]</math>||<math>p_7[4]</math>||<math>p_7[3]</math>||<math>p_7[2]</math>||<math>p_7[1]</math>||<math>p_7[0]</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>
|-
|colspan=16|<hr>
|-
|<math>P[15]</math>||<math>P[14]</math>||<math>P[13]</math>||<math>P[12]</math>||<math>P[11]</math>||<math>P[10]</math>||<math>P[9]</math>||<math>P[8]</math>||<math>P[7]</math>||<math>P[6]</math>||<math>P[5]</math>||<math>P[4]</math>||<math>P[3]</math>||<math>P[2]</math>||<math>P[1]</math>||<math>P[0]</math>
|}

別の言い方をすると、<math>P[15:0]</math> は <math>p_0</math> ＋ <math>p_1</math>の1ビット左シフト ＋ <math>p_2</math>の2ビット左シフト ＋ … ＋ <math>p_{15}</math>の15ビット左シフトに等しく、最終的に 符号なしの16ビットの積が求められる。

===符号付整数の場合===
<math>b</math> が符号付整数だった場合、部分積を[[符号拡張]]した上で足し合わせる必要がある。<math>a</math> が符号付整数だった場合、部分積の <math>p[7]</math> を足すのではなく、それ以外の合計から引かなければならない。

上で説明した乗算器を[[2の補数]]による符号付整数を扱えるように修正するには、足し合わせる際に以下のように一部の項を逆転させ、かつ <math>p[0]</math> と <math>p_7</math> の左端に <math>1</math> を補う。ここで負号（<math>-</math>）の意味に注意されたい。これは符号の反転ではなく、ビットの反転である。各部分積 <math>p_i</math> の[[最上位ビット]]が反転されているのは、[[符号拡張]]を省くためである。<math>p_7</math> が逆に最上位以外のビットが反転されているのは、減算を加算で表すためである。これは2の補数の性質を巧妙に利用したものである。

{|
| || || || || || || ||<math>1</math>||<math>-p_0[7]</math>||<math>+p_0[6]</math>||<math>+p_0[5]</math>||<math>+p_0[4]</math>||<math>+p_0[3]</math>||<math>+p_0[2]</math>||<math>+p_0[1]</math>||<math>+p_0[0]</math>
|-
| || || || || || || ||<math>-p_1[7]</math>||<math>+p_1[6]</math>||<math>+p_1[5]</math>||<math>+p_1[4]</math>||<math>+p_1[3]</math>||<math>+p_1[2]</math>||<math>+p_1[1]</math>||<math>+p_1[0]</math>||<math>0</math>
|-
| || || || || || ||<math>-p_2[7]</math>||<math>+p_2[6]</math>||<math>+p_2[5]</math>||<math>+p_2[4]</math>||<math>+p_2[3]</math>||<math>+p_2[2]</math>||<math>+p_2[1]</math>||<math>+p_2[0]</math>||<math>0</math>||<math>0</math>
|-
| || || || || ||<math>-p_3[7]</math>||<math>+p_3[6]</math>||<math>+p_3[5]</math>||<math>+p_3[4]</math>||<math>+p_3[3]</math>||<math>+p_3[2]</math>||<math>+p_3[1]</math>||<math>+p_3[0]</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>
|-
| || || || ||<math>-p_4[7]</math>||<math>+p_4[6]</math>||<math>+p_4[5]</math>||<math>+p_4[4]</math>||<math>+p_4[3]</math>||<math>+p_4[2]</math>||<math>+p_4[1]</math>||<math>+p_4[0]</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>
|-
| || || ||<math>-p_5[7]</math>||<math>+p_5[6]</math>||<math>+p_5[5]</math>||<math>+p_5[4]</math>||<math>+p_5[3]</math>||<math>+p_5[2]</math>||<math>+p_5[1]</math>||<math>+p_5[0]</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>
|-
| || ||<math>-p_6[7]</math>||<math>+p_6[6]</math>||<math>+p_6[5]</math>||<math>+p_6[4]</math>||<math>+p_6[3]</math>||<math>+p_6[2]</math>||<math>+p_6[1]</math>||<math>+p_6[0]</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>
|-
|<math>1</math>||<math>+p_7[7]</math>||<math>-p_7[6]</math>||<math>-p_7[5]</math>||<math>-p_7[4]</math>||<math>-p_7[3]</math>||<math>-p_7[2]</math>||<math>-p_7[1]</math>||<math>-p_7[0]</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>||<math>0</math>
|-
|colspan=16|<hr>
|-
||<math>P[15]</math>||<math>P[14]</math>||<math>P[13]</math>||<math>P[12]</math>||<math>P[11]</math>||<math>P[10]</math>||<math>P[9]</math>||<math>P[8]</math>||<math>P[7]</math>||<math>P[6]</math>||<math>P[5]</math>||<math>P[4]</math>||<math>P[3]</math>||<math>P[2]</math>||<math>P[1]</math>||<math>P[0]</math>
|}

なお、乗数も被乗数も負の場合[[算術オーバーフロー]]が発生するが、無視すればよい。

===実装===
古い乗算器アーキテクチャでは、シフターとアキュムレータを使って部分積を足し合わせる必要があった。また、部分積ひとつを計算するのに 1クロックサイクルを要した。最近の乗算器アーキテクチャは、Baugh–Wooley algorithm、[[ウォレス木]]、[[:en:Dadda multiplier]]等を使用して、1クロックサイクルで部分積をすべて加算する。ウォレス木型乗算器の性能は、被乗数の一方に[[ブースの乗算アルゴリズム]]を施して加算すべき部分積の数を減らすことで、さらに向上させることが出来る。

==アナログ乗算器==
[[ファイル:Transistor Multiplier.svg|thumb|250px|トランジスタによる乗算回路
{{Sfn|小島|高田|p=154}}
]]
[[アナログ]]に乗算を実行する回路で、[[周波数]]帯域の変換等に用いられる。
一般的な実装方法は <math>AB=\mathrm{e}^{\log{}A+\log{}B}</math> という等式を利用するものである{{Sfn|柴田|2004|p=223}}。
基本的な原理は次のものである。
#[[バイポーラトランジスタ]]で <math>V_{BE}\propto\log{}I_C</math> となることを利用して、入力信号の対数を得る。
#[[オペアンプ]]で加算する。
#1と同様に <math>I_C\propto\mbox{e}^{V_{BE}}</math> を利用して2.で得た和の指数を取る(これが2数の積)。

（ただし、アナログ回路なので実際には各ステップは、ほぼ瞬時に進む。）

2の部分を減算に変更すれば、同様の原理で除算も可能。

{{main|混合器 (ヘテロダイン)}}
{{clear}}

==参照==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

==参考文献==
{{Refbegin}}
*{{cite book |和書|last=小島 |first=正典 |last2=高田 |first2=豊 |title=基礎アナログ回路 |publisher=米田出版 |date=2003 |isbn=978-4-946553-15-8 |ref=harv}}
*{{Cite journal|和書|url=http://toragi.cqpub.co.jp/Portals/0/backnumber/2004/08/p223-224.pdf |format=PDF |journal=トランジスタ技術 |date=2004-08 |pages=223- |title=乗算回路を作る その1|publisher=CQ出版 |last=柴田 |first=肇 |ref=harv}}
{{Refend}}

==関連項目==
* [[ブースの乗算アルゴリズム]]
* [[積和演算]]
* [[混合器 (ヘテロダイン)]]
* [[加算器]]
*[[オペアンプ]]
==外部リンク==
*[https://web.archive.org/web/20000818145531/http://www.andraka.com/multipli.htm {{lang|en|Multiplier Designs}}]

{{Electronics-stub}}
{{Computer-stub}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:しようさんき}}

[[Category:計算用具]]
[[Category:情報機器]]
[[Category:アナログ回路]]
[[Category:デジタル回路]]
[[Category:電子工学]]
[[Category:CPU]]
[[Category:コンピュータの算術]]
[[Category:数学に関する記事]]