二進法のソースを表示

{{Redirect|2進数|有理数を含む2進数|p進数}}
{{読み仮名|'''二進法'''|にしんほう|{{lang-en-short|binary numeral system, base-2 numeral system}}}}とは、底を[[2]]とする[[位取り記数法]]および[[命数法]]である。二進法によって表された数を{{読み仮名|'''二進数'''|にしんすう|{{lang-en-short|binary number}}}}と呼ぶ。二進法において、位は順に底[[2の冪]]（{{math2|…, {{sfrac|4}}, {{sfrac|2}}, 1, 2, 4, …}}）ごとに取り、位の値は 0 または 1 を取る（例：[[十進法|十進数]]の {{math2|1=7 (= 4 + 2 + 1)}} は二進法で {{math|111}}、{{math2|1=1.75 (= 1 + 0.5 + 0.25)}} は {{math|1.11}} と表される）。

== 記数法 ==
{{see also|位取り記数法}}
[[ファイル:Binario.svg|サムネイル|二進法で表された数]]
[[2|二]]を底とする[[位取り記数法]]を'''二進記数法'''または単に二進法と呼ぶ。二進法による数の表示は、一の位を {{math2|1=''k'' = 0}} とし添字 {{mvar|k}} で位の位置を表し、位の値を {{math2|1=''d''{{sub|''k''}} &isin; {{mset|0, 1}}}} で表せば、以下のように書ける：
: <math display="block">
  d_{n-1} \cdots d_1 d_0
  .
  d_{-1} \cdots
  \,.
</math>
これは以下の[[総和]]の略記と見なせる：
: <math display="block">
  \sum_k^{n-1} d_k 2^k
  = d_{n-1}2^{n-1} 
    + \cdots 
    + 2d_1 
    + d_0
    + \frac{d_{-1}}{2}
    + \dotsm {} \,.
</math>
例えば十進法における {{math|21.25}} は二進法において、
: <math display="block">
  10101.01_2
  = 16 + 4 + 1 + \frac{1}{4}
  = 21.25
</math>
と表される（添字の 2 は二進表記であることを示す）。負の数は一般的な記数法と同じく、負号をつけて表す（例：{{math|&minus;10101.01{{sub|2}}}}）。

十進法など一般の位取り記数法と同様に、二進法においても[[小数]]部が有限の長さとなる数は一部の[[有理数]]に限られ、また[[円周率]]のような[[無理数]]を厳密に表すことはできない。二進法の場合、有理数を表す既約分数について、分母が2の冪ならば有限小数として書けるが、そうでないならば有限小数としては書けない。例えば十進法では {{math2|1={{sfrac|5}}}} を有限小数 {{math|0.2}} で表せるが、二進法では[[循環小数]] {{math2|1=0.{{overline|0011}}{{sub|2}} = 0.00110011…{{sub|2}}}} で表さなければならない。<!--
{| class="wikitable" style="text-align:right; line-height:1.3em;"
|+ 二進法における足し算
! + || 0 || 1
|-
! style="width:1.3em" | 0
| style="width:1.3em" | 0 || style="width:1.3em" | 1
|-
! 1
| 1 || 10
|}
-->

== デジタル機器での使用 ==
{{See also|コンピュータの数値表現}}
電子式[[コンピュータ]]の[[電子回路]]などの[[デジタル回路]]（デジタル[[論理回路]]）、[[磁気ディスク]]等の記憶メディアでは、[[電圧]]の高低、[[磁極]]の N/S など、[[物理学|物理]]現象を二状態のみに縮退して扱う（離散化などと言う<ref group="注">量子化とも言うが、量子物理におけるいわゆる量子のような意味（重ね合わせ状態など）ではない。</ref>）ので、それに、真と偽の2つの値（2値の[[真理値]]）のみを使用する二値論理（しばしば、電子的には [[H]] と [[L]]、論理的には [[T]] と [[F]] という記号が使われる）をマッピングする。更にそこで数値を扱うには、それに「[[0]] と [[1]]」の二進法をマッピングするのが最適である。

多くの応用で見られるように[[桁]]数が有限の場合は、数学的に言うなら「[[有理数]]の部分集合」が表現されているわけであるが、通常は「有限精度の実数」が表現されていると解釈される。このため、コンピュータやデジタル機器は二進数が使用される。

また、[[八進法]]や[[十六進法]]や[[三十二進法]]は同じく2の冪を底とするためしばしば利用される。

=== 負数の扱い ===
{{See also|符号付数値表現}}
[[ビット]]列によって負の数の値を表すため広く用いられる方法の一つとして、[[2の補数]]表現がある。2の補数表現は、{{mvar|n}} 桁のビット列の最上位ビットの重みを {{math|+2<sup>''n''&minus;1</sup>}} ではなく {{math|&minus;2<sup>''n''&minus;1</sup>}} とするものである。2の補数表現は、そのビットパターンが、加減(及び、乗)の演算において特別な処理が不要なものになる、という特長を持つ。ただし、溢れ（オーバーフロー）の扱いが違ってくる（これは、例えばx86プロセッサにおける、キャリーフラグとオーバフローフラグの違いのことである（[[ステータスレジスタ#キャリーとオーバーフロー]]を参照））。

== 他のN進法から二進法への変換方法 ==
「[[十進法]]から二進法への変換方法」などといったものを考える必要はない。どちらも'''数の「表現法」'''に過ぎないのだから、単に「表現法 → 数 → 表現法」といったようにして変換すれば良いのである。

=== 正の整数 ===
正の整数 m を十進法から二進法に変換するのは次のようにする。
# m を x に代入する。
# x を 2 で割って、余りを求める。
# x/2 の商を x に代入する。
# 2. に戻る。x = 0 であれば終了。
余りを求めた順の逆に並べると、それが二進法に変換された結果になる。

例:'''[[192]]'''を二進法に変換する。
 2<span style="text-decoration:underline;">)192</span>　 　192=2<sup>0</sup>×192<br />
 2<span style="text-decoration:underline;">) 96</span>…'''0'''　192=2<sup>1</sup>× 96+2<sup>0</sup>×0<br />
 2<span style="text-decoration:underline;">) 48</span>…'''0'''　192=2<sup>2</sup>× 48+2<sup>1</sup>×0+2<sup>0</sup>×0<br />
 2<span style="text-decoration:underline;">) 24</span>…'''0'''　192=2<sup>3</sup>× 24+2<sup>2</sup>×0+2<sup>1</sup>×0+2<sup>0</sup>×0<br />
 2<span style="text-decoration:underline;">) 12</span>…'''0'''　192=2<sup>4</sup>× 12+2<sup>3</sup>×0+2<sup>2</sup>×0+2<sup>1</sup>×0+2<sup>0</sup>×0<br />
 2<span style="text-decoration:underline;">)  6</span>…'''0'''　192=2<sup>5</sup>×  6+2<sup>4</sup>×0+2<sup>3</sup>×0+2<sup>2</sup>×0+2<sup>1</sup>×0+2<sup>0</sup>×0<br />
 2<span style="text-decoration:underline;">)  3</span>…'''0'''　192=2<sup>6</sup>×  3+2<sup>5</sup>×0+2<sup>4</sup>×0+2<sup>3</sup>×0+2<sup>2</sup>×0+2<sup>1</sup>×0+2<sup>0</sup>×0<br />
 2<span style="text-decoration:underline;">)  1</span>…'''1'''　192=2<sup>7</sup>×  1+2<sup>6</sup>×1+2<sup>5</sup>×0+2<sup>4</sup>×0+2<sup>3</sup>×0+2<sup>2</sup>×0+2<sup>1</sup>×0+2<sup>0</sup>×0<br />
     0…'''1'''<br />

よって 192<sub>10</sub> = 11000000<sub>2</sub> である。

=== 正で 1 未満の数 ===
正で 1 未満 (0 &lt; m &lt; 1) である数 m を十進法から二進法に変換するのは次のようにする。

# 1 を n に、m を x に代入する。
# 2x &lt; 1 ならば、小数点以下第 n 位は 0 になる。2x > 1 ならば、小数点以下第 n 位は 1 になる。
# 2x = 1 ならば終了。
# 2x > 1 ならば 2x - 1 を x に代入する。2x &lt; 1 ならば 2x を x に代入する。
# n + 1 を n に代入する。
# 小数点以下の桁数が必要な桁数まで求まっているか、循環小数となったら終了する。
# 2. へ戻る。

計算の例1: 1/3 を二進法に変換する。
:{| class="wikitable"
!処理!!（途中）結果
|-
|<math>\begin{matrix} \frac{1}{3} \end{matrix}</math>||0.
|-
|<math>\begin{matrix} \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3} < 1 \end{matrix}</math>||0.0
|-
|<math>\begin{matrix} \frac{2}{3} \times 2 = 1\frac{1}{3} \ge 1 \end{matrix}</math>||0.01
|-
|<math>\begin{matrix} \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3} < 1 \end{matrix}</math>||0.010
|}
ここで「処理」の部分の最後「<math>\begin{matrix} \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3} < 1 \end{matrix}</math>」はそれ以前に出てきた式である。このため、これ以上続けても同じ式の繰り返しで永久に終わらないことがわかる。すなわち小数部の「01」が循環することがわかるので終了する。

よって1/3<sub>10</sub>=0.010101…<sub>2</sub>=0.<span style="text-decoration:underline;">01</span><sub>2</sub>

（なお、アンダーバーの部分（<span style="text-decoration:underline;">01</span>）は無限に繰り返しという意味）

計算の例 2: 十進法での 0.1 を二進法に変換する。
:{| class="wikitable"
!処理!!（途中）結果
|-
|'''0.1'''||0.
|-
|0.1×2='''0.2'''<1||0.0
|-
|0.2×2='''0.4'''<1||0.00
|-
|0.4×2='''0.8'''<1||0.000
|-
|0.8×2='''1.6'''&ge;1||0.0001
|-
|0.6×2='''1.2'''&ge;1||0.00011
|-
|0.2×2='''0.4'''<1||0.000110
|-
|0.4×2='''0.8'''<1||0.0001100
|}

ここで「処理」の部分の最後「0.4×2 = '''0.8''' &lt; 1」はそれ以前に出てきた式である。このため、これ以上続けても同じ式の繰り返しで永久に終わらないことがわかる。すなわち小数部の「0011」が循環することがわかるので終了する。

よって 0.1<sub>10</sub> = 0.0001100110011…<sub>2</sub> = 0.0<span style="text-decoration:underline;">0011</span><sub>2</sub> である。

== 命数法 ==
'''二進命数法'''とは、2 を底とする[[命数法]]である。
通常、二進法の[[数詞]]を持つとされるものは二つ組で数える体系であり、[[乗算]]が含まれない。以下にパプアニューギニアの[[南キワイ語]]<ref>{{Citation|contribution=Kiwai, Southern|title=Ethnologue: Languages of the World|edition=15|url=http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=kjd|editor-last=Gordon|editor-first=Raymond G., Jr.|year=2005|accessdate=2008-03-12}}</ref> (Southern Kiwai) およびシッサノ語<ref>{{Citation|contribution=Sissano|title=Ethnologue: Languages of the World|edition=15|url=http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=sso|editor-last=Gordon|editor-first=Raymond G., Jr.|year=2005|accessdate=2008-03-12}}</ref> (Sissano) の数詞を示す<ref name="Lean" />。

{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"
! 十進 !! 二進 !! 南キワイ語 !! [[シッサノ語]]
|-
! 1
| 1 || neis || puntanen
|-
! 2
| 10 || netewa || eltin
|-
! 3
| 11 || netewa nao || eltin puntanen
|-
! 4
| 100 || netewa netewa || eltin eltin
|-
! 5
| 101 || netewa netewa nao || eltin eltin puntanen
|}

現代日本における[[命数法|万進]]、あるいは[[十二進法]]体系である[[ダース]]・グロスなどのように、2倍ごとに新しい単位が命名される体系は、[[自然言語]]では、[[パプアニューギニア]]の[[メルパ語]]<ref>{{Citation|title=Ethnologue: Languages of the World|year=2005|url=http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=med|contribution=Melpa|edition=15|editor-last=Gordon|editor-first=Raymond G., Jr.|accessdate=2008-03-12}}</ref> (Melpa) でのみ知られている<ref name="Lean">{{Cite book|last=Lean|author=|first=Glendon Angove|title=Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania|url=http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/thesis.htm|date=|year=1992|publisher=Ph.D. thesis, Papua New Guinea University of Technology|chapter=TALLIES AND 2-CYCLE SYSTEMS|chapterurl=https://web.archive.org/web/20160304132322/http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/ch2web/ch2.htm|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070905170848/http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/thesis.htm|archivedate=2007年9月5日|deadlinkdate=2017年9月}}</ref>。

{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"
! 十進 !! 二進 !! [[メルパ語]]
|-
! 1
| 1
| tenta
|-
! 2
| 10
| ralg
|-
! 3
| 11
| raltika
|-
! 4
| 100
| timbakaka
|-
! 5
| 101
| timbakaka pamb ti
|-
! 6
| 110
| timbakaka pamb ralg
|-
! 7
| 111
| timbakakagul raltika
|-
! 8
| 1000
| engaka
|-
! 9
| 1001
| engaka pamb ti
|-
! 10
| 1010
| engaka pamb ralg pip
|}
== 歴史 ==
[[ファイル:Leibniz bagua.png|thumb|ライプニッツによる八卦と二進法の比較<ref name="leibniz10">ライプニッツ『ライプニッツ著作集 10 中国学・地質学・普遍学』下村寅太郎ほか 監修、工作舎、1991年、p12。</ref>]]

[[中国]]には古くから[[易]]の[[八卦]]や[[六十四卦]]があり、それぞれ 3 ビットと 6 ビットに相当している。[[易経]]の六十四卦の配列は対応する整数の順になっていて、それらを 1→2→4→8→16→32→64 と進展させる｢加一倍の法｣を[[11世紀]]の儒学者[[邵雍]]が考案した。ただし、彼らがそれを[[整数]]（ないし、数）に対応するとして理解していたという証拠はない。その配列はそれぞれが二種類の値をとる要素の 6 [[タプル]]を[[辞書式順序]]に並べたものと見ることもできる。

[[インド]]の学者[[ピンガラ]] ([[:en:Pingala|Pingala]], 紀元前200年頃) は[[韻律 (韻文)|韻律]]を数学的に表現する方法を考案し、それが現在知られている最古の二進法の記述の一つとされている<ref>{{citation |last1=Sanchez |first1=Julio |last2=Canton |first2=Maria P. |title=Microcontroller programming : the microchip PIC |origyear= |year=2007 |month= |publisher=CRC Press |location=Boca Raton, Florida |isbn=0-8493-7189-9|page=37}}</ref><ref>W. S. Anglin and J. Lambek, ''The Heritage of Thales'', Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X</ref>。

同様の二進法的組合せの使用は、アフリカの[[ヨルバ人]]が行っていた占い [[:en:Ifá|Ifá]] にもあり、[[中世]]ヨーロッパやアフリカの[[ジオマンシー]]にも見られる。2 を底とする体系はサハラ以南のアフリカでジオマンシーに長く使われていた。

1605年、[[フランシス・ベーコン (哲学者)|フランシス・ベーコン]]はアルファベットの文字を2種の記号の列で表す体系を論じ、任意の無作為なテキストで微かに判別可能なフォントの変化に符号化できるとした。一般理論として彼が指摘した重要な点は、同じ方法をあらゆる物に適用できるという点であり、「2種類の異なる状態をそれらの物で表現できればよく、[[鐘]]、[[トランペット]]、[[光]]、[[松明]]、[[マスケット銃]]など同様の性質があればどんなものでもよい」とした<ref>{{citation2 |last=Bacon |first=Francis |authorlink=フランシス・ベーコン (哲学者) |title=The Advancement of Learning |url= http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch1.html |date=1605 |volume=6 |publisher= |location=London |language=en|at=Chapter 1}}</ref>。これを{{仮リンク|ベーコンの暗号|en|Bacon code}}と呼ぶ。

数学的に二進法を確立したのは[[17世紀]]の[[ゴットフリート・ライプニッツ]]で、"Explication de l'Arithmétique Binaire" という論文も発表している。ライプニッツは現代の二進法と同じく、1 と 0 を使って二進法を表した。ライプニッツは[[シノフィリア|中国愛好家]]でもあり、後に「易経」を知って、その八卦に 000 から 111 を対応させ、彼の賞賛してきた中国の哲学的数学の偉大な成果の証拠だとした<ref name="leibniz10" />。

[[1800年代]]中頃、[[イギリス]]の数学者[[ジョージ・ブール]]が[[ブール代数]]（[[ブール論理]]）により、二進的な数（ここで言う「数」は、数学的な広義の意味であり、普通の二進法の対象である、数値という意味ではない）の代数による[[命題論理]]の形式化を示した。

[[1936年|1936]]-[[1937年]]の中嶋章と榛沢正男による「[[継電器]]回路に於ける単部分路の等価変換の理論」、1937年の[[クロード・シャノン]]による {{仮リンク|"A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits"|en|A_Symbolic_Analysis_of_Relay_and_Switching_Circuits}}
<ref>
{{cite 
|author=Claude E. Shanon
|authorlink=クロード・シャノン
|title=A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits
|url=http://hdl.handle.net/1721.1/11173
|publisher=Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Electrical Engineering
|year=1937
}}
</ref>
により相次いで、リレーのようなスイッチング素子による回路（[[ディジタル回路]]）の設計がブール代数によって行えることが示され、[[1940年代]]に始まり今日まで続くコンピュータの理論の基礎のひとつとなっている。
<!--
1937年[[11月]]、[[ベル研究所]]に勤務していた[[ジョージ・スティビッツ]]がリレーを使った計算機 "Model K" を完成させた。これは二進数の加算ができる装置である。ベル研究所はこれを受け、スティビッツを中心とした正式な研究プログラムを[[1938年]]末に開始した。[[1940年]][[1月8日]]に完成した "Complex Number Computer" は[[複素数]]の計算が可能だった。1940年[[9月11日]]に[[ダートマス大学]]で開催された[[アメリカ数学会]]の会議でデモンストレーションが行われ、スティビッツは[[テレタイプ端末]]でコマンドを打ち込んで、電話回線経由で遠方にある計算機を操作して見せた。これが電話回線経由で遠隔から計算機を使った世界初の事例である。この会議に出席しデモンストレーションを目にした人物として、[[ジョン・フォン・ノイマン]]、[[ジョン・モークリー]]、[[ノーバート・ウィーナー]]らがおり、彼らはその経験について文章を残している。
↑この記述は二進法の歴史としては瑣末に過ぎるし、コンピュータ史として興味深いかもしれないがやはり瑣末に近いと思う（「ディジタルで計算する機械」は同時代には既にいくつかあった）。最後のくだりから見ると「ENIACはパクリだ」とか言いたいがためだけの記述にも見える。
-->

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group=注}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
{{Commonscat}}
* [[位取り記数法]]
* [[コンピュータの数値表現]]
* [[2の冪]]
* [[2進接頭辞]]
* [[二進対数]]
* [[二進指数え法]]
* [[二進化十進表現]]
* [[カウンタ (電子回路)]]
** [[グレイコード]]
* [[除算 (デジタル)]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:にしんほう}}
[[Category:数の表現]]
[[Category:コンピュータの算術]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:位取り記数法]]
[[Category:2 (数字)]]