五角数のソースを表示

[[Image:Pentagonal number.gif|right|thumb|181px|はじめの5つの五角数の図示]]
'''五角数'''（ごかくすう、pentagonal number）とは、[[多角数]]の一種で、[[正五角形]]の形に点を図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる[[自然数]]である。五角数は無数にあり、そのなかでは [[1]] が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例：5 (= 1 + 4)、12 (= 1 + 4 + 7)、92 (= 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22)

== 一般項 ==
{| 
! 1 !! !! 5 !! !! 12 !! !! 22 
|- align="center" valign="middle"
|[[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|
|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
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|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
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|[[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDot.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:GrayDotX.svg|16px|*]][[Image:Blank300.png|15px|&nbsp;]][[Image:RedDotX.svg|16px|*]]<br />[[Image:RedDotX.svg|16px|*]]
|}

''n'' 番目の五角数を ''P''<sub>''n''</sub> とすると、図より
:''P''<sub>1</sub> = 1 , ''P''<sub>''n''+1</sub> = ''P''<sub>''n''</sub> + 3''n'' + 1
が成り立つ。よって五角数は
:<math>P_n = P_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k + 1) = \frac{n(3n-1)}{2} = n^2+T_{n-1}</math>
で与えられる。(ただし ''T''{{sub|''n''}} は ''n'' 番目の三角数)

五角数を小さいものから順に列記すると
:1, [[5]], [[12]], [[22]], [[35]], [[51]], [[70]], [[92]], [[117]], [[145]], [[176]], [[210]], [[247]], [[287]], [[330]], [[376]], [[425]], [[477]], [[532]], … （{{OEIS|A326}}）
となる。

== 性質 ==
*''n'' 番目の五角数は 3''n'' &minus; 1 番目の[[三角数]]の [[1/3|{{sfrac|1|3}}]] に等しい。また 1 から ''n'' 番目までの五角数の[[相加平均]]は ''n'' 番目の三角数に等しい。
* ''n'' 番目の五角数は ''n'' からの ''n'' 連続整数和で表せる。例. ''P''{{sub|2}} = 2 + 3 、''P''{{sub|3}} = 3 + 4 + 5
*五角数は[[奇数]]-奇数-[[偶数]]-偶数といった順番の繰り返しで現れる。また 1 と 5 以外の五角数は全て[[合成数]]である。
*五角数は[[オイラーの五角数定理]]に現れる数である。
*全ての自然数は高々5つの五角数の和で表すことができる。(→[[多角数定理]])
*五角数の[[逆数]]の[[無限和]]は
*:<math> \frac{1}{1} + \frac{1}{5} + \frac{1}{12} + ... = 3 \log {3} - \frac{\sqrt {3} \pi}{3} = 1.4820375...</math>
:である<ref>SIAM, [http://www.siam.org/journals/categories/07-003.php Sum of the Reciprocals of Polygonal Numbers]</ref>。
*五角数が[[三角数]]であるものは [[1]], [[210]], 40755, 7906276<math>\cdots</math> ({{OEIS|A014979}})
*五角数が[[ハーシャッド数]]であるものは [[1]], [[5]], [[12]], [[70]], [[117]], [[210]], [[247]], [[330]], [[715]], <math>\cdots</math> ({{OEIS|A242043}})
*五角数が[[平方数]]であるものは [[0]], [[1]], [[9801]], 94109401,<math>\cdots</math> ({{OEIS|A036353}})

== 脚注 ==
<references />

== 関連項目 ==
* [[図形数]]
* [[多角数]]
* [[三角数]]
* [[平方数]]（四角数）
* [[オイラーの五角数定理]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Pentagonal Number|urlname=PentagonalNumber}}

{{級数}}

{{DEFAULTSORT:こかくすう}}
[[Category:多角数|05]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]