二次関数のソースを表示

{{Expand English|Quadratic function|date=2023-11}}
{{出典の明記|date=2019年8月}}
[[ファイル:Polynomialdeg 2.svg|thumb|200px|二次関数はグラフでは[[放物線]]を表す。図は {{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> - ''x'' - 2}} のグラフ。]]

'''二次関数'''（にじかんすう、{{lang-en-short|''quadratic function''}}）とは、次数が2の[[多項式]]によって表される[[関数 (数学)|関数]]のことである。

== 概要 ==
二次関数とは
:<math>f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0)</math>
の形で表される[[関数 (数学)|関数]]のことである。係数 {{math|''a'', ''b'', ''c''}} が実数値の[[定数]]で、{{math|''x''}} が実数値をとる変数とすると、その[[グラフ (関数)|グラフ]]は[[直交座標系|{{math|''xy''-}}座標系]]において[[放物線]]を描く。

本項目では実数値関数としての二次関数に着目して、[[解析幾何学]]でよく知られた事項を記す。

== 定義 ==
次数が2の[[多項式]]によって定義される[[関数 (数学)|関数]]
:<math>f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0)</math>
のことを {{math|''x''}} を独立変数とする'''二次関数'''という。特に {{math|''b'' {{=}} ''c'' {{=}} 0}} のときは、「二乗に比例する関数」とも言う。
:<math>f(x) = a \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}</math>
上記の標準形では、二次関数の[[頂点 (曲線)|頂点]]の座標は一般的に<math>(x, \, y) = \left( -\frac{b}{2a}, \, -\frac{b^2 - 4ac}{4a} \right)</math>となる。
 
:{{math|''f''(''x'') {{=}} ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}}
の形に表された二次関数を'''一般形'''（いっぱんけい、''standard form''）という。式変形によって一般形に変形できる関数も二次関数と呼ばれ、特に
:{{math|''f''(''x'') {{=}} ''a''(''x'' - ''p'')<sup>2</sup> + ''q''}}
の形の二次関数を'''標準形'''（ひょうじゅんけい、''vertex form''）といい
:{{math|''f''(''x'') {{=}} ''a''(''x'' - ''s'')(''x'' - ''t'')}}
の形の二次関数を'''因数分解形'''（いんすうぶんかいけい、''factored form''）もしくは単に分解形という。

一般形で {{math|''b'' {{=}} 0}} のときは標準形でもあり、標準形で {{math|''q'' {{=}} 0}} のときは因数分解形でもある。因数分解形で {{math|''s'' {{=}} ''t''}} のときは標準形でもあり、さらに {{math|''s'' {{=}} ''t'' {{=}} 0}} のときは一般形でもある。

標準形や因数分解形を展開すれば一般形が得られ、一般形を[[因数分解]]すれば因数分解形が得られる。また、一般形を[[平方完成]]すれば、標準形が得られる。

== 表現形式の特徴 ==
[[ファイル:Quadratic-func.png|thumb|300px|{{math|''x''<sup>2</sup>, {{sfrac|''x''<sup>2</sup>|2}} - 10, -2''x''<sup>2</sup> + 60, (''x'' - 10)<sup>2</sup>}} のグラフ]]

一般形
:{{math|''f''(''x'') {{=}} ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}}
は多項式の一般論を適用するときに便利であり、標準形
:{{math|''f''(''x'') {{=}} ''a''(''x'' - ''p'')<sup>2</sup> + ''q''}}
や因数分解形
:{{math|''f''(''x'') {{=}} ''a''(''x'' - ''s'')(''x'' - ''t'')}}
は座標平面上に描かれる[[放物線]]を通して二次関数の性質を調べるときに便利な形である。
:{{math|''y'' {{=}} ''a''(''x'' - ''p'')<sup>2</sup> + ''q''}}
の形で表される[[直交座標系|{{math|''xy''-}}平面]]上の放物線の軸は {{math|''x'' {{=}} ''p''}} であり、[[頂点 (曲線)|頂点]]の座標は {{math|(''p'', ''q'')}} となる。
:{{math|''y'' {{=}} ''a''(''x'' - ''s'')(''x'' - ''t'')}}
の形で表される放物線は {{math|''s'', ''t''}} が[[実数]]ならば {{math|''x''}} 軸と {{math|''x'' {{=}} ''s'', ''t''}} で交わる。特に {{math|''s'' {{=}} ''t''}} ならば放物線は {{math|''x''}} 軸に接する。

== 関連項目 ==
* [[写像]]
* [[グラフ (関数)|グラフ]]
* [[多項式]]
* [[二次方程式]]
* [[放物線]]
* [[一次関数]]
{{多項式}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:にしかんすう}}
[[Category:解析幾何学]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:多項式]]
[[Category:数学に関する記事]]