五十一角形のソースを表示

{{複数の問題
|特筆性=2022年6月5日 (日) 12:41 (UTC)
|出典の明記=2022年6月5日 (日) 12:41 (UTC)
|独自研究=2022年6月5日 (日) 12:41 (UTC)
}}
[[ファイル:Regular polygon 51.svg|300px|サムネイル|右|正五十一角形]]
'''五十一角形'''（ごじゅういちかくけい、ごじゅういちかっけい、pentacontahenagon）は、[[多角形]]の一つで、51本の[[辺]]と51個の[[頂点]]を持つ[[図形]]である。[[内角]]の[[加法|和]]は8820°、[[対角線]]の本数は1224本である。

== 正五十一角形 ==
正五十一角形においては、中心角と外角は7.058…°で、内角は172.941…°となる。一辺の長さが a の正五十一角形の面積 S は
:<math>S = \frac{51}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{51} \simeq 206.71914 a^2</math>

<math>\cos (2\pi/51)</math>を有理数と平方根で表すことが可能である。
<div style="overflow: auto;">
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{51}=&\cos \left(\frac{12\pi}{17}-\frac{2\pi}{3}\right)\\
=&\cos \left(\frac{\pi}{3}-\frac{5\pi}{17}\right)\\
=&\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{5\pi}{17}+\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{5\pi}{17}\\
=&\frac12\cos\frac{5\pi}{17}+\frac{\sqrt3}2\sin\frac{5\pi}{17}\\
=&\frac12\cdot \frac{1}{16} \left( +1+\sqrt{17}+\sqrt{34+\sqrt{68}} - \sqrt{68-\sqrt{2448}-\sqrt{2720-\sqrt{6284288}}} \right)\\
&+\frac{\sqrt3}2\cdot \frac{1}{8} \left( \sqrt{34 + \sqrt{68} - \sqrt{136+\sqrt{1088}} + \sqrt{272-\sqrt{39168}+\sqrt{43520-\sqrt{1608777728}}}} \right) \\
=&\frac{1}{32} \left( +1+\sqrt{17}+\sqrt{2 \cdot 17+\sqrt{2^2\cdot17}} - \sqrt{2^2\cdot17-\sqrt{2^4\cdot153}-\sqrt{2^5\cdot85-\sqrt{2^{10}\cdot6137}}} + \sqrt{2^3\cdot51+ \sqrt{2^6\cdot153} - \sqrt{2^7\cdot153+\sqrt{2^{14}\cdot1377}} + \sqrt{2^8\cdot153-\sqrt{2^{16}\cdot12393}+\sqrt{2^{17}\cdot6885-\sqrt{2^{34}\cdot40264857
}}}} \right) \\
=&\frac{1}{32} \left( +1+\sqrt{17}+\sqrt{2 \cdot 17+\sqrt{2^2\cdot17}} - \sqrt{2^2\cdot17-\sqrt{2^4\cdot3^2\cdot17}-\sqrt{2^5\cdot5\cdot17-\sqrt{2^{10}\cdot{19}^2\cdot17}}} + \sqrt{2^3\cdot3\cdot17+ \sqrt{2^6\cdot3^2\cdot17} - \sqrt{2^7\cdot3^2\cdot17+\sqrt{2^{14}\cdot3^4\cdot17}} + \sqrt{2^8\cdot3^2\cdot17-\sqrt{2^{16}\cdot3^6\cdot17}+\sqrt{2^{17}\cdot3^4\cdot5\cdot17-\sqrt{2^{34}\cdot3^8\cdot19^2\cdot17
}}}} \right) \\
\end{align}</math>
</div>

以下のように定義すると
:<math>
x_k = 2\cos\frac{2k\pi}{51}
</math>
根号の内の2のべき乗以外の値は<math>x_k</math>の和または差の2乗の組み合わせで求められる。
:<math>\begin{align}
& ((((x_1+x_{16})+(x_{13}+x_4))+((x_{25}+x_8)+(x_{19}+x_2)))+(((x_5+x_{22})+(x_{14}+x_{20}))+((x_{23}+x_{11})+(x_7+x_{10})))) = 1 \\
& ((((x_1+x_{16})+(x_{13}+x_4))+((x_{25}+x_8)+(x_{19}+x_2)))-(((x_5+x_{22})+(x_{14}+x_{20}))+((x_{23}+x_{11})+(x_7+x_{10}))))^2 = 17 \\
& \quad  \vdots \\
& ((((x_1-x_{16})^2-(x_{13}-x_4)^2)^2-((x_{25}-x_8)^2-(x_{19}-x_2)^2)^2)^2+(((x_5-x_{22})^2-(x_{14}-x_{20})^2)^2-((x_{23}-x_{11})^2-(x_7-x_{10})^2)^2)^2) = 6885 \\
& ((((x_1-x_{16})^2-(x_{13}-x_4)^2)^2-((x_{25}-x_8)^2-(x_{19}-x_2)^2)^2)^2-(((x_5-x_{22})^2-(x_{14}-x_{20})^2)^2-((x_{23}-x_{11})^2-(x_7-x_{10})^2)^2)^2)^2 = 40264857 \\
\end{align}</math>


=== 正五十一角形の作図 ===
正五十一角形は[[定規とコンパスによる作図]]が可能な図形の一つである。

正五十一角形がコンパスと定規で作図できることは[[1796年]]に[[カール・フリードリヒ・ガウス]]が[[正十七角形]]がコンパスと定規で作図できることを発見したと同時に証明されたことになる。これは任意の[[三角関数]]において、その[[変数 (数学)|変数]]としての[[角度|角]]が 2π/51 [[ラジアン|rad]]のとき、関数の値が[[有理数]]と[[平方根]]の組み合わせのみで表現できることを意味する。

[[ファイル:Regular 51-gon Inscribed in a Circle.gif|480px|サムネイル|なし|正五十一角形の作図]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[十七角形]]

== 外部リンク ==
{{commonscat}}
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:こしゆういちかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{Geometry-stub}}