交代群のソースを表示

{{groups}}
'''交代群'''（こうたいぐん、{{lang-en-short|''alternating group''}}, {{lang-de-short|''Alternierende Gruppe''}}）とは、[[有限集合]]の[[偶置換]]全体がなす[[群 (数学)|群]]である{{sfn|Scott|1987|p={{google books quote|id=pOwxAwAAQBAJ|page=267|267}}}}。集合 {1,...,''n''} 
上の交代群は ''n'' 次の交代群、もしくは ''n'' 文字の交代群 {{lang|en|(the alternating group on ''n'' letters)}} と呼ばれ、''A''<sub>''n''</sub> もしくは Alt(''n''), <math>\mathfrak{A}_n</math> という記号で表す。これは ''n'' 変数の[[交代式]]<ref>たとえば基本交代式（[[差積]]）<math>\Delta(x_1, \dotsc, x_n) := \prod_{1 \le i < j \le n}(x_i - x_j)</math> </ref>を不変とするような変数の置換がなす群と思ってもよい{{sfn|Vilyams|2001}}<!-- 「'」をうまくescapeできなかったので -->。

例として、4つの元からなる集合 {1, 2, 3, 4} の交代群 ''A''<sub>4</sub> は以下のようになる。''A''<sub>4</sub>  = {e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}（[[巡回置換]]記法を参照）

== 基本的性質 ==
''n'' &gt; 1 とする。群 ''A''<sub>''n''</sub> は[[対称群]] ''S''<sub>''n''</sub> の指数 2 の[[交換子群]]であり、''n''!/2 個の元を持つ。これは、符号準同型 sgn: ''S''<sub>''n''</sub> → {1, &minus;1} の[[核 (代数学)|核]]である（置換の符号については[[置換 (数学)]]の項を参照）。
群 ''A''<sub>''n''</sub> が[[可換群]]となるのは、''n'' ≤ 3 のときかつそのときに限る。また[[単純群]]となるのは ''n'' = 3 もしくは ''n'' ≥ 5 のときかつそのときに限る。''A''<sub>5</sub> は位数 60 を持つ最小の非可換単純群であり<ref>[[エヴァリスト・ガロア|ガロワ]]は素数位数でない単純群の最小位数は 60 であると予想していた {{harv|Kline|1992|p=766}}。</ref>、最小の非[[可解群]]である。

群 ''A''<sub>4</sub> は[[クラインの4元群]] ''V'' を真の[[正規部分群]]として持つ。''V'' は {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} であり、列 ''V'' &rarr; ''A''<sub>4</sub> &rarr; ''A''<sub>3</sub> (= ''C''<sub>3</sub>) は完全である。[[ガロワ理論|ガロア理論]]によればこの写像、あるいはこれに対応する ''S''<sub>4</sub> &rarr; ''S''<sub>3</sub> に、[[四次方程式]]のフェラリの解法における（三次の）[[分解方程式|ラグランジュ分解方程式]]（分解方程式の根によって四次方程式を解くことができる）が対応している。

== 共軛類 ==

[[対称群]]の場合と同様、''A''<sub>''n''</sub> の各共軛類は同じ[[巡回置換分解|巡回置換型]]を持つ元からなる。しかし、巡回置換型を構成する巡回置換の長さが奇数のみでしかも重複がないとき（巡回置換型には長さ1の巡回置換も含めるとする）、この型に対応する共軛類はちょうど二つ存在する{{sfn|Scott|1987|loc=&sect;11.1 Conjugacy classes|pp={{google books quote|id=pOwxAwAAQBAJ|page=298|298}}–300}}。

例:
* ふたつの[[置換 (数学)|置換]] (123) および (132) は同じ型を持つにもかかわらず ''A''<sub>3</sub> において互いに共軛ではない（''S''<sub>3</sub> においては共軛である）。
* ''A''<sub>8</sub> において、置換 (123)(45678) はその逆置換 (132)(48765) と同じ型をもつが、互いに共軛でない（''S''<sub>8</sub> の元としては共軛）。

== 自己同型群 ==
{{main|対称群と交代群の自己同型群}}
{| align="right" class="wikitable" style="text-align:center; margin: 1ex auto 1ex 1em;"
|-
! ''n'' !! Aut(''A''<sub>''n''</sub>) !! Out(''A''<sub>''n''</sub>)
|-
! ''n'' = 1, 2
| 1 || 1
|-
! ''n'' = 3
| <math>C_2</math> || <math>C_2</math>
|-
! ''n'' &ge; 4, ''n'' &ne; 6
| <math>S_n</math> || <math>C_2</math>
|-
! ''n'' = 6
| <math>S_6 \rtimes C_2</math> || <math>V=C_2 \times C_2</math>
|}

一般の ''n'' &gt; 3 (''n'' &ne; 6) に対する ''A''<sub>''n''</sub> の[[自己同型群]]は対称群 ''S''<sub>''n''</sub> で{{sfn|Wilson|2009|p={{google books quote|id=lYMAg_Sj7hUC|page=18|18}}|ps=（Theorem 2.3, Exercise 2.16 参照）}}、[[内部自己同型群]]として ''A''<sub>''n''</sub> を[[外部自己同型群]]として '''Z'''/2'''Z''' を持つ。このとき外部自己同型群は奇置換による共軛変換から得られる。

''n'' = 1, 2 のとき自己同型群は自明群である。''n'' = 3 の場合の自己同型群は '''Z'''/2'''Z''' で、内部自己同型群は自明、外部自己同型群は '''Z'''/2'''Z''' である。

''A''<sub>6</sub> の外部自己同型群は[[クラインの四元群]] ''V'' = '''Z'''<sub>2</sub> &times; '''Z'''<sub>2</sub> であり、''S''<sub>6</sub> の外部自己同型に関係がある。The extra outer automorphism in ''A''<sub>6</sub> swaps the 3-cycles (like (123)) with elements of shape 3<sup>2</sup> (like (123)(456)).

== 例外的な同型 ==

小さい位数の交代群と[[リー型の群]]（とくに[[特殊射影線型群]]）との間には{{仮リンク|例外的な同型|en|exceptional isomorphism}}と呼ばれる対応が取れるものがある。
* ''A''<sub>4</sub> は PSL<sub>2</sub>(3) に同型である。また鏡像異種正六面体の対称性の群とも同型である。
* ''A''<sub>5</sub> は PSL<sub>2</sub>(4), PSL<sub>2</sub>(5) に同型であり{{sfn|Scott|1987|p=295}}、また鏡像異種正二十面体の対称性の群とも同型である。
* ''A''<sub>6</sub> は PSL<sub>2</sub>(9) {{sfn|Scott|1987|p=295}}および PSp<sub>4</sub>(2)' に同型である。
* ''A''<sub>8</sub> は PSL<sub>4</sub>(2) に同型である{{sfn|Scott|1987|p=295}}。

もっと明らかなものとしては、''A''<sub>3</sub> が[[巡回群]] '''Z'''/3'''Z''' に同型であることや ''A''<sub>0</sub>, ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub> が[[自明群]]に（これは任意の ''q'' に対する SL<sub>1</sub>(''q'') = PSL<sub>1</sub>(''q'') とも）同型であることなどが挙げられる。

==部分群==
交代群 ''A''<sub>4</sub> は、[[ラグランジュの定理 (群論)|ラグランジュの定理]]の[[逆]]が一般には成立しないことを示す最小の群である。すなわち、有限群 ''G'' と、 |''G''| の約数 ''d'' が存在するときでも、''G'' には位数 ''d'' の部分群が必ず存在するとは限らない。''G'' = ''A''<sub>4</sub> とすると、位数は12になるが、位数6の部分群は存在しない。''A''<sub>4</sub> の中で、3個だけの元の交代（3個だけの元の巡回置換）からなる元の集合は部分群をなすが、それに任意の元を付け加えて生成する群は ''A''<sub>4</sub> 全体になる。

== 群の表示 ==
交代群 ''A''{{sub|''n''}} (''n'' &ge; 3)の生成元と関係式による[[群の表示|表示]]には以下のものが知られている。ひとつはCarmichaelによる（対称な）表示<ref name="CM80p66">{{cite book
|last1 = Coxeter
|first1 = Harold S. M.
|authorlink1 = コクセター
|last2 = Moser
|first2 = William O. J.
|title = Generators and Relations for Discrete Groups
|edition = 4th
|year = 1980
|isbn = 978-3-662-21945-4
|page = {{google books quote|id=pGjyCAAAQBAJ|page=66|66}}
}}</ref>
: 生成元 ''V''{{sub|1}}, …, ''V''{{sub|''n''&minus;2}} と
: 関係式 ''V''{{su|b=''i''|p=3}} = (''V''{{sub|''i''}} ''V''{{sub|''j''}}){{sup|2}} = ''e'' (1 &le; ''i'' < ''j'' &le; ''n''&minus;2)
で、これは交代群 ''A''{{sub|''n''}} を定める。この表示は <math>V_i \mapsto (i, n - 1, n)</math> という対応から得られる。

もうひとつはMooreによる表示<ref name="CM80p66" />
: 生成元 ''x''{{sub|1}}, …, ''x''{{sub|''n''&minus;2}} と
: 関係式
::''x''{{su|b=1|p=3}} = ''x''{{su|b=''i''|p=2}} = ''e'' (2 &le; ''i'' &le; ''n''&minus;2)
::(''x''{{sub|''i''}} ''x''{{sub|''i''+1}}){{sup|3}} = ''e'' (1 &le; ''i'' &le; ''n''&minus;3)
::(''x''{{sub|''i''}} ''x''{{sub|''j''}}){{sup|2}} = ''e'' (1 &le; ''i'' &le; ''n''&minus;4, ''i''+1 < ''j'')
で、これも交代群 ''A''{{sub|''n''}} を定める{{sfn|Huppert|1967|p={{google books quote|id=dfunBgAAQBAJ|page=138|138}}|loc=Beispiel 19.8|ps=（Aufgaben 75, Beispiel 19.9 も参照）}}。この表示は <math>x_i \mapsto (1, 2)(i+1, i+2)</math> という対応から得られる。

== 多重可移群 ==
{{empty section}}

== 群ホモロジー ==
<!--{{also|Symmetric group#Homology}}-->
交代群の[[群ホモロジー]]は[[安定ホモトピー論]]における意味で安定である。つまり（有限個の小さい次元のホモロジー群を除いて）十分大きな ''n'' に対する ''n''-次ホモロジー群が（同型の意味で）一定となる。

=== アーベル化 H<sub>1</sub> ===
群の一次元[[ホモロジー群]]は群の[[アーベル化]]に一致する（また、''A''<sub>''n''</sub> は知られた例外を除いて[[完全群|完全]]である）から、
:<math>H_1(A_n,\mathbb{Z})=0\mbox{ for } n=0,1,2;</math>
:<math>H_1(A_3,\mathbb{Z})=A_3^{\text{ab}} = A_3 = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z};</math>
:<math>H_1(A_4,\mathbb{Z})=A_4^{\text{ab}} = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z};</math>
:<math>H_1(A_n,\mathbb{Z})=0\mbox{ for }n\geq 5</math>

が得られる。これは以下のようにすれば直接確認することも容易である。まず、''A''<sub>3</sub> は長さ 3 の巡回置換によって生成され、位数 3 の元は位数 3 の元に写らなければならないから、非自明なアーベル化写像は準同型 ''A''<sub>''n''</sub> &rarr; ''C''<sub>3</sub> のとり方のみによって決まる。

''n'' &ge; 5 ならば、長さ 3 の巡回置換はすべて互いに共軛であるから、これらの元はアーベル化の中で同じ元に写る（共軛変換は可換群には自明に働く）。したがって、(123) のような長さ 3 の巡回置換はその逆元 (321) ともども同じ元へ写るが、その行き先は位数が 2 も 3 も割り切るものである単位元でなければならない。ゆえにアーベル化は自明群である。

''n'' &lt; 3 のときは ''A''<sub>''n''</sub> 自身が自明群だから、そのアーベル化も同様に自明である。''A''<sub>3</sub>, ''A''<sub>4</sub> については直接そのアーベル化を計算して確かめればよいが、注意すべきは長さ 3 の巡回置換の全体はすべてが共軛というわけにはいかず、ふたつの共軛類に分かれることである。したがって、非自明な全射準同型 
: <math>A_3  \twoheadrightarrow C_3, \quad A_4 \twoheadrightarrow C_3</math>
が存在する。前者は実際には同型である。

=== シューア乗因子 H<sub>2</sub> ===
{{main|対称群・交代群の被覆群}}
''n'' &ge; 5 の場合の ''A''<sub>''n''</sub> の{{仮リンク|シューア乗因子|en|Schur multiplier}}は（''n'' = 6, 7 の場合を除いて）位数 2 の巡回群である。''n'' = 6, 7 の場合、三重被覆が存在し、シューア乗因子は位数 6 の巡回群となる<ref name="raw">{{citation | first=Robert | last=Wilson | authorlink=Robert Arnott Wilson | date= October 31, 2006 |url=http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/fsgs.html | chapter=Chapter 2: Alternating groups | postscript=, 2.7: Covering groups}}</ref>。これらの計算は {{Harv|Schur|1911}} において初めて成されている。

:<math>H_2(A_n,\mathbb{Z})=0\mbox{ for }n = 1,2,3;</math>
:<math>H_2(A_n,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\mbox{ for }n = 4,5;</math>
:<math>H_2(A_n,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\mbox{ for }n = 6,7;</math>
:<math>H_2(A_n,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\mbox{ for }n \geq 8.</math>

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
{{Refbegin}}
* {{citation
    |last1              = Huppert
    |first1             = B.
    |year               = 1967
    |title              = Endliche Gruppen I
    |series             = Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
    |volume             = 134
    |url                = {{google books|dfunBgAAQBAJ|plainurl=yes}}
    |publisher          = Springer-Verlag
    |isbn               = 978-3-642-64982-0
    |mr                 = 0224703
    |zbl                = 0217.07201
    |doi                = 10.1007/978-3-642-64981-3
}}
* {{citation
    |last1       = Kline
    |first1      = Morris
    |year        = 1972
    |title       = Mathematical Thought from Ancient to Modern Times
    |publisher   = [[Oxford University Press]]
    |isbn        = 0-19-501496-0
    |mr          = 0472307
    |zbl         = 0277.01001
}} ([https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183535805 Review] by Gian-Carlo Rota in Bull. Amer. Math. Soc.)
*{{citation | first=Issai | last=Schur | title=Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|J. Reine Angew. Math.
]] | volume=139 | year=1911 | pages=155–250 | authorlink=Issai Schur | doi=10.1515/crll.1911.139.155}}
* {{citation
    |last1              = Scott
    |first1             = W. R.
    |year               = 1987
    |origyear           = 1964
    |title              = Group Theory
    |edition            = Second
    |url                = {{google books|pOwxAwAAQBAJ|plainurl=yes}}
    |publisher          = [[ドーヴァー出版|Dover]]
    |isbn               = 978-0-486-65377-8
    |mr                 = 0896269
    |zbl                = 0641.20001
}}
* {{citation
    |last1              = Wilson
    |first1             = Robert A.
    |year               = 2009
    |title              = The Finite Simple Groups
    |chapter            = Chapter 2. The alternating groups
    |pages              = 11–39
    |series             = Graduate Texts in Mathematics
    |volume             = 251
    |url                = {{google books|lYMAg_Sj7hUC|plainurl=yes|page=11}}
    |publisher          = Springer
    |isbn               = 978-1-84800-987-5
    |mr                 = 2562037
    |zbl                = 1203.20012
    |doi                = 10.1007/978-1-84800-988-2
}}
{{Refend}}

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM | title=Alternating group | id=Alternating_group&oldid=31835 | last=Vil'yams | first=N. N. | ref={{sfnref|Vilyams|2001}}}}

{{DEFAULTSORT:こうたいくん}}
[[Category:群論]]
[[Category:有限群]]
[[Category:置換]]
[[Category:数学に関する記事]]