五十四角形のソースを表示

{{複数の問題
|特筆性=2022年6月5日 (日) 12:42 (UTC)
|出典の明記=2022年6月5日 (日) 12:42 (UTC)
|独自研究=2022年6月5日 (日) 12:42 (UTC)
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[[ファイル:Regular polygon 54.svg|300px|サムネイル|右|正五十四角形]]
'''五十四角形'''（ごじゅうよんかくけい、ごじゅうよんかっけい、pentacontatetragon）は、[[多角形]]の一つで、54本の[[辺]]と54個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は9360°、[[対角線]]の本数は1377本である。

== 正五十四角形 ==
正五十四角形においては、中心角と外角は6.666666…°で、内角は173.333333…°となる。一辺の長さが a の正五十四角形の面積 S は
:<math>S = \frac{27}{2}a^2 \cot \frac{\pi}{54}a^2</math>

;関係式
以下のようにα、β、γを定義すると
:<math>\begin{align}
& \alpha = 2\cos\frac{2\pi}{54} \cdot 2\cos\frac{34\pi}{54} \cdot 2\cos\frac{38\pi}{54} \\
& \beta = 2\cos\frac{10\pi}{54} \cdot 2\cos\frac{46\pi}{54} \cdot 2\cos\frac{26\pi}{54} \\
& \gamma = 2\cos\frac{50\pi}{54} \cdot 2\cos\frac{14\pi}{54} \cdot 2\cos\frac{22\pi}{54} \\
\end{align}</math>
三次方程式の係数を求めると
:<math>\begin{align}
& \alpha + \beta + \gamma = 0 \\
& \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -3 \\
& \alpha\beta\gamma = 1 \\
\end{align}</math>
三次方程式は
:<math>
x^3-3x-1=0
</math>
三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると
:<math>
\alpha=2\cos\left( \frac{1}{3}\arccos\frac{1}{2} \right) = \sqrt[3]{\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt[3]{-\omega^2}+\sqrt[3]{-\omega}
</math>
三次方程式の係数を求めると
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{54} + 2\cos\frac{34\pi}{54} + 2\cos\frac{38\pi}{54} = 0 \\
& 2\cos\frac{2\pi}{54} \cdot 2\cos\frac{34\pi}{54} + 2\cos\frac{34\pi}{54} \cdot 2\cos\frac{38\pi}{54} + 2\cos\frac{38\pi}{54} \cdot 2\cos\frac{2\pi}{54} = -3 \\
& 2\cos\frac{2\pi}{54} \cdot 2\cos\frac{34\pi}{54} \cdot 2\cos\frac{38\pi}{54} = \alpha \\
\end{align}</math>
三次方程式は
:<math>
u^3-3u-\alpha=0
</math>
三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると
:<math>
u_1=2\cos\left( \frac{1}{3}\arccos\frac{\alpha}{2} \right) =  \sqrt[3]{\sqrt[3]{-\omega^2}}+\sqrt[3]{\sqrt[3]{-\omega}}
</math>
よって
:<math>
\cos\frac{2\pi}{54} = \frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{-\omega^2}}+\sqrt[3]{\sqrt[3]{-\omega}}}{2}
</math>

=== 正五十四角形の作図 ===
正五十四角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正五十四角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[九角形]]
* [[十八角形]]
* [[二十七角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:こしゆうよんかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{Geometry-stub}}