二項式のソースを表示

[[代数学]]における二項多項式あるいは'''二項式'''（にこうしき、{{lang-en-short|bi&shy;nomial}}）は、二つの項（各項はつまり[[単項式]]）の和となっている[[多項式]]をいう<ref>{{MathWorld|title=Binomial|urlname=Bonomial}}</ref>。二項式は単項式に次いで最も簡単な種類の多項式である。

== 定義 ==
二項式は二つの[[単項式]]の和となっている多項式をいうのだから、ひとつの[[不定元]]（あるいは[[変数 (数学)|変数]]）{{mvar|x}} に関する二項式（一元二項式あるいは{{仮リンク|単変量|en|univariate|label=一変数}}二項式）は、適当な定数 {{mvar|a, b}} および相異なる[[非負整数|自然数]] {{mvar|m, n}} を用いて
: <math>ax^m - bx^n</math>
の形に書くことができる。[[ローラン多項式]]を考えている文脈では、ローラン二項式（あるいは単に二項式）は、形の上では先ほどの式と同じだが、冪指数 {{mvar|m, n}} が負の整数となることが許されるようなものとして定義される。

より一般に、多変数の二項式は
: <math>a x_1^{n_1}\dotsb x_i^{n_i} - b x_1^{m_1}\dotsb x_j^{m_j}</math>
の形に書くことができる<ref name=Sturmfels62>{{Cite journal
  | last = Sturmfels
  | first = Bernd
  | authorlink = Bernd Sturmfels
  | journal = CBMS Regional Conference Series in Mathematics
  | title = Solving Systems of Polynomial Equations
  | publisher = Conference Board of the Mathematical Sciences
  | issue = 97
  | page = 62
  | year = 2002
  | url = {{google books|plainurl=yes|id=N9c8bWxkz9gC}}
  | accessdate = 21 March 2014}}</ref>。例えば
: <math>3x - 2x^2</math>
: <math>xy + yx^2</math>
: <math>0.9 x^3 + \pi y^2</math>
などが二項式である。

== 単純な二項式に対する演算 ==
* 二項式 {{math|''x''{{exp|2}} − ''y''{{exp|2}}}} は二つの二項式の積に[[多項式の因数分解|因数分解]]される: {{math|1=''x''{{exp|2}} &minus; ''y''{{exp|2}} = (''x'' + ''y'')(''x'' &minus; ''y'')}}.
** より一般に、{{math|1=''x''{{exp|''n''+1}} &minus; ''y''{{exp|''n''+1}} = (''x'' &minus; ''y''){{sum|b=''k''=0|p=''n''}} ''x{{exp|k}}y{{exp|n&minus;k}}''}} が成り立つ。
** [[複素数]]係数の多項式を考えている場合には、別な一般化として {{math|1=''x''{{exp|2}} + ''y''{{exp|2}} = ''x''{{exp|2}} &minus; (''iy''){{exp|2}} = (''x'' &minus; ''iy'')(''x'' + ''iy'')}} も考えられる。
* 二つの一次二項式 {{math|(''ax'' + ''b'')}} および {{math|(''cx'' + ''d'')}} の積 {{math|1=(''ax'' + ''b'')(''cx'' + ''d'') = ''acx''{{exp|2}} + (''ad'' + ''bc'')''x'' + ''bd''}} は[[三項式]]である。
* 二項冪、すなわち二項式 ''x'' + ''y'' の[[冪| {{mvar|n}}-乗]] {{math|(''x'' + ''y''){{exp|''n''}}}} は[[二項定理]]（あるいは同じことだが[[パスカルの三角形]]）の意味するところによって展開することができる。例えば、二項式 {{math|''x'' + ''y''}} の平方は、各々の項の平方と互いの項の積の二倍との和に等しい: {{math|1=(''x'' + ''y'')^2 = ''x''{{exp|2}} + 2''xy'' + ''y''{{exp|2}}}}.
** この展開式に現れた各項の係数の組 {{math|(1, 2, 1)}} は[[二項係数]]であり、[[パスカルの三角形]]の上から二段目の行に出現する。同様に {{mvar|n}} 段目の行に現れる数を用いて {{mvar|n}}-乗の展開も計算できる。
* 上記の二項式の平方に対する公式を[[ピタゴラス数|ピュタゴラス三つ組]]を生成するための "{{math|(''m'', ''n'')}}-公式" に応用することができる:
*: {{math|''m'' < ''n''}} に対して {{math|''a'' {{=}} ''n''{{exp|2}} − ''m''{{exp|2}}}}, {{math|''b'' {{=}} 2''mn''}}, {{math|''c'' {{=}} ''n''{{exp|2}} + ''m''{{exp|2}}}} と置けば {{math|''a''{{exp|2}} + ''b''{{exp|2}} {{=}} ''c''{{exp|2}}}} が成り立つ。
* 二つの立方の和あるいは差に表される二項式は以下のように低次の多項式に因数分解することができる:
*: {{math|1=''x''{{exp|3}} + ''y''{{exp|3}} = (''x'' + ''y'')(''x''{{exp|2}} &minus; ''xy'' + ''y''{{exp|2}})}},
*: {{math|1=''x''{{exp|3}} &minus; ''y''{{exp|3}} = (''x'' &minus; ''y'')(''x''{{exp|2}} + ''xy'' + ''y''{{exp|2}})}}.

== 関連項目 ==
* [[平方完成]]
* [[二項分布]]
* {{仮リンク|初等組合せ論に関する話題の一覧|en|List of factorial and binomial topics}} (which contains a large number of related links)

== 注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* L. Bostock, and S. Chandler (1978). Pure Mathematics 1. ISBN 0 85950 0926. pp. 36.

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Binomial|urlname=Binomial}}
* {{SpringerEOM|title=Binomial|urlname=Binomial}}: (二項代数式のことも二項式 (binomial) と呼んでいるので注意)

{{polynomials}}

[[Category:多項式]]
[[Category:初等組合せ論の主題]]<!--[[Category:Factorial and binomial topics]]-->
[[Category:数学に関する記事]]
{{デフォルトソート:にこうしき}}