五十二角形のソースを表示

{{複数の問題
|特筆性=2022年6月5日 (日) 12:41 (UTC)
|出典の明記=2022年6月5日 (日) 12:41 (UTC)
|独自研究=2022年6月5日 (日) 12:41 (UTC)
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[[ファイル:Regular polygon 52.svg|300px|サムネイル|右|正五十二角形]]
'''五十二角形'''（ごじゅうにかくけい、ごじゅうにかっけい、pentacontadigon）は、[[多角形]]の一つで、52本の[[辺]]と52個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は9000°、[[対角線]]の本数は1274本である。

== 正五十二角形 ==
正五十二角形においては、中心角と外角は6.923076…°で、内角は173.076923…°となる。一辺の長さが a の正五十二角形の面積 S は
:<math>S = 13a^2 \cot \frac{\pi}{52}a^2</math>

;関係式
:<math>\begin{align}
& x_1 = 2\cos\frac{2\pi}{52}+2\cos\frac{18\pi}{52}+2\cos\frac{46\pi}{52} = \sqrt{\frac{13-3\sqrt{13}}{2}} \\
& x_2 = 2\cos\frac{10\pi}{52}+2\cos\frac{14\pi}{52}+2\cos\frac{22\pi}{52} = \sqrt{\frac{13+3\sqrt{13}}{2}} \\
& x_3 = 2\cos\frac{50\pi}{52}+2\cos\frac{34\pi}{52}+2\cos\frac{6\pi}{52} = -\sqrt{\frac{13-3\sqrt{13}}{2}} \\
& x_4 = 2\cos\frac{42\pi}{52}+2\cos\frac{38\pi}{52}+2\cos\frac{30\pi}{52} = -\sqrt{\frac{13+3\sqrt{13}}{2}} \\
\end{align}</math>

三次方程式の係数を求めると
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{52} \cdot 2\cos\frac{18\pi}{52} + 2\cos\frac{18\pi}{52} \cdot 2\cos\frac{46\pi}{52} + 2\cos\frac{46\pi}{52} \cdot 2\cos\frac{2\pi}{52} \\
& = 2\cos\frac{10\pi}{26} +2\cos\frac{14\pi}{26} +2\cos\frac{22\pi}{26} +2\cos\frac{4\pi}{13}+2\cos\frac{10\pi}{13}+2\cos\frac{12\pi}{13} = -\sqrt{13} \\
& 2\cos\frac{2\pi}{52} \cdot 2\cos\frac{18\pi}{52} \cdot 2\cos\frac{46\pi}{52} = x_4 \\
\end{align}</math>

解と係数の関係より
:<math>
u^3-x_1u^2-\sqrt{13}u-x_4=0
</math>

変数変換
:<math>
u=v+x_1/3
</math>

整理すると
:<math>
v^3-\frac{13+3\sqrt{13}}{6}v-\frac{(13+6\sqrt{13})x_1+27x_4}{27}=0
</math>

三角関数、逆三角関数を用いた解は
:<math>
u_1=\frac{x_1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{13+3\sqrt{13}}{2}}\cos\left( \frac{1}{3}\arccos \left( \frac{(13+6\sqrt{13})x_1+27x_4}{(13+3\sqrt{13})\sqrt{\frac{13+3\sqrt{13}}{2}}} \right)\right)
</math>
:<math>
u_1=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{13-3\sqrt{13}}{2}}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{13+3\sqrt{13}}{2}}\cos\left( \frac{1}{3}\arccos \left( \frac{-5\sqrt{13}}{26} \right)\right)
</math>

平方根、立方根で表すと
:<math>
u_1=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{13-3\sqrt{13}}{2}}+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{13+3\sqrt{13}}{2}}\sqrt[3]{ \frac{-5\sqrt{13}}{26} +i\frac{3\sqrt{39}}{26}}+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{13+3\sqrt{13}}{2}}\sqrt[3]{ \frac{-5\sqrt{13}}{26} -i\frac{3\sqrt{39}}{26}}

</math>
<math>\cos (2\pi/52)</math>を平方根と立方根で表すと
:<math>
\cos\frac{2\pi}{52}=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{13-3\sqrt{13}}{2}}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{13+3\sqrt{13}}{2}}\sqrt[3]{ \frac{-5\sqrt{13}}{26} +i\frac{3\sqrt{39}}{26}}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{13+3\sqrt{13}}{2}}\sqrt[3]{ \frac{-5\sqrt{13}}{26} -i\frac{3\sqrt{39}}{26}}
</math>

=== 正五十二角形の作図 ===
正五十二角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正五十二角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[十三角形]]
* [[二十六角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:こしゆうにかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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