予測区間のソースを表示

{{Expand English|Prediction interval|date=2024年5月}}
'''予測区間'''（よそくくかん）とは[[統計学]]用語で、[[母集団]]を仮定した上で、将来観察されるであろう[[標本値]]（現在は測定できない）に対して「どの範囲にあると'''予測'''されるか」を示すものである。

これに対し、[[信頼区間]]とは、母集団の[[母数]]（標本から測定できない）に対して
「どの範囲にあると'''推定'''できるか」を示すものである。混同しないように注意。

==例==
[[正規分布]]に従う母集団から標本を抽出したとしよう。母集団の[[平均]]と[[標準偏差]]は不明である（標本から推定できるのみ）。''n'' を標本サイズ、 &mu;と 
&sigma; を母集団の平均と標準偏差とし、 ''X''<sub>1</sub>, ...,''X''<sub>''n''</sub> を現在までの標本として、これから次の観察値''X''<sub>''n''+1</sub> を予測したい。現在までの標本の平均および[[分散 (確率論)|分散]]を

:<math>\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n</math>
:<math>S_n^2={1 \over n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X}_n)^2</math>

とする。ここで次の数値：

:<math>{T_{n-1}} \sim {X_{n+1}-\overline{X}_n \over \sqrt{S_n^2+S_n^2/n}} = {X_{n+1}-\overline{X}_n \over S_n\sqrt{1+1/n}}</math>

を考えると、これは[[スチューデントのt分布]]（自由度 ''n'' &minus; 1 ）に従うことが示される。従って

:<math>\Pr\left(\overline{X}_n-T_a S_n\sqrt{1+(1/n)}\leq X_{n+1}   \leq\overline{X}_n+T_a S_n\sqrt{1+(1/n)}\,\right)=p</math>

とすれば、''T<sub>a</sub>'' は自由度 ''n'' &minus; 1 のt分布における 100((1 + p)/2)パーセント点である。そして

:<math>\overline{X}_n\pm T_a {S}_n\sqrt{1+(1/n)}</math>

という数値が ''X''<sub>''n''+1</sub> に対する'''100p%予測区間'''の境界を表す。

例えば ''p'' = 0.95 とすれば、'''95%予測区間'''ということになる。

== 関連項目 ==
{{Portal|数学}}
* [[傾向推定]]

{{統計学}}

{{デフォルトソート:よそくくかん}}
[[Category:推計統計学]]
[[Category:回帰分析]]