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'''予測子修正子法'''（よそくししゅうせいしほう、{{lang-en-short|Predictor‐Corrector Method}}）とは、[[常微分方程式]]の[[初期値問題]]に対する数値解法の一つである<ref name="Yamamoto1">{{Cite book |和書 |author=山本哲朗 |title=数値解析入門 |edition=増訂版 |date=2003-06 |publisher=[[サイエンス社]] |series=サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14 |ISBN=4-7819-1038-6}}</ref>。

[[線形多段法]]に分類され、予測子によって近似計算を行い、修正子によりその近似値を修正する方法が一般的<ref name="Yamamoto1"/>。

代表的な予測子修正子法としてHeunの中点法、Milne-Simpson法、Adams-Moulton法がある。Milne-Simpson法は弱安定で、時には不安定現象を起こすことがある<ref name="Yamamoto1"/>。また、4次のAdams-Moulton法は安定な線形3段解法のうちで最高の次数を持つことが知られている<ref name="Yamamoto1"/>。

== 概要 ==
[[常微分方程式]]の[[初期値問題]]は以下である。

:<math> \dfrac{d u}{d t}=f(t,u) </math>

:<math> u(t_0) = u_0 </math>

この厳密解は以下の[[積分方程式]]を満足する。

<math>u(t_{N})-u(t_{M})=\int_{t_{M}}^{t_{N}}f(t,u(t))dt</math>

ここで、右辺の積分区間を単にきざみの一単位<math>h</math>にとった公式を一般に'''アダムス型公式'''という。

<math>v_{n+1}-v_{n}=\int_{t_n}^{t_{n+1}}g_p(t)dt</math>

被積分関数<math>g_{p}(t)</math>は<math>p</math>個の標本点において値<math>f_{i}=f(t_{j},v_{j})</math>をとる[[ラグランジュ補間]]公式であって、たかだか<math>p-1</math>次の多項式である。

標本点として<math>t_{n-p+1}, t_{n-p+2}, \cdots, t_{n}</math>をとったときこれを<math>p</math>次の'''アダムス・バシュフォース（Adams-Bashforth）公式'''（[[ルンゲ＝クッタ法]]と同様に強安定な公式であり、1次の場合は[[オイラー法]]と同じ<ref name="Yamamoto1"/>）といい、標本点として<math>t_{n-p+2}, t_{n-p+3}, \cdots, t_{n}, t_{n+1}</math>をとったとき<math>p</math>次の'''アダムス・ムルトン（Adams-Moulton）公式'''という。

前者は<math>v_{n-p+1},  \cdots, v_{n}</math>から直接<math>v_{n+1}</math>の値を計算できるのでこれを'''陽公式'''という。

対して、後者は<math>v_{n+1}</math>の値を計算するのに<math>v_{n+1}</math>自身の値を必要とする形式をとっており、このような公式を'''陰公式'''という。

陰公式では、その形から考えられるように、未知数<math>v_{n+1}</math>は[[反復法]]によって求めうる場合がある。

陽公式によって<math>v_{n+1}</math>の値を近似的に計算し、陰公式でその近似値を修正するというアルゴリズムがしばしば採用される。

このとき、陽公式のほうを'''予測子'''（predictor）、対応する陰公式のほうを'''修正子'''（correcter）と呼び、その解法を'''予測子修正子法'''という。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book |和書 |author=森正武 |authorlink=森正武 |year=2002 |month=2 |title=数値解析 |publisher=共立出版 |isbn=4-320-01701-3 }}

== 関連項目 ==
* [[数値解析]]
* [[常微分方程式]]
* [[線形多段法]]

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