二百五十五角形のソースを表示

'''二百五十五角形'''（にひゃくごじゅうごかくけい、にひゃくごじゅうごかっけい）は、[[多角形]]の一つで、255本の[[辺]]と255個の[[頂点]]を持つ[[図形]]である。[[内角]]の[[加法|和]]は45540°、[[対角線]]の本数は32130本である。

== 正二百五十五角形 ==
正二百五十五角形においては、中心角と外角は1.411…°で、内角は178.588…°となる。一辺の長さが a の正二百五十五角形の面積 S は
:<math>S = \frac{255}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{255} \simeq 5174.26329 a^2</math>

<math>\cos (2\pi/255)</math>は有理数と平方根の組み合わせのみで表せる。

<div style="overflow: auto;">
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{255}=& \cos\left( \frac{\pi}{15}-\frac{\pi}{17} \right) \\
& = \cos\frac{\pi}{15}\cos\frac{\pi}{17}+\sin\frac{\pi}{15}\sin\frac{\pi}{17} \\
& = \frac{1}{8}\left( {-1+\sqrt{5}+\sqrt{30+\sqrt{180}}} \right) \cdot \cos\frac{\pi}{17}+\frac{1}{8}\left( {+\sqrt{3}-\sqrt{15}+\sqrt{10+\sqrt{20}}} \right) \cdot \sin\frac{\pi}{17} \\
& = \frac{1}{8}\left( {-1+\sqrt{5}+\sqrt{30+\sqrt{180}}} \right) \cdot \frac{1}{16}\left( {+1-\sqrt{17}+\sqrt{34-\sqrt{68}} + \sqrt{68+\sqrt{2448}+\sqrt{2720+\sqrt{6284288}}}} \right)+\frac{1}{8}\left( {+\sqrt{3}-\sqrt{15}+\sqrt{10+\sqrt{20}}} \right) \cdot \frac{1}{8}\left( {\sqrt{34 - \sqrt{68} - \sqrt{136-\sqrt{1088}} - \sqrt{272+\sqrt{39168}-\sqrt{43520+\sqrt{1608777728}}}}} \right) \\
\end{align}</math>
</div>

:<math>255 = 16^2 -1 = (16+1)(16-1) = (16+1)(4+1)(4-1) = (16+1)(4+1)(2+1)(2-1) = 17 \cdot 5 \cdot 3 </math>

=== 正二百五十五角形の作図 ===
正二百五十五角形は[[定規とコンパスによる作図]]が可能な図形の一つである。

正二百五十五角形がコンパスと定規で作図できることは[[1796年]]に[[カール・フリードリヒ・ガウス]]が[[正十七角形]]がコンパスと定規で作図できることを発見したと同時に証明されたことになる。これは任意の[[三角関数]]において、その[[変数 (数学)|変数]]としての[[角度|角]]が 2π/255 [[ラジアン|rad]]のとき、関数の値が[[有理数]]と[[平方根]]の組み合わせのみで表現できることを意味する。

[[ファイル:Regular 255-gon Inscribed in a Circle.gif|480px|サムネイル|なし|正二百五十五角形の作図]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[三角形]]
* [[五角形]]
* [[十七角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:にひやくこしゆうこかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{Geometry-stub}}