二項価格評価モデルのソースを表示

{{出典の明記| date = 2021年4月}}
{{Expand English|Binomial options pricing model|date=2024年5月}}
'''二項価格評価モデル'''（にこうかかくひょうかモデル、{{lang-en-short|binomial pricing model}}）は、無裁定条件によって離散期間における金融商品の[[オプション取引|オプション]]を価格付けする方法。[[格子モデル]]の1つ。このモデルの条件を連続期間と配当なしとヨーロピアンオプションに替え期間の長さを0に近づけると[[ブラック-ショールズ方程式]]になる。

このモデルでオプションを価格付けの流れはまず二項一期間モデルで存続期間は満期まで1期間だけのオプションの価値を全て計算し、[[同値マルチンゲール測度]]Qで期間つつ樹形の向きを逆に繰り返されてオプション現在の価値を計算する。

== 二項一期間モデル ==
[[ファイル:Arbre_Binomial_Options_Reelles.png|サムネイル|概念図]]
商品'''S'''いまの価格は'''S<sub>0</sub>'''(過ごした時間は0という意味)、時間'''1'''の時に商品'''S'''の価格は'''S<sub>0</sub>'''から'''S<sub>1</sub>'''(過ごした時間は'''1''')になって上昇したら、価格'''S<sub>u</sub>'''、下降の場合は'''S<sub>d</sub>'''で示す、この商品に対すコールオプションの行使価格は'''K'''、存続期間は'''1'''、安全債券の金利は'''r'''である。このあと現実に存在する商品'''S'''と安全債券を取り合わせて複製ポートフォリオを作成。この複製ポートフォリオはコールオプションの利益を再現するために商品'''S'''と安全債券の配置比率を計算する。

上昇した時にコールオプションの利益は'''S<sub>u</sub>－K'''、下降したときは'''S<sub>d</sub>－K'''。でもコールオプションはこの契約を履行して利益を精算する義務がない、もし下降したときの利益'''S<sub>d</sub>－K'''はマイナスになったら、この契約を履行しなくてもいいから、利益は'''''0'''''。次の式のようにしめす：

上昇する時の価値： <math> \max(S_u-K,0) </math> <br />
下降する時の価値： <math> \max(S_d-K,0) </math> 

複製ポートフォリオに商品'''S'''を比率'''φ'''、安全債券を比率'''ψ'''で配置して<math>\phi S_0+\varphi B</math>の仕組みを作り、複製ポートフォリオが上昇する時の価値は<math>\phi S_u+\varphi B</math>､下降する時は<math>\phi S_d+\varphi B</math>。債券は基準財として時間'''''0'''''の価格は'''1'''から、'''B'''を'''1'''に替わて時間'''1'''の価格は'''（1＋r）'''になった。よって複製ポートフォリオの利益は：

上昇する時の価値： <math>\phi S_u+\varphi (1+r)=\max(S_u-K,0)</math><br />
下降する時の価値： <math>\phi S_d+\varphi (1+r)=\max(S_d-K,0)</math>

この二つの式でφとψを求めて、φが正数すればψは必ず負数になる。これはψ単位の安全債券を売出してφ単位の商品Sを買うという経済的な意味である。

コールオプションの価値は複製ポートフォリオと同じだから、時間'''t＝0'''の価値'''C<sub>0</sub>'''は複製ポートフォリオの時間'''''0'''''の価値と同じ。つまりこのときのコールオプションの価値は
<math>C_0=\phi S_0+\varphi </math> である。

== 関連項目 ==
*[[金融工学]]
*[[ブラック-ショールズ方程式]]
*[[確率微分方程式]]

== 外部リンク ==
* {{Kotobank|二項モデル}}

{{金融派生商品}}

{{DEFAULTSORT:にこうかかくひようかもてる}}
[[Category:ファイナンシャル・モデル]]
[[Category:金融理論]]
[[Category:ツリー (データ構造)]]