二元数のソースを表示

{{出典の明記|date=2016-01}}
[[数学]]における'''二元数'''（にげんすう、{{lang-en-short|''binarion''}}）とは、2次元の[[多元数]]、すなわち[[実数]]体上2次元の[[単位的多元環|単位的]][[結合多元環]]の元のことである。各二元数 {{mvar|x}} は適当な[[基底 (線型代数学)|基底]] {{math|{{mset|1, ''u''}}}} の実数係数の線型結合 {{math|1=''x'' = ''a'' + ''bu''}} ({{math2|''a'', ''b'' ∈ '''R'''}}) の形に表される。

多元環における積は[[双線型写像|双線型]]であるから、2つの二元数 {{math2|1=''x'' = ''a'' + ''bu'', ''y'' = ''c'' + ''du''}} に対して
:<math>xy=(a+bu)(c+du)=ac+(ad+bc)u+bdu^2</math>
これが再び二元数となる（つまり乗法について[[閉性|閉じている]]）ためには、{{mvar|u}} の平方が再び {{math|{{mset|1, ''u''}}}} の線型結合に書けることが必要かつ十分である。

以下の3つは実二次元の単位的多元環である：
* [[複素数]]体：標準基底 {{math|{{mset|1, ''i''}}}}, {{math|1=''i''{{exp|2}} = &minus;1}}.
* [[分解型複素数]]環：標準基底 {{math|{{mset|1, ''j''}}}}, {{math|1=''j''{{sup|2}} = +1}}.
* [[二重数]]環：標準基底 {{math|{{mset|1, ''ε''}}}}, {{math|1=''ε''{{exp|2}} = 0}}.
実は二元数は本質的にこの3種しかないことが示される。

== 二元数の分類定理 ==
; 定理<ref>[[Isaak Yaglom]] (1968) ''Complex Numbers in Geometry'', pages 10 to 14</ref><ref>John H. Ewing editor (1991) ''Numbers'', page 237, Springer, ISBN 3-540-97497-0 </ref><ref>Kantor, I.L., Solodownikow (1978), ''Hyperkomplexe Zahlen'', BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig</ref>{{rp|14,15}}
: [[違いを除いて|同型を除いて]]、実数体上二次元の単位的多元環は通常の[[複素数]]体、[[分解型複素数]]環、[[二重数]]環のちょうど3種類しかない。
{{math proof|実数体上二次元の単位的多元環を {{mvar|A}} とし、実数体上の基底 {{math|{{mset|1, ''u''}}}} をとれば、適当な実数 {{math2|''a'', ''b''}} を用いて
: <math>u^2=a+bu</math>
となる。[[平方完成]]を施して
: <math>\tilde{u}^2 =a+\frac{b^2}{4} \quad \left( \tilde{u} := u-\tfrac{b}{2}\right)</math>
と書くことができるから、右辺が実数値であることに注意すれば、その値に従って以下の三分律が成り立つ：
* {{math|1=4''a'' = &minus;''b''{{sup|2}}}} のとき、従って {{math|1=''ũ''{{sup|2}} = 0}}。このとき、{{math|''ũ'' ↦ ''ε''}} は {{mvar|A}} と二重数環との同型を与える。
* {{math|4''a'' > &minus;''b''{{sup|2}}}} のとき、正の実数 {{math|1=''c'' := {{sqrt|''a'' + {{frac|''b''{{sup|2}}|4}}}}}} が取れて、{{math|1=''v'' := {{sfrac|1|''c''}}''ũ''}} は {{math|1=''v''{{sup|2}} = +1}} を満たす。このとき、{{math|''v'' ↦ ''j''}} は {{mvar|A}} と分解型複素数環との同型である。
* {{math|4''a'' < &minus;''b''{{sup|2}}}} のとき、正の実数 {{math|1=''d'' := {{sqrt|{{frac|''b''{{sup|2}}|4}} &minus; ''a''}}}} が取れて、{{math|1=''w'' = {{sfrac|1|''d''}}''ũ''}} は {{math|1=''w''{{sup|2}} = &minus;1}}。このとき、{{mvar|A}} と複素数体との同型は {{math|''w'' ↦ ''i''}} によって定まる。
}}

== 性質 ==
* [[複素数]]の全体は[[可換体|体]]を成す（[[同型を除いて]]）唯一の二元数代数である。
* [[分解型複素数]]は実数とは異なる {{mvar|1}} の冪根を持ち、[[冪等元]] {{math|{{sfrac|1|2}}(1 &plusmn; ''j'')}} および[[零因子]] {{math|1=(1 + ''j'')(1 &minus; ''j'') = 0}} を持つ。ゆえに、その全体は[[多元体]]とはならないが、これらの性質は十分に意味のあるものである。例えば、[[特殊相対論]]の[[ローレンツ変換]]を記述するために用いることができる。

[[Mathematics Magazine]]（2004年版）は二元数代数を「一般化された複素数」として扱う<ref>Anthony A. Harkin & Joseph B. Harkin (2004) [http://people.rit.edu/harkin/research/articles/generalized_complex_numbers.pdf Geometry of Generalized Complex Numbers], [[Mathematics Magazine]] 77(2):118–29</ref>。四複素数の成す[[複比]]の概念は二元数代数に対しても拡張することができる<ref>Sky Brewer (2013) [http://link.springer.com/article/10.1007/s00006-012-0335-7 "Projective Cross-ratio on Hypercomplex Numbers"], [[Advances in Applied Clifford Algebras]] 23(1):1&ndash;14</ref>。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:にけんすう}}
[[Category:超複素数系]]
[[Category:数学に関する記事]]