交互階乗のソースを表示

'''交互階乗'''（こうごかいじょう、{{lang-en-short|alternating factorial}}）は、[[自然数]]で、[[階乗]]数を以下の式にしたがって足し合わせた数である。
:<math>\mathrm{af}(n) = \sum_{i = 1}^n (-1)^{n - i} i!</math>
af(''n'') は ''n'' 番目の交互階乗を表す。例えば3番目の交互階乗は 1! &minus; 2! + 3! = 5 であり、4番目の交互階乗は &minus; 1! + 2! &minus; 3! + 4! = 19 と計算される。交互階乗は次の[[漸化式]]の形で表すこともできる。
:<math>\mathrm{af}(n) = n! - \mathrm{af}(n - 1)</math>
ただし af(1) = 1 である。交互階乗を1から小さい順に列記すると
:[[1]], 1, [[5]], [[19]], [[101]], [[619]], [[1 E3|4421]], [[1 E4|35899]], [[1 E5|326981]], [[1 E6|3301819]], [[1 E7|36614981]], [[1 E8|442386619]], [[1 E9|5784634181]], [[1 E10|81393657019]], … ({{OEIS2C|A005165}})

交互階乗は全て[[奇数]]である。また ''n'' 番目の階乗数と ''n'' 番目の交互階乗は[[互いに素 (整数論)|互いに素]]である。

Miodrag Zivkovićは[[1999年]]に[[素数]]となる交互階乗の個数が有限であることを af(3612702) が3612703で割り切れることから証明した。つまり ''n'' ≧ 3612702 において af(''n'') は全て3612703で割り切れる[[合成数]]である。現在 af(''n'') は以下の ''n'' の値をとるとき素数もしくは[[確率的素数]]となることが知られている。
:3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661, 2653, 3069, 3943, 4053, 4998, 8275, 9158, 11164（{{OEIS2C|A001272}}）
af(661) が知られている中では最も大きい素数である。

== 外部リンク ==
* Yves Gallot, [http://perso.wanadoo.fr/yves.gallot/papers/lfact.pdf Is the number of primes <math>{1 \over 2}\sum_{i = 0}^{n - 1} i!</math> finite?]
* Paul Jobling, [http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0411&L=nmbrthry&T=0&P=1106 Guy's problem B43: search for primes of form n!-(n-1)!+(n-2)!-(n-3)!+...+/-1!]

== 関連項目 ==
* [[階乗]]

[[Category:数論|こうこかいしよう]]
[[Category:整数の類|こうこかいしよう]]
[[Category:数学に関する記事|こうこかいしよう]]