二重階乗のソースを表示

[[File:Chord diagrams K6 matchings.svg|thumb|360px|6点に関する全15種の相異なる弦図、あるいは同じことだが6頂点[[完全グラフ]]の相異なる全15種の[[完全マッチング]]。これが二重階乗で {{math|15 {{=}} (6 - 1)!!}} と数えられる。]]

[[数学]]における[[階乗]]類似の[[組合せ論]]的函数の一つとして、'''二重階乗'''（にじゅうかいじょう、{{lang-en-short|''double factorial''}}）または'''半階乗''' (''semifactorial'') {{math|''n''!!}} は、与えられた自然数 {{mvar|n}} に対し、{{math|1}} から {{mvar|n}} まで {{mvar|n}} と同じ[[偶奇性]]を持つものだけを全て掛けた積を言う<ref name="callan">{{cite journal|title=A combinatorial survey of identities for the double factorial|first=David|last=Callan|arxiv=0906.1317|year=2009|ref=harv}}</ref>。すなわち、
<math display="block">
  n!! := \prod_{k=0}^{\lceil n/2\rceil - 1} (n-2k) = n (n-2) (n-4) \cdots.
</math>
さらに {{math|1=''n'' = 0}} のときは、[[空積]]と見て {{math|0!! {{coloneqq}} 1}} と定義する。

この定義に従えば、偶数 {{mvar|n}} に対する二重階乗は <math display="block">
  n!! = \prod_{k=1}^{n/2} (2k) = n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2
</math> で与えられ、また奇数 {{mvar|n}} に対しては <math display="block">
  n!! = \prod_{k=1}^{(n+1)/2} (2k-1) = n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1
</math> で与えられる。例えば {{math|9!! {{=}} 9 × 7 × 5 × 3 × 1 {{=}} 945}}である。

{| class="wikitable" style="margin: 1ex 1em 1ex 1em; float: right;"
|+ '''二重階乗の例'''
|-
! {{math|(-9)<nowiki>!!</nowiki>}} 
| {{math|{{=}} {{fraction|1|105}} }}
|-
! {{math|(-7)<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} &minus;{{fraction|1|15}} }}
|-
! {{math|(-5)<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} {{fraction|1|3}} }}
|-
! {{math|(-3)<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} &minus;1}}
|-
! {{math|(-1)<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 1}}
|-
! {{math|0<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 1}}
|-
! {{math|1<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 1}}
|-
! {{math|2<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 2}}
|-
! {{math|3<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 3}}
|-
! {{math|4<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 8}}
|-
! {{math|5<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 15}}
|-
! {{math|6<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 48}}
|-
! {{math|7<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 105}}
|-
! {{math|8<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 384}}
|-
! {{math|9<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 945}}
|-
! {{math|10<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 3840}}
|-
! {{math|11<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 10395}}
|-
! {{math|12<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 46080}}
|-
! {{math|13<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 135135}}
|-
! {{math|14<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 645120}}
|-
! {{math|15<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 2027025}}
|-
! {{math|16<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 10321920}}
|-
! {{math|17<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 34459425}}
|-
! {{math|18<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 185794560}}
|-
! {{math|19<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 654729075}}
|-
! {{math|20<nowiki>!!</nowiki>}}
| {{math|{{=}} 3715891200}}
|}

二重階乗 {{math|''n''!!}} を階乗函数の二回反復 {{math|(''n''!)!}} と混同してはならない、両者は全く異なる値をとる。

{{harvtxt|Merserve|1948}}<ref name="meserve">{{cite journal |last= Meserve |first= B. E. |doi= 10.2307/2306136 |issue= 7 |journal= [[The American Mathematical Monthly]] |mr= 1527019 |pages= 425–426 |title= Classroom Notes: Double Factorials |volume= 55 |year= 1948}}</ref> (二重階乗記法を用いたおそらく最初の出版物<ref name="gq12"/>) は、二重階乗はもともと[[ウォリス積]]の導出において生じるある種の三角積分の表示を簡単にするために導入されたと述べる。二重階乗は[[超球の体積]]の式にも現れ、また[[数え上げ組合せ論]]において多くの応用を持つ<ref name="callan"/><ref name="dm93"/>。

奇数に対する二重階乗のことを'''奇階乗''' (''odd factorial'') と呼ぶこともある<ref>例えば {{cite journal |last1= Henderson |first1= Daniel J. |last2= Parmeter |first2= Christopher F. |doi= 10.1016/j.spl.2012.03.013 |issue= 7 |journal= Statistics & Probability Letters |mr= 2929790 |pages= 1383–1387 |title= Canonical higher-order kernels for density derivative estimation  |volume= 82 |year= 2012}}, {{cite journal |last= Nielsen |first= B. |doi= 10.1093/biomet/86.2.279 |issue= 2 |journal= Biometrika |mr= 1705359 |pages= 279–288 |title= The likelihood-ratio test for rank in bivariate canonical correlation analysis |volume= 86 |year= 1999}}</ref>。

== 階乗との関係 ==
二重階乗は通常の[[階乗]]の半分の因子しか含まないから、その値は階乗 {{mvar|''n''!}} の平方根程度からそう大きくなることはないし、明らかに階乗函数の二回反復 {{math|(''n''!)!}} と比べればはるかに小さい。

偶数 {{math|''n'' {{=}} 2''k''}} ({{math|''k'' ≥ 0}}) の二重階乗は階乗を用いて <math display="block">
  n!! = 2^k k!
</math> と表すことができ、また奇数 {{math|''n'' {{=}} 2''k'' − 1}} ({{math|''k'' ≥ 1}}) の二重階乗は <math display="block">
  n!! = \frac{(2k)!}{2^k k!} = \frac{n!}{(n-1)!!}
</math> となる。この式では最初の分母は {{math|(2''k'')!!}} に等しく、それが分子の余計な偶数因子を打ち消す。

奇数 {{math|''n'' {{=}} 2''k'' − 1}} ({{math|''k'' ≥ 1}}) に対する二重階乗は {{math|2''k''}} の {{math|''k''}}-[[順列]]の言葉で <math display="block">(2k-1)!! = \frac {_{2k}P_k} {2^k} = \frac {(2k)^{\underline k}} {2^k}</math> と書くことができる<ref name="callan"/><ref name="gq12">{{cite journal |last1= Gould | first1 = Henry |last2= Quaintance | first2 = Jocelyn |doi= 10.4169/math.mag.85.3.177 |issue= 3 |journal= [[Mathematics Magazine]] |mr= 2924154 |pages= 177–192 |title= Double fun with double factorials |volume= 85 |year= 2012}}</ref>。

==数え上げ組合せ論における応用==
[[File:Unordered binary trees with 4 leaves.svg|thumb|300px|4種類にラベル付けられた葉ノード集合上の根付き二分木（子ノードは整列していない）全15種: これが {{math|15 {{=}} (2·4 - 3)!!}} を表している（本文参照）.]]
二重階乗は[[数え上げ組合せ論]]などの状況において頻繁に生じるという事実に動機づけられる。例えば奇階乗 {{math|''n''!!}} が現れる例としては:
* 奇数 {{mvar|n}} に対する[[完全グラフ]] {{math|''K''<sub>''n''+1</sub>}} の[[完全マッチング]]。そのようなグラフの任意の一つの頂点 {{mvar|v}} がマッチすることのできる頂点の選び方が {{mvar|n}} 通りで、選んだ残りは頂点数が {{math|2}} 少ない完全グラフの完全マッチング問題に帰着される。例えば {{math|4 {{=}} ''3'' + 1}} 頂点 {{mvar|a, b, c, d}} の完全グラフの完全マッチングは {{math|(''ab'', ''cd''), (''ac'', ''bd''), (''ad'', ''bc'')}} で確かに {{math|3!! {{=}} 3}} 通りであることが確認できる<ref name="callan"/>。
* {{ill2|スターリング順列|en|Stirling permutation}}: 同じ数が二つずつの[[多重集合]] {{math|1, 1, 2, 2, …, ''k'', ''k''}} の置換（重複度まで込めてすべての元を一回ずつ用いる順列）で同じ数の各類はそれより大きい数によってのみ分けられるようにしたもの。で、{{math|''k'' {{=}} {{sfrac|''n'' + 1|2}}}} と置く。最も大きい {{mvar|k}} は二つとも隣り合うしかなく、それを取り除けば {{math|''k'' − 1}} を最大元とする順列が残るが、そのできた順列において隣り合う {{mvar|k}} が入れるのは {{mvar|n}} 通りの位置が考えられる。これで再帰的構成が得られたから、スターリング順列の数が二重順列で数えられることは帰納的にわかる<ref name="callan"/>。 あるいは同じ数の対の間に入れるのは大きい数だけという制約の代わりに、この多重集合の置換に現れる、同じ数の対のうち最初のほうは、あるきまった順番に並ぶという制約で考えることもできる。そのような順列が定めるのは、順列の {{math|2''k''}} 箇所に関するマッチングであり、したがってふたたび個の順列の総数が二重階乗で数えられることがわかる<ref name="dm93">{{cite journal |last1= Dale | first1 = M. R. T. |last2= Moon | first2 = J. W. |doi= 10.1016/0378-3758(93)90035-5 |issue= 1 |journal= Journal of Statistical Planning and Inference |mr= 1209991 |pages= 75–87 |title= The permuted analogues of three Catalan sets |volume= 34 |year= 1993 |ref= harv}}</ref>
* [[ヒープ|ヒープの順序木]]: {{math|''k'' + 1}} 個のノードが {{math|0, 1, 2, …, ''k''}} でラベル付けられた木で、ルートのラベルが {{math|0}} かつ、ほかのノードのラベルはその親ノードのラベルより大きく、各ノードの子ノードが決まった順になっている。この木の{{ill2|オイラー巡回技法|en|Euler tour technique|label=オイラー巡回}} (Euler tour) はスターリング順列を与え、任意のスターリング順列はこの方法で木で表現できる<ref name="callan"/><ref>{{cite conference |last= Janson | first = Svante | authorlink = Svante Janson |arxiv= 0803.1129 |contribution= Plane recursive trees, Stirling permutations and an urn model |mr= 2508813 |pages= 541–547 |publisher= Assoc. Discrete Math. Theor. Comput. Sci., Nancy |series= Discrete Math. Theor. Comput. Sci. Proc., AI |title= Fifth Colloquium on Mathematics and Computer Science |year= 2008}}</ref>
* {{ill2|根なし二分木|en|Unrooted binary tree}}で {{math|{{sfrac|''n'' + 5|2}}}} 個のラベル付き葉ノードを持つもの。そのような木の各々は、葉ノードが一つ少ない木から、{{mvar|n}} 本の辺の一つを細分して、新たな頂点を新たな葉ノードの親にすれば作れる。
* {{ill2|根付き二分木|en|Rooted binary tree}}で {{math|{{sfrac|''n'' + 3|2}}}} 個のラベル付き葉ノードを持つもの。根なし木の場合と同様だが、細分できる辺の数は偶数で、辺の細分に加えて、二つの子がより小さい木および新たな葉ノードであるような新たな根を加えることにより、葉ノードが一つ少ない木にノードを加えることができる<ref name="callan"/><ref name="dm93"/>

{{harvtxt|Callan|2009}} および {{harvtxt|Dale|Moon|1993}} は同様に二重階乗で数えられる{{ill2|組合せ類|en|combinatorial class|label=組合せ論的数列}}をさらにさまざまにリストしている: 例えば、「台形語」（"trapezoidal word": 奇数を含む複数の位取りの底を持つ{{ill2|混基数|en|mixed radix}}記数法に属する数の体系）、高さでラベル付けられた{{ill2|ダイク路|en|Dyck path}}、高さでラベル付けられた順序木、"overhang path"、根付き二分木における各ノードに関する最小数付けられた葉ノードの降下列を記述するある種のベクトル、など。これらの対象のいくつかが同数であることを言う{{ill2|全単射による証明|en|bijective proof}}（双射法）は {{harvtxt|Rubey|2008}} および {{harvtxt|Marsh|Martin|2011}} を見よ<ref>{{cite conference |last= Rubey |first= Martin |contribution= Nestings of matchings and permutations and north steps in PDSAWs |mr= 2721495 |pages= 691–704 |publisher= Assoc. Discrete Math. Theor. Comput. Sci., Nancy |series= Discrete Math. Theor. Comput. Sci. Proc., AJ |title= 20th Annual International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2008) |year= 2008}}</ref><ref>{{cite journal |last1= Marsh |first1= Robert J. |last2= Martin |first2= Paul |arxiv= 0906.0912 |doi= 10.1007/s10801-010-0252-6 |issue= 3 |journal= [[Journal of Algebraic Combinatorics]] |mr= 2772541 |pages= 427–453 |title= Tiling bijections between paths and Brauer diagrams |volume= 33 |year= 2011}}</ref>。

偶二重階乗は{{ill2|超八面体群|en|hyperoctahedral group}}（[[超立方体]]の符号付き対称性または置換の群）の元の数を与える。

== 定義域の延長 ==
=== 負の引数 ===
通常の階乗函数は（[[ガンマ函数]]に拡張して）各負の整数の位置に[[極 (複素解析)|極]]を持ち、それらの数へ階乗を延長することは妨げられる。しかし奇数の二重階乗は、その漸化式 <math display="inline">n!! = n \times (n-2)!!</math> を逆に解いて <math display="block">n!! = \frac{(n+2)!!}{n+2}</math> と書くことにより、任意の負の奇数に延長することができる。この逆向きの漸化式を用いれば、{{math|−1!! {{=}} 1}}, {{math|−3!! {{=}} −1}}, {{math|−5!! {{=}} {{sfrac|1|3}}}} などが計算でき、これ以降の（絶対値がより大きい）負の奇数に対して、その二重階乗は全て分数である<ref name="callan"/>。特に、正の奇数 {{mvar|n}} に対し <math display="block">(-n)!! \times n!! = (-1)^\frac{n-1}{2} \times n</math> が言える。

=== 複素引数 ===
{{anchors||別定義|複素奇階乗}}
偶数引数に対する二重階乗の先述の定義はさておいて、{{mvar|z}} が正の奇数のときの値が <math display="block">\begin{align} z!! &= z(z-2)\cdots (3)
= 2^\frac{z-1}{2}\left(\frac{z}{2}\right)\left(\frac{z-2}{2}\right)\cdots \left(\frac{3}{2}\right) \\
&= 2^\frac{z-1}{2} \frac{\Gamma\left(\frac{z}{2}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+1\right)}
= \sqrt{\frac{2^{z+1}}{\pi}} \Gamma\left(\frac{z}{2}+1\right) = \left(\frac{z}{2}\right)!\sqrt{\frac{2^{z+1}}{\pi}}\end{align}</math> と書けることに着目して、奇階乗の定義域をほとんどの実数または複素数に対して延長することができる<ref>{{cite book |title= Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields |series= [[Undergraduate Texts in Mathematics]] |first= Sadri |last= Hassani |publisher= Springer |year= 2000 |isbn= 9780387989587 |page= 266 |url= {{google books|id=dxSOzeLMij4C|plainurl=1}}}}</ref>{{rp|{{google books quote|id=dxSOzeLMij4C|pg=PA266|266}}}}<ref>{{cite web|title=Double factorial: Specific values (formula 06.02.03.0005) |publisher=Wolfram Research|date=2001-10-29 |url=http://functions.wolfram.com/06.02.03.0005 |accessdate=2013-03-23}}</ref>。

この関係式に従えば、{{mvar|z}} が非負偶数値をとるときの {{math|''z''!!}} の値は <math display="block">
  (2k)!! := \sqrt{\frac{2}{\pi}} \prod_{i=1}^k (2i) = 2^k k! \sqrt{\frac{2}{\pi}}
</math> と再定義されることになる。この意味での {{math|0!!}} の値は <math display="inline">0!! = \sqrt{ \frac{2}{\pi} } \approx 0.797\,884\,5608\ldots</math> である。

式を見れば {{math|''z''!!}} が負の偶数を除く任意の複素数に対して定義されることが分かる。またこれを定義として、半径 {{mvar|R}} の {{mvar|n}}-次元[[超球の体積]]は <math display="block">
  V_n=\frac{2 (2\pi)^\frac{n-1}{2}}{n!!} R^n
</math> と表せる<ref>{{cite journal|title=Some dimension problems in molecular databases|first=Paul G.|last=Mezey|year=2009|journal=Journal of Mathematical Chemistry|volume=45|issue=1|pages=1–6|doi=10.1007/s10910-008-9365-8}}</ref>。

== その他の等式 ==
整数 {{mvar|n}} に対して[[ウォリス積分]]は
:<math>\int_{0}^\frac{\pi}{2}\sin^n x\,dx=\int_{0}^\frac{\pi}{2}\cos^n x\,dx=\frac{(n-1)!!}{n!!}\times
\begin{cases}1 & \text{if } n \text{ is odd} \\ \frac{\pi}{2} & \text{if } n \text{ is even}.\end{cases}</math>
奇階乗の複素変数への延長を用いた場合には、
:<math>\int_{0}^\frac{\pi}{2}\sin^n x\,dx=\int_{0}^\frac{\pi}{2}\cos^n x\,dx=\frac{(n-1)!!}{n!!} \sqrt{\frac{\pi}{2}}.</math>
二重階乗はより複雑な三角多項式の積分の評価にも利用できる<ref name="meserve"/><ref>{{cite journal |last1= Dassios |first1= George |last2= Kiriaki |first2= Kiriakie |issue= part A |journal= Bulletin de la Société Mathématique de Grèce |mr= 935868 |pages= 40–43 |title= A useful application of Gauss theorem |volume= 28 |year= 1987}}</ref>。

奇数の二重階乗と[[ガンマ函数]]は等式 <math display="block">(2n-1)!! = 2^n \cdot \frac{\Gamma(\frac{1}{2} + n)} {\sqrt{\pi}} = (-2)^n \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{ \Gamma(\frac{1}{2} - n)}</math> で関係する。

ほかに奇数の二重階乗を含む等式として:<ref name="callan"/>
:<math>\begin{align}
(2n-1)!! &= \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n}{k+1} (2k-1)!! (2n-2k-3)!!,\\
(2n-1)!! &= \sum_{k=0}^{n} \binom{2n-k-1}{k-1} \frac{(2k-1)(2n-k+1)}{k+1}(2n-2k-3)!!,\\
(2n-1)!! &= \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!}{(k-1)!} k(2k-3)!!.
\end{align}</math>

== 一般化 ==
=== 多重階乗 ===
{{main|多重階乗}}
; 定義 1: 二重階乗が[[階乗|（一重の）階乗]]の概念を一般化するのと同じ仕方で、整数値多重階乗 (multiple factorial, multifactorial) あるいは「歩み」となる正整数 {{mvar|α}} を明示して {{mvar|α}}-重階乗、{{mvar|α}}-階乗 (''{{mvar|α}}-factorial'') 函数 <math display="block">
n!_{(\alpha)} = \begin{cases} 
     n \cdot (n-\alpha)!_{(\alpha)} & \text{ if } n > 0; \\ 
     1 & \text{ if } -\alpha < n \leq 0; \\ 
     0 & \text{ otherwise. } 
\end{cases}
</math> は二重階乗を一般化する。{{math|''n''!}} が負の整数に対して、および {{math|''n''!!}} が負の偶数に対してそれぞれ定義されないことと同じように、{{math|''n''!{{sub|''α''}}}} は {{mvar|α}} の負の倍数において定義されない。

; 定義 2: また同様に、{{mvar|α}} の倍数より {{math|1}} 大きい {{mvar|z}} における値が <math display="block">z!^{(\alpha)} = z(z-\alpha)\cdots (\alpha+1)
= k^{(z-1)/\alpha}\left(\frac{z}{\alpha}\right)\left(\frac{z-\alpha}{\alpha}\right)\cdots \left(\frac{\alpha+1}{\alpha}\right)
= k^{(z-1)/\alpha} \frac{\Gamma(\frac{z}{\alpha}+1)}{\Gamma(\frac{1}{\alpha}+1)}</math> となることに着目してほとんどの実数および複素数に対して定義域を延長できる。

[[ガンマ函数]]を用いた最後の式はもとと比べて非常に広く定義されるもので、この定義により {{math|''z''!{{sup|(''α'')}}}} は負の実軸上にある {{mvar|k}} の負の倍数を除く任意の複素数に対して定義された函数と見なせる。そして「{{math|''z'' ≡ 1 mod ''α''}} なる整数 {{mvar|z}} に対しては {{math|1=''z''!{{sup|(''α'')}} = ''z''!{{sub|(''α'')}}}} を満たす」という意味でこの二つの定義は両立する。

{{math|''z''!{{sup|''α''}}}} がほとんどの複素数 {{mvar|z}} に対して延長できることに加え、{{mvar|α}} も任意の正実数値としてこの定義は意味を為す。さらに言えば、{{math|''k'' {{=}} 1}} のとき、定義される函数 {{math|Π(''z'')}} は[[階乗#連続変数への補間|パイ函数]]である。また {{math|''k'' {{=}} 2}} のときは、[[#別定義|奇階乗の複素変数への拡張]]に一致する。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
* {{ill2|階乗類似函数|fr|Analogues de la factorielle}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=DoubleFactorial|title=Double Factorial}}
* {{PlanetMath|urlname=DoubleFactorial|title=double factorial}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Double_Factorial|title=Definition:Double Factorial}}

{{DEFAULTSORT:にしゆうかいしよう}}
[[Category:整数の類]]
[[Category:数え上げ組合せ論]]
[[Category:Factorial and binomial topics]]
[[Category:数学に関する記事]]