二重指数関数のソースを表示

[[ファイル:Double_Exponential_Function.svg|右|サムネイル|320x320ピクセル|単一の指数関数（青い曲線）と比較した二重指数関数（赤い曲線）。]]
'''二重指数関数'''（にじゅうしすうかんすう、{{lang-en-short|double exponential function}}）とは、[[指数関数]]の肩に指数関数を持つ[[関数 (数学)|関数]]である。一般形は <math>f(x) = a^{b^x}=a^{(b^x)}</math>。
指数関数と同様に、[[二重指数関数型積分公式]]など、応用上は[[ネイピア数]]を底に取ったものがよく使われる。

指数の底が {{math|''a'' &gt; 1, ''b'' &gt; 1}} を満たすなら、二重指数関数は通常の指数関数よりも速く大きくなる。
また二重指数関数は[[階乗]]より急速に増大する。階乗は通常の（一重の）指数関数よりも速く増大するため、充分大きい {{mvar|x}} について以下の関係が成り立つ（{{math|''e''}} はネイピア数）：

<math>e^x<x!<e^{e^x}</math>

二重指数関数に比べて速く増大する関数として、例えば[[テトレーション]]と[[アッカーマン関数]]がよく知られている（その他さまざまな関数の増加率については例えば[[ランダウの記号]]を参照のこと）。

二重指数関数 <math>a^{b^x}</math> の[[逆関数]]は、二重[[対数]] <math>\log_{b}(\log_{a}x)</math> である。

== 二重指数列 ==
正の[[整数]]（または[[実数]]）の[[数列]]で、数列のn番目の項を与える関数がnの二重指数関数で上下を押さえられるものを、二重指数関数的に成長する数列という。

* [[フェルマー数]]

:: <math>F(m)=2^{2^m}+1</math>

* 調和素数：1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ... + 1 / pが0、1、2、3、..を超える素数p 0で始まる最初のいくつかの番号は、2、5、277、5195977、...（{{OEIS2C|id=A016088}}）である。
* [[二重メルセンヌ数]]

:: <math>MM(p)=2^{2^{p-1}}-1</math>

* シルベスター数列の要素（{{OEIS2C|id=A000058}}）

:: <math>s_n=\left \lfloor E^{2^{n+1}}+\frac{1}{2} \right \rfloor</math>
: なお、''E'' ≈ 1.264084735305302 は[[ヴァルディの定数]]（{{OEIS2C|id=A076393}}）である

* k-aryブール関数:

:: <math>2^{2^k}</math>

* 素数 2, 11, 1361, ... ({{OEIS2C|id=A051254}})

:: <math>a(n)=\left \lfloor A^{3^n} \right \rfloor</math>
: なお、''A'' ≈ 1.306377883863は[[ミルズの定数]]である。

::
:

[[アルフレッド・エイホ]]と[[ニール・スローン]]は、いくつかの重要な[[整数列]]で、各項が定数に前の項の2乗を加えたものであることを観察した。それらは、そのような数列が、中間の指数2を持つ二重指数関数の値を最も近い整数に丸めることによって形成できることを示している<ref>{{Citation|first1=A. V.|last=Aho|authorlink1=アルフレッド・エイホ|first2=N. J. A.|last2=Sloane|authorlink2=ニール・スローン|url=http://neilsloane.com/doc/doubly.html|title=Some doubly exponential sequences|journal=[[:en:Fibonacci Quarterly|Fibonacci Quarterly]]|volume=11|year=1973|pages=429–437}}.</ref> IonaşcuとStănicăは、数列が二重指数列と定数のフロアになるためのより一般的な十分条件について説明している<ref>{{Citation|last=Ionaşcu|first1=Eugen-Julien|last2=Stănică|first2=Pantelimon|number=1|journal=Acta Mathematica Universitatis Comenianae|pages=75–87|title=Effective asymptotics for some nonlinear recurrences and almost doubly-exponential sequences|volume=LXXIII|url=http://faculty.nps.edu/pstanica/research/AMUC04.pdf|year=2004}}.</ref>。

== 微分・積分 ==

=== 自然二重指数関数 ===
[[微分]]

<math>{d \over dx}e^{e^x}=e^{x+e^x}</math>

[[積分法|積分]]

積分定数は省略する。

<math>\int e^{e^x}dx=\operatorname{Ei}(e^x)</math>

ただし、ここで <math>\operatorname{Ei}(x)</math> は[[指数積分]]である。

== テイラー展開 ==
自然二重指数関数 <math>e^{e^x}</math> は、[[ベル数]] <math>B_n</math> の[[母関数|指数型母関数]]

<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}</math>

により

<math>e^{e^x}=e\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}x^n</math>

とマクローリン展開される。

== 応用 ==

=== 計算機科学 ===
[[計算複雑性理論]]では、以下に示すようなアルゴリズムにおいて二重指数関数時間を要する。

* [[プレスバーガー算術]]の[[決定問題]]の[[計算複雑性]]は二重指数関数時間に漸近される。 
* [[可換体|体]]上の[[グレブナー基底]]の計算。多項式の最大次数を {{Math|''d''}} 、変数の数を {{Math|''n''}} とすると、グレブナー基底の計算複雑性は最悪 {{Math|''d''{{sup|2{{sup|''n''+o(''n'')}}}}}} となることがある。
* [[ユニフィケーション|ACユニファー]]の[[完全系]]の発見<ref>{{Citation|last=Kapur|first1=Deepak|last2=Narendran|first2=Paliath|contribution=Double-exponential complexity of computing a complete set of AC-unifiers|doi=10.1109/LICS.1992.185515|pages=11–21|title=Proc. 7th IEEE Symp. Logic in Computer Science (LICS 1992)|url=http://citeseer.ist.psu.edu/337363.html|year=1992|isbn=0-8186-2735-2}}.</ref>
* [[計算木論理|CTL{{sup|+}}]]の満足<ref>{{Citation|last=Johannsen|editor4-first=Gerhard J.|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070930220755/http://www.tcs.informatik.uni-muenchen.de/~mlange/papers/icalp03.pdf|access-date=2006-12-22|isbn=978-3-540-40493-4|year=2003|volume=2719|url=http://www.tcs.informatik.uni-muenchen.de/~mlange/papers/icalp03.pdf|title=Proceedings of the 30th International Colloquium on Automata, Languages and Programming (ICALP 2003)|series=Lecture Notes in Computer Science|publisher=Springer-Verlag|pages=767–775|editor4-link=Gerhard J. Woeginger|editor4-last=Woeginger|first1=Jan|editor3-first=Joachim|editor3-last=Parrow|editor2-link=:en:Jan Karel Lenstra|editor2-first=Jan Karel|editor2-last=Lenstra|editor1-first=Jos C. M.|editor1-last=Baeten|doi=10.1007/3-540-45061-0_60|contribution=CTL<sup>+</sup> is complete for double exponential time|first2=Martin|last2=Lange|archivedate=2007-09-30}}.</ref>。これは実際には{{仮リンク|2-EXPTIME|en|2-EXPTIME}}完全である。ただし、2-EXPTIMEとは {{Math|''p''(''n'')}} を {{Math|''n''}} の多項式として {{Math|O(2{{sup|2{{sup|''p''(''n'')}}}})}} の時間で解ける決定問題の集合である。
* [[実閉体]]上での{{仮リンク|量化子除去|en|Quantifier_elimination}} （{{仮リンク|円筒代数分解|en|Cylindrical_algebraic_decomposition}}を参照）.
* [[正規表現]]の[[補数]]の計算<ref>{{Cite conference|last=Gruber|first1=Hermann|last2=Holzer|first2=Markus|title=Finite Automata, Digraph Connectivity, and Regular Expression Size|pages=39–50|book-title=Proceedings of the 35th International Colloquium on Automata, Languages and Programming (ICALP 2008)|url=http://www.hermann-gruber.com/data/icalp08.pdf|year=2008|doi=10.1007/978-3-540-70583-3_4|volume=5126|ref={{harv}}|conference=the 35th International Colloquium on Automata, Languages and Programming}}</ref>

アルゴリズムの設計と解析における他の問題では、二重指数数列は解析ではなくアルゴリズム設計の中で使用される。例えば、[[凸包]]を計算する{{仮リンク|チャンのアルゴリズム|en|Chan's algorithm}}では、テスト値 {{Math|''h''{{sub|''i''}}{{=}}2{{sup|2{{sup|''i''}}}}}}（最終的な出力サイズの推定値）を用いて一連の計算を行い、一連の各テスト値に対して {{Math|''O''(''n'' log ''h''{{sub|''i''}})}} の時間を要する。これらのテスト値は二重指数関数的に成長するため、数列の各計算の時間は {{Math|''i''}} の関数として指数関数的に成長し、総時間は数列の最終ステップの時間が支配的となる。したがって、このアルゴリズムの全体的な時間は {{Math|''O''(''n'' log ''h'')}} となり、{{Math|''h''}}は実際の出力サイズとなる<ref>{{Citation|last=Chan|first1=T. M.|author-link=:en:Timothy M. Chan|doi=10.1007/BF02712873|number=4|journal=[[:en:Discrete and Computational Geometry|Discrete and Computational Geometry]]|mr=1414961|pages=361–368|title=Optimal output-sensitive convex hull algorithms in two and three dimensions|volume=16|year=1996}}</ref>。

=== 数論 ===
[[数論|数論的]]な[[上限 (数学)|上限]]は二重指数関数的になるものもある。たとえば、{{Math|''n''}} 個の異なる素因数を持つ奇数完全数は最大で {{Math|2{{sup|4{{sup|''n''}}}}}} となる（{{仮リンク|ヤコブ・ニールセン（数学者）|en|Jakob_Nielsen}},2003）<ref>{{Citation|title=An upper bound for odd perfect numbers|last=Nielsen|first1=Pace P.|year=2003|url=http://www.integers-ejcnt.org/vol3.html|journal=INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory|volume=3|pages=A14}}.</ref>。また、 {{Math|''k''≥1}} の格子点を内部に持つ {{Math|''d''-}}次元[[ポリトープ|超多面体]]の体積は最大で {{Math|(8''d''){{sup|''d''}}･15{{sup|''d''･2{{sup|2''d''+1}}}}}} になる（Pikhurko）<ref>{{Citation|title=Lattice points in lattice polytopes|last=Pikhurko|first1=Oleg|year=2001|journal=Mathematika|volume=48|pages=15–24|arxiv=math/0008028|doi=10.1112/s0025579300014339|bibcode=2000math......8028P}}</ref>。

[[情報化時代]]に知られている[[巨大な素数の一覧|最大の素数]]の桁数は、1951年にMillerとWheelerが[[EDSAC|EDSAC1]]で79桁の素数を発見して以来、年に対する二重指数関数として近似的に成長している<ref>{{Citation|last=Miller|first1=J. C. P.|last2=Wheeler|first2=D. J.|doi=10.1038/168838b0|journal=[[Nature (journal)|Nature]]|page=838|title=Large prime numbers|volume=168|year=1951|number=4280|bibcode=1951Natur.168..838M}}.</ref>。

=== 理論生物学 ===
[[人口統計学]]では、人口増加は二重指数関数的であるとされることがある。VarfolomeyevとGurevichが実験的に検証したところ<ref>{{Citation|last=Varfolomeyev|first1=S. D.|last2=Gurevich|first2=K. G.|doi=10.1006/jtbi.2001.2384|number=3|journal=Journal of Theoretical Biology|pages=367–372|title=The hyperexponential growth of the human population on a macrohistorical scale|volume=212|year=2001|pmid=11829357}}.</ref>、{{Math|''N''(''y'')}} を一年あたりの100万人の人口増加として

: <math> N(y)=375.6\cdot 1.00185^{1.00737^{y-1000}} \,</math>

であった。

=== 物理学 ===
{{仮リンク|戸田発振器|en|Toda oscillator}}の自己振動モデルでは、振幅が大きい場合に振幅の[[対数]]が時間に対して指数関数的に変化するため、振幅は時間の二重指数関数として変化する<ref name="kouz">{{Citation|last=Kouznetsov|journal=[[:en:Journal of Physics A|Journal of Physics A]]|number=9|year=2007|volume=40|url=http://www.iop.org/EJ/abstract/-search=15823442.1/1751-8121/40/9/016|title=Self-pulsing laser as oscillator Toda: Approximation through elementary functions|pages=1–18|doi=10.1088/1751-8113/40/9/016|first1=D.|first4=K.|last4=Ueda|first3=J.|last3=Li|first2=J.-F.|last2=Bisson|bibcode=2007JPhA...40.2107K}}.</ref>。

また、樹状高分子は二重指数関数的に成長することが観察されている<ref>{{Cite journal|last=Kawaguchi|first=Tohru|last2=Walker|first2=Kathleen L.|last3=Wilkins|first3=Charles L.|last4=Moore|first4=Jeffrey S.|year=1995|title=Double Exponential Dendrimer Growth|journal=[[Journal of the American Chemical Society]]|volume=117|issue=8|pages=2159–2165|DOI=10.1021/ja00113a005}}</ref>。

== 参考文献 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist|2}}

== 関連項目 ==
* [[指数関数]]
* [[命数法]] - かつて中国で考案された[[命数法#漢数字|上数]]や、[[命数法#仏典の数詞|華厳経の数詞]]の方式が二重指数関数に当たる。
* [[巨大数]]

{{DEFAULTSORT:にしゆうしすうかんすう}}
[[Category:指数関数]]
[[Category:初等特殊関数]]
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]