二面角のソースを表示

[[ファイル:Dihedral angle.svg|thumb]]
'''二面角'''（にめんかく、{{lang-en-short|dihedral angle}}）は、2つの[[平面]]（またはその[[部分集合]]）がなす[[角度]]である。たとえば、二面角が[[0]]なら2面は[[平行]]（同一の場合を含む）で、[[円周率|π]]/2（[[直角|90°]]）なら[[垂直]]である。

二面角は、[[法線]]同士の角度として定義される。つまり、2面の[[法線ベクトル]]を'''''a'''''、'''''b'''''とすると二面角 {{Mvar|φ}} は
:<math> \phi = \operatorname{Arccos} \frac{\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b}{| \boldsymbol a | | \boldsymbol b | } </math>

で表せる。二面角は2π（360°）の周期性を除いて一意には定まらないが、通常は主値として0～π（180°）の範囲で表す。ただし、[[多面体]]の[[多胞体の面|面]]で内側と外側を区別する場合などでは、0～360°の範囲で表す。また、内側・外側も面の向きも区別しない場合は、
:<math> \phi = \operatorname{Arccos} \frac{| \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b |}{| \boldsymbol a | | \boldsymbol b |} </math>
と[[絶対値]]を取り、0～π/2（90°）の範囲で表す。2つの平面は[[鋭角]]と[[鈍角]]の2つの角度を為すので、そのうち鋭角のほうを取っていることになる。

二面角は、2面に垂直な平面（[[平行移動]]の[[自由度]]を残して決まる）での[[断面]]内で考えると、通常の[[直線]]同士の角度に還元できる。面の断面は直線なので、断面の2直線がなす角度が2面の二面角である。

二面角は、3つの（[[零ベクトル|零]]でない）[[幾何ベクトル|ベクトル]]'''''a'''''、'''''b'''、'''c'''''に対しても定義でき、面'''ab'''（ベクトル'''''a'''''と'''''b'''''が張る面）と面'''bc'''の二面角を考える。また、4つの（異なる）点A・B・C・Dについても、面ABCと面BCDの二面角を考える。面ABCと面BCDの二面角が0でない場合、[[直線]]ABと直線CDは[[ねじれの位置]]にある。このため、'''ねじれ角'''（{{lang|en|torsion angle}}）ともいう。

==多面体==
多面体では、[[辺]]で隣り合う2面の二面角を考える。（単に二面角といった場合は、それ以外の二面角は無視する）[[凸多面体]]は、全ての（中心側の）二面角が180°未満の多面体であると定義される。[[正多面体]]と準正多面体（[[半正多面体]]の特殊例）は、全ての二面角が等しい。このほかに、それらの変形（立方体の変形の[[直方体]]など）でもそれは成り立つ。

{| class="wikitable";
!多面体名
!面形状
!面数
!二面角
!(面間）
|-
|[[正四面体]]
|正三角形
|4
|70.52
|
|-
|[[正六面体|立方体]]
|正方形
|6
|90
|
|-
|[[正八面体]]
|正三角形
|8
|109.47
|
|-
|[[正十二面体]]
|正五角形
|12
|116.56
|
|-
|[[正二十面体]]
|正三角形
|20
|138.18
|
|-
| rowspan="2"|[[立方八面体]]
|正三角形
|8
| rowspan="2"|125.26
| rowspan="2"|(3-4)
|-
|正方形
|6
|-
| rowspan="2"|[[二十・十二面体]]
|正三角形
|20
| rowspan="2"|142.62
| rowspan="2"|(3-5)
|-
|正五角形
|12
|-
| rowspan="2"|[[切頂四面体]]
|正三角形
|4
|109.47
|(3-6)
|-
|正六角形
|4
|70.52
|(6-6)
|-
| rowspan="2"|[[切頂立方体]]
|正三角形
|8
|125.26
|(3-8)
|-
|正八角形
|6
|90
|(8-8)
|-
| rowspan="2"|[[切頂八面体]]
|正方形
|6
|125.26
|(4-6)
|-
|正六角形
|8
|109.47
|(6-6)
|-
| rowspan="2"|[[切頂十二面体]]
|正三角形
|20
|142.62
|(3-10)
|-
|正十角形
|12
|116.56
|(10-10)
|-
| rowspan="2"|[[切頂二十面体]]
|正五角形
|12
|142.62
|(5-6)
|-
|正六角形
|20
|138.18
|(6-6)
|-
| rowspan="2"|[[小菱形立方八面体]]
|正三角形
|8
|144.73
|(3-4)
|-
|正方形
|18
|135
|(4-4)
|-
| rowspan="3"|[[大菱形立方八面体]]
|正方形
|12
|144.73
|(4-6)
|-
|正六角形
|8
|135
|(4-8)
|-
|正八角形
|6
|125.26
|(6-8)
|-
| rowspan="3"|[[小菱形二十・十二面体]]
|正三角形
|20
| rowspan="2"|159.09
| rowspan="2"|(3-4)
|-
|正方形
|30
|-
|正五角形
|12
|148.28
|(4-5)
|-
| rowspan="3"|[[大菱形二十・十二面体]]
|正方形
|30
|159.09
|(4-6)
|-
|正六角形
|20
|148.28
|(4-10)
|-
|正十角形
|12
|142.62
|(6-10)
|-
| rowspan="2"|[[ねじれ立方体]]
|正三角形
|32
|153.23
|(3-3)
|-
|正方形
|6
|142.98
|(3-4)
|-
| rowspan="2"|[[ねじれ十二面体]]
|正三角形
|80
|164.17
|(3-3)
|-
|正五角形
|12
|152.93
|(3-5)
|}

==化学==
[[化学]]において、二面角とは2原子を共有した2組の3原子を通る面の間の角度である。化学では、原子がA-B-C-Dと結合しているときの二面角が、[[立体配座]]を決定する要素のひとつとして重要である。二面角は[[結合距離]]や[[結合角]]に比べ自由度が大きいため、特に比較的大きな[[有機化合物]]においては全体構造を決定する重要な要素である。

===定義===
二面角は2つの交差する面の間の、交線に垂直な3つ目の面上での角度である<ref>{{GoldBookRef|title=dihedral angle|file=D01730}}</ref>。

[[捩率|ねじれ角]]（torsion angle<ref>{{GoldBookRef|title=torsion angle|file=T06406}}</ref>）は二面角の一例であり、[[立体化学]]において[[化学結合]]によって連結された分子の2つの部分の幾何的関係を定義するために使われる。

==立体化学における二面角==
{{see also|アルカンの立体化学|配座異性}}
{|style="margin: 0 auto;"
| [[File:Synantipericlinal.svg|200px]]
| [[File:Newman projection butane -sc.svg|200px]]
|[[file:Sawhorse projection butane -sc.svg|200px]]
|-
|配置の名称
| syn ''n-''[[ブタン]]<br /> [[ニューマン投影式]]
| syn ''n-''[[ブタン]]<br /> [[のこぎり台投影式]]
|}
[[ファイル:Butane conformations.jpg|thumb|400px|二面角の関数としてのブタンの自由エネルギー図。]]

[[立体化学]]において、例えば X…A-B…Y （…は任意の結合次数を持つ結合）のような[[単結合]]を持つ分子には、A-B 結合回りの[[立体配座]]が異る[[立体異性体]]が存在する。この異性体を区別するため、X, A, B の成す平面と A, B, Y の成す平面との間の二面角を用いることができる<ref name=dougherty>{{cite book|last=Anslyn|first=Eric|title=Modern Physical Organic Chemistry|year=2006|publisher=University Science|isbn=978-1891389313|page=95|author2=Dennis Dougherty}}</ref>。{{Val|0|ul=deg}}と{{Val|90|u=deg|p=±}}の間の角度に対応する立体化学配置はシン（syn、s）と呼ばれ、{{Val|90|u=deg|p=±}}と{{Val|180|u=deg|p=±}}の間の角度に対応する配置はアンチ（anti、a）と呼ばれる。同様に、{{Val|30|u=deg}}と{{Val|150|u=deg}}あるいは{{Val|-30|u=deg}}と{{Val|-150|u=deg}}の間の角度に対応する配置はクリナル（clinal、c、反っているの意）、{{Val|0|u=deg}}と{{Val|p=±|30|u=deg}}あるいは{{Val|p=±|150|u=deg}}と{{Val|p=±|180|u=deg}}の間はペリプラナー（periplanar、p、平面に近いの意）と呼ばれる。

これら2種類の用語を組み合わせて角度の4つの領域を定義できる。{{Val|0|u=deg}}から{{Val|p=±|30|u=deg}}はシンペリプラナー（sp）、{{Val|30|u=deg}}から{{Val|90|u=deg}}および{{Val|-30|u=deg}}から{{Val|-90|u=deg}}はシンクリナル（sc）、{{Val|90|u=deg}}から{{Val|150|u=deg}}および{{Val|-90|u=deg}}から{{Val|-150|u=deg}}はアンチクリナル（ac）、{{Val|p=±|150|u=deg}}から{{Val|180|u=deg}}はアンチペリプラナー（ap）である。シンペリプラナー配座はシン (syn-) あるいはシス（cis-）配座、アンチペリプラナーはアンチ（anti）あるいはトランス（trans）、シンクリナルはゴーシュ（gauche）あるいはスキュー（skew）とも呼ばれる。

例えば、''n''-[[ブタン]]では、2つの中心炭素原子と両端のメチル基の炭素原子の一方の観点から2つの面を特定することができる。上に示されている二面角{{Val|60|u=deg}}のシン配座は二面角{{Val|180|u=deg}}のアンチ配座よりも不安定である。

高分子では、記号T、C、G<sup>+</sup>、G<sup>−</sup>、A<sup>+</sup>、A<sup>−</sup>が推奨される（それぞれap、sp、+sc、-sc、+ac、-acに対応する）。

==タンパク質の二面角==
[[ファイル:Protein backbone PhiPsiOmega drawing.svg|thumb|175px|タンパク質の描写。主鎖の二面角が示されている。]]

1963年に[[G・N・ラマチャンドラン]]、C・ラマクリシュナン、V・サシセカランによって開発された<ref>{{cite journal |pages=95–9 |doi=10.1016/S0022-2836(63)80023-6 |title=Stereochemistry of polypeptide chain configurations |year=1963 |last1=Ramachandran |first1=G.N. |last2=Ramakrishnan |first2=C. |last3=Sasisekharan |first3=V. |journal=Journal of Molecular Biology |volume=7 |pmid=13990617}}</ref>[[ラマチャンドラン・プロット]]は[[タンパク質構造]]中の[[アミノ酸]][[残基]]の主鎖の二面角 {{Mvar|φ}} に対してエネルギー的に許容される角度 {{Mvar|ψ}} の領域を可視化する方法である。右の図は主鎖の二面角 {{Mvar|φ}} および {{Mvar|ψ}} の定義を表わしている<ref>{{cite journal |year=1981 |last1=Richardson |first1=J.S. |title=Anatomy and Taxonomy of Protein Structures |volume=34 |pages=167–339 |journal=Advances in Protein Chemistry |doi=10.1016/S0065-3233(08)60520-3 |pmid=7020376 |series=Advances in Protein Chemistry |isbn=9780120342341}}</ref>。

[[タンパク質]]鎖では、図に示されているように3つの二面角 {{Mvar|φ}}（ファイ）、 {{Mvar|ψ}} （プサイ）、 {{Mvar|ω}} （オメガ）が定義される。[[ペプチド結合]]の平面性によって、 {{Mvar|ω}} は{{Val|180|u=deg}}（典型的なトランス配座）あるいは{{Val|0|u=deg}}（稀なシス配座）に大抵制限される。トランスおよびシス異性体におけるC<sup>α</sup>原子間の距離はそれぞれ約{{Val|3.8|,|2.9|ul=Å}}である。シス異性体は主に、Xaa-[[プロリン|Pro]]ペプチド結合（Xaaは任意のアミノ酸）において観察される。

側鎖の二面角は{{Val|180|u=deg}}、{{Val|60|u=deg}}、{{Val|-60|u=deg}}近くに集まる傾向にあり、それぞれトランス、ゴーシュ<sup>+</sup>、ゴーシュ<sup>−</sup>配座と呼ばれる。特定の側鎖の二面角の安定性は隣接した主鎖および側鎖の二面角によって影響される。例えば、原子同士の衝突が増大するためゴーシュ<sup>+</sup>配座の次にゴーシュ<sup>+</sup>配座が続くのは稀である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:にめんかく}}

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[[Category:立体図形]]
[[Category:化学結合]]
[[Category:立体化学]]
[[Category:数学に関する記事]]