二重交換団のソースを表示

{{Unreferenced|date=April 2014}}

[[数学]]の[[代数学]]の分野において、ある（[[体上の多元環|多元環]]や[[群 (数学)|群]]のような）[[半群]]の[[部分集合]] ''S'' の'''二重可換子環'''（にじゅうかかんしかん、{{Lang-en-short|bicommutant}}）とは、その部分集合の[[可換子環]]の[[可換子環]]のことを言う。双可換子環や第二可換子環とも呼ばれ、<math>S^{\prime \prime}</math> と表記される。

二重可換子環は、[[作用素環]]の代数的構造と解析的構造
とを関連付ける{{仮リンク|フォン・ノイマンの二重可換子環定理|en|Von Neumann bicommutant theorem}}の存在により、[[作用素論]]の分野において特に有用となる。特に、''M'' をある[[ヒルベルト空間]] ''H'' に対する[[C*-環]] ''B(H)'' 内の単位的（unital）な自己共役作用素環とすると、''M'' の[[弱作用素位相|弱閉包]]と[[強作用素位相|強閉包]]および二重可換子環は等しくなる。このことから、''B(H)'' のある単位的な[[C*-環|C*-部分環]] ''M'' が[[フォン・ノイマン環]]であるための必要十分条件は、<math>M = M^{\prime \prime}</math> であることが分かる。またこの等式が成り立たないなら、フォン・ノイマン環が <math>M^{\prime \prime}</math> を生成する。

''S'' の二重可換子環は常に ''S'' を含む。したがって <math>S^{\prime \prime \prime} = (S^{\prime \prime})^{\prime} \subseteq S^{\prime}</math> が成立する。一方、<math>S^{\prime} \subseteq (S^{\prime})^{\prime \prime} = S^{\prime \prime \prime}</math> も成立する。したがって <math>S^{\prime} = S^{\prime \prime \prime}</math> が成り立ち、''S'' の二重可換子環の可換子環は、''S'' の可換子環と等しいことが分かる。帰納的に、次が成り立つ。

:<math>S^{\prime} = S^{\prime \prime \prime} = S^{\prime \prime \prime \prime \prime} = \ldots = S^{2n-1} = \ldots</math>

および

:<math>S \subseteq S^{\prime \prime} = S^{\prime \prime \prime \prime} = S^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime} = \ldots = S^{2n} = \ldots</math>

ただし ''n'' > 1 とする。

''S''<sub>1</sub> および ''S''<sub>2</sub> をある半群の部分集合とすると、次が成り立つのは明らかである。

:<math>( S_1 \cup S_2 )' = S_1 ' \cap S_2 ' .</math>

また <math>S_1 = S_1'' \,</math> および <math>S_2 = S_2''\,</math> を仮定すると（これは例えば[[フォン・ノイマン環]]に対して成り立つ）、上の等式より次式が得られる。

:<math>(S_1' \cup S_2')'' = (S_1 '' \cap S_2 '')' = (S_1 \cap S_2)' .</math>

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|フォン・ノイマンの二重可換子環定理|en|Von Neumann bicommutant theorem}}

{{DEFAULTSORT:にしゆうかかんしかん}}
[[Category:群論]]
[[Category:数学に関する記事]]