五角形のソースを表示

[[ファイル:Pentagon.svg|thumb|right|正五角形]]
'''五角形'''（ごかくけい、ごかっけい、{{lang-en-short|pentagon}}）は、[[5]]つの[[頂点]]と[[辺]]を持つ[[多角形]]の総称。

== 正五角形 ==
正五角形は、各辺の長さが等しく、[[内角]]も108[[度 (角度)|°]]（[[中心角]]は[[72]]°）と一定な五角形である。辺の長さを ''a'' とすると
; 面積
: <math>A = \frac{5a^2}{4}\cot\frac{\pi}{5} = \frac{a^2}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}} \simeq 1.72048 a^2</math>
; 内接円の半径
: <math>r = \frac{a}{2}\cot\frac\pi{5}</math>
; 外接円の半径
: <math>R = \frac{a}{2}\csc\frac\pi{5}=\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10}a</math>

== 正五角形の作図 ==
[[File:Regular Pentagon Inscribed in a Circle 240px.gif|thumb|180px|定規とコンパスによる作図例]]
正五角形(regular pentagon)は[[定規とコンパスによる作図]]が可能である。以下に示すのは古典的な方法の一つである。
{|style="margin: 2em; font-size: smaller; text-align: right;"
	|-
		|[[ファイル:Regular pentagon construction1.png|200px|(1)]]
		|[[ファイル:Regular pentagon construction2.png|200px|(2)]]
		|[[ファイル:Regular pentagon construction3.png|200px|(3)]]
		|[[ファイル:Regular pentagon construction4.png|200px|(4)]]
	|-
		|(1)
		|(2)
		|(3)
		|(4)
|}

# 直線上の一点Oを中心にとった円を描画し、直線と交わる二点をA, Bとする。ABの[[垂直二等分線]]、およびOAの垂直二等分線を作図する。
# OAとその垂直二等分線が交わる点をC、円OとABの垂直二等分線が交わる点のうち一つをDとする。CDを半径にとり、Cを中心にDからABまで[[弧]]を描画する。弧とABが交わる点をEとする。
# DEを半径にとり、Dを中心に弧を描画する。弧が円Oと交わる二点をF, Gとする。
# 同じ半径のままF, Gを中心とした弧を描画する。これらの弧が円Oと交わる五点D, F, G, I, Hを結ぶ図形が正五角形である。
<gallery>
TomoyukiMogi202006281515.gif|正方形のマス目上での正五角形の描き方
MakePentagonArea TomoyukiMogi.gif|正五角形の領域をその高さと外接円心の高さの比を利用して求め出す方法の一例
</gallery>

== 定理 ==
* 正五角形の一辺と[[対角線]]との[[比]]は、[[黄金比]]に等しい。
* 正五角形の交わる対角線は、互いに他を[[黄金比]]に分ける。
* 対角線の長さが互いに全て等しい正多角形は、正五角形と[[正四角形]](正方形)のみである。
* ''n'' 角形の対角線の本数を ''m'' 本としたとき ''n = m'' が成り立つのは ''n'' = 5、すなわち五角形だけである。
* [[正十二面体]]を構成する面は正五角形である。

== 種類 ==
=== 五等辺五角形 ===
{{Main|en:Equilateral pentagon}}
五等辺五角形は5つ辺が同じ長さの五角形である。{{要校閲範囲|しかし、五角形の5つの内角は値の0~180度の範囲を取ることができるため、複数の五角形の集まりを形成することが可能である。|date=2022年7月}}また、正五角形も5つの辺全てが等しいため五等辺五角形と言える。<gallery>
ファイル:Equilateral pentagon.SVG|五等辺五角形の例
ファイル:Equilateral pentagon-decatile1.svg|正五角形も五等辺五角形の一つである。
ファイル:Equilateral pentagon-dodecatile1.svg|2つの角が直角の五等辺五角形
</gallery>

=== 共円五角形 ===
[[ファイル:Cyclic pentagon isosceles partition.svg|サムネイル|共円五角形の例]]
共円五角形は、[[外接円]]と呼ばれる円が、すべての5つの頂点を通過している五角形である。正五角形は、共円五角形の一つである。共円五角形の面積は、規則的であるかどうかに関係なく、係数が五角形の辺の関数である[[七次方程式]]の根の1つの平方根の4分の1として表すことができる<ref>{{Cite web|title=Cyclic Pentagon|url=https://mathworld.wolfram.com/CyclicPentagon.html|website=mathworld.wolfram.com|accessdate=2021-12-12|language=en|first=Eric W.|last=Weisstein}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Robbins|first=D. P.|date=1994-12-01|title=Areas of polygons inscribed in a circle|url=https://doi.org/10.1007/BF02574377|journal=Discrete & Computational Geometry|volume=12|issue=2|pages=223–236|language=en|doi=10.1007/BF02574377|issn=1432-0444}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Robbins|first=David P.|date=1995|title=Areas of Polygons Inscribed in a Circle|url=https://www.jstor.org/stable/2974766|journal=The American Mathematical Monthly|volume=102|issue=6|pages=523–530|doi=10.2307/2974766|issn=0002-9890}}</ref>。

==== ロビンスの五角形 ====
有理数の辺と有理数の面積を持つ循環五角形が存在する。これは、{{仮リンク|ロビンスの五角形|en|Robbins pentagon}}と呼ばれている<ref name=":0">{{Cite journal|last=Buchholz|first=Ralph H.|last2=MacDougall|first2=James A.|date=2008-01-01|title=Cyclic polygons with rational sides and area|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X07001126|journal=Journal of Number Theory|volume=128|issue=1|pages=17–48|language=en|doi=10.1016/j.jnt.2007.05.005|issn=0022-314X}}</ref>。ロビンスの五角形の対角線はすべて有理数またはすべて無理数でなければならないことが証明されており、すべての対角線は有理数でなければならないと推測される<ref name=":0" />。

=== 直角五角形 ===
直角五角形は直角の角を持つ五角形である。五角形は1つ、2つまたは3つの直角を持つことが可能であり、通常五角形は4つや5つの直角はは持つことができない<ref name=":1">{{Cite web|title=A Survey of Right Angles in Convex Pentagons|url=https://robertlovespi.net/2013/10/22/a-survey-of-right-angles-in-pentagons/|website=RobertLovesPi.net|date=2013-10-22|accessdate=2021-12-12|language=en|last=RobertLovesPi}}</ref>。しかし、双曲幾何学においてはすべての内角が直角の五角形を描くことができる<ref>{{Cite web|和書|title=直角正五角形|url=http://web1.kcn.jp/hp28ah77/jp30_pent.htm|website=web1.kcn.jp|accessdate=2021-12-12}}</ref>。五角形の2つの直角と3つの直角には、2つの種類があり、直角は、連続する場合と連続しない場合がある<ref name=":1" />。正五角形には直角は無いため、直角五角形ではない<ref name=":1" />。<gallery>
ファイル:Prototile p5-type11.png|一つの角が直角の直角五角形
ファイル:Prototile p5-type1 p4g.png|二つの角が直角かつ連続している直角五角形。
ファイル:Prototile p5-type4.png|二つの角が直角かつ連続していない直角五角形。
</gallery>

=== 五等角五角形 ===
5つの角の大きさが全て等しい五角形。等角五角形の1つの角の大きさは108°になる<ref>{{Cite web|url=https://washburn.mpls.k12.mn.us/uploads/hw_8_solutions.pdf|title=hw 8 solutions.pdf|accessdate=2021年12月15日}}</ref><ref>{{Cite web|title=等角ポリゴン|url=https://www.asianprofile.wiki/wiki/Equiangular_polygon|website=www.asianprofile.wiki|accessdate=2021-12-15|language=en|last=hmong.wiki}}</ref>。<gallery>
ファイル:Equiangular pentagon 01.svg|五等角五角形の例
ファイル:Equiangular pentagon 02.svg|五等角五角形の例
ファイル:Equiangular pentagon 03.svg|正五角形も五等角五角形の一つである。
ファイル:Equiangular pentagon 04.svg|五等角五角形の例
</gallery>

=== 凸五角形 ===
すべての凸五角形において、対角線の平方の合計は、辺の平方の合計の3倍未満である<ref>{{Cite web|url=http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf|title=Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”|accessdate=2021年12月15日}}</ref>。

=== 凹五角形 ===
五角形の角度の少なくとも1つが180°を超える場合、凹五角形になる<ref>{{Cite web|title=Concave Pentagon - Geometry Calculator|url=https://rechneronline.de/pi/concave-pentagon.php|website=rechneronline.de|accessdate=2021-12-15}}</ref><ref>{{Cite web|title=Pentagon|url=https://www.math.net/pentagon|website=www.math.net|accessdate=2021-12-15}}</ref>。<gallery>
ファイル:5-gon concav 01.svg|凹五角形の例
ファイル:Equilateral pentagon-decatile4.svg|凹五等辺五角形の例
</gallery>

== その他五角形に関する事項 ==
[[File:Pentagram in pentagon.svg|thumb|150px|正五角形の対角線（五芒星）]]{{雑多な内容の箇条書き|date=2022年3月20日 (日) 02:09 (UTC)|section=1}}{{Double image aside|right|Knot.jpg|75|Overhand-folded-ribbon-pentagon.svg|150|紙片の結び目と正五角形}}

=== 正五角形関連 ===
* 五角形の対角線を繋いだ星形を'''[[五芒星]]'''（ペンタグラム）という。たとえば[[長崎市]]の[[市町村章|市章]]などはペンタグラムとなっている。
* 細長い[[紙]]片、（または[[リボン]]や[[割り箸]]袋など）で[[一重結び]]の結び目を作ると正五角形が得られる。
* アメリカ[[国防総省]]を俗に'''[[ペンタゴン]]'''というが、これは[[バージニア州]]にある本省庁舎が五角形であることに由来する。こちらを指す時には定冠詞「The」が冠される。
* [[函館市]]の[[五稜郭]]も外郭に突き出した三角形を組み合わせた五角形の「稜堡式（りょうほしき）」を採用した[[星形要塞]]である。これは、要塞設計と構造特性上、外敵からの攻撃に対する[[死角]]を防ぎ、稜堡の一辺が当時の[[銃]]の射程以内に収まり、どの方向から襲撃されても対応しやすいといった、守備に適した非常に合理的な形状と考えられたためである。
* [[シタデル (ケベック)]]も[[星形要塞]]である。
* [[飯塚伊賀七]]の作った[[茨城県]][[つくば市]][[谷田部 (つくば市)|谷田部]]にある[[五角堂]]は、五角形をした[[建築物]]である<ref>「日研」新聞編集委員会 編（1991）：184ページ</ref>。
* [[ヒトデ]]や[[ウニ]]など、[[棘皮動物]]の体制は五放射相称を基本とする。
* [[植物]]の世界では、[[バラ科]]や[[ナス科]]などのように五枚の[[花びら]]で構成された五弁花が多く、[[数列]]における[[フィボナッチ数]]であることが知られている。
[[ファイル:Braarudosphaera bigelowii.jpg|thumb|right|{{仮リンク|ブラアルドスパエラ・ビゲロウィイ|en|Braarudosphaera bigelowii|label=ビゲロイ}}の{{仮リンク|コッコリス|en|Coccolith|preserve=1}}]]
* [[円石藻]]の一種の{{仮リンク|ブラアルドスパエラ・ビゲロウィイ|en|Braarudosphaera bigelowii|label=ビゲロイ}}は、[[炭酸カルシウム]]からなる正五角形の鱗片（コッコリス、円石）に覆われている{{sfn|萩野恭子|堀口健雄|高野義人|松岡裕美|2011}}。
*<math>\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}</math>で、これに[[黄金比]]をかけると {{Math|{{Sfrac|1|2}}}} になる。つまり、{{Math|2sin18°}} は黄金比の[[逆数]]である。
* [[五角数]]は[[多角数]]の一つである。
* 正五角形の1つの頂点からの2本の対角線と1辺とでできる三角形は[[黄金三角形]]である。
* 水平な底辺を持つ正五角形の右下の辺の傾きは「高さ×{{Math|2}}/底辺の長さ」となっている。
* 正五角形の内接円と外接円の半径の比は {{Math|''φ'' : 2}} となっている。
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ファイル:GradientOfRegularPentagonExteriorAngle.gif|水平な底辺を持つ正五角形の右下の辺の傾きは「高さ×{{Math|2}}/底辺の長さ」となっている。
ファイル:RegularPentagonCirclesRatio TomoyukiMogi.png|正五角形の内接円と外接円の半径の比は {{Math|''φ'' : 2}}となっている。
ファイル:RegularPentagon Radius4 TomoyukiMogi.png|赤の正円に外接する正方形を縦横それぞれに8等分してできるマス目（青）を活用すると、図のように赤の正円に内接する正五角形（橙）とその正五角形に内接する正円（黄）を描くことができる。
ファイル:Hexa-penta-goldenrect.png|同一の正円(青)に内接する正五角形(黄)と正六角形(緑)を活用して[[黄金長方形]](橙)を作り出す例
ファイル:Inscribed penta 5prs of circle bysq TomoyukiMogi.png|正円（緑）の半径と同じ長さの辺を持つ正方形（青）を活用した正五角形（橙）や五芒星（黄）の描き方の例（赤の円は描き上げ後の検証のためのもの）
ファイル:PentaStar Tomoyuki Mogi Circle 2 1.png|正円半径と同じ長さの辺の正方形を活用した内接正五角形（五芒星）の描き方の一例（赤の円は描き上げ後の検証のためのもの）
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=== 正五角形以外 ===
* [[野球]]で使用される[[本塁]]は、五角形の形状をしている。本塁は正五角形ではなく正方形を元につくられる五角形である。
* これも正五角形ではないが、[[将棋]]の[[駒 (将棋)|駒]]も先の尖った独特の五角形をしている。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* [[高木貞治]]『数学小景』岩波書店〈岩波現代文庫〉、2002年、ISBN 4006000812。
* 「日研」新聞編集委員会 編『茨城108景をめぐる』[[川崎松濤]]監修、[[筑波書林]]、1991年9月20日、pp.219。
* {{Citejournal|和書|author1=萩野恭子|authorlink1=d:Q117234957|author2=堀口健雄|authorlink2=堀口健雄|author3=高野義人|authorlink3=高野義人|author4=松岡裕美|authorlink4=松岡裕美|title=サイズ変化を伴った円石藻の種分化|journal=日本プランクトン学会報
|year=2011|url=https://agriknowledge.affrc.go.jp/RN/2030810968.pdf|issn=03878961
|ref=harv}}

== 関連項目 ==
* [[平面充填]]

== 外部リンク ==
{{Commons&cat}}
*{{kotobank}}

{{多角形}}
{{DEFAULTSORT:こかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]