交叉理論のソースを表示

{{for|集合の交叉|共通部分 (数学)}}
{{See also|数え上げ幾何学}}

[[数学]]では、'''交叉理論'''(intersection theory)（もしくは、'''交点理論'''）は、[[代数幾何学]]では[[代数多様体]]の上ので部分多様体の交叉についての分野で、 [[代数トポロジー]]では[[コホモロジー環]]の中の交叉の計算についての分野である。多様体の理論は古くからあり、曲線の[[ベズーの定理]]や{{仮リンク|消去理論|en|elimination theory}}(elimination theory)に起源を持つ。他方、トポロジー理論では、交叉理論はより手短に定義形式へたどり着く。
<!---{{for|set intersection|Intersection (set theory)}}
{{See also|Enumerative geometry}}

In [[mathematics]], '''intersection theory''' is a branch of [[algebraic geometry]], where subvarieties are intersected on an [[algebraic variety]], and of [[algebraic topology]], where intersections are computed within the [[cohomology ring]]. The theory for varieties is older, with roots in [[Bézout's theorem]] on curves and [[elimination theory]]. On the other hand the topological theory more quickly reached a definitive form.-->

==トポロジカルな交叉形式==
<!---{{also|[[:en:ε-quadratic form#Manifolds|イプシロン二次形式の中の多様体]] }}-->
2n 次元の連結な[[向き付け可能性#多様体の向き付け可能性|向き付け可能多様体]] M に対して、'''交叉形式'''(intersection form)は、[[基本類]] <math>[M] \in H_{2n}(M,\partial M)</math> の上の[[カップ積]]の評価により n-番目（普通、「中間次元」と呼ばれる）の[[コホモロジー群]]の上に定義される。詳しく言うと、[[双線型形式]]

:<math>\lambda_M \colon H^n(M,\partial M) \times H^n(M,\partial M)\to \mathbb{Z}</math>

が

:<math>\lambda_M(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbb{Z}</math>

により与えられる。元 a と b の入れ替えについては、

:<math>\lambda_M(a,b)=(-1)^n\lambda_M(b,a) \in \mathbb{Z}</math>

である。
<!---==Topological intersection form==
{{also|ε-quadratic form#Manifolds}}
For a connected [[orientability|oriented manifold]] ''M'' of dimension 2''n'' the '''intersection form''' is defined on the ''n''<sup>th</sup> [[cohomology group]] (what is usually called the 'middle dimension') by the evaluation of the [[cup product]] on the [[fundamental class]] <math>[M] \in H_{2n}(M,\partial M)</math>. Stated precisely, there is a [[bilinear form]]

:<math>\lambda_M \colon H^n(M,\partial M) \times H^n(M,\partial M)\to \mathbb{Z}</math>

given by

:<math>\lambda_M(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbb{Z}</math>

with

:<math>\lambda_M(a,b)=(-1)^n\lambda_M(b,a) \in \mathbb{Z}.</math>-->

n が偶数の（従って、次元が 4 の倍数である）場合は、交叉形式は[[対称双線型形式]]であり、M の{{仮リンク|符号数 (トポロジー)|label=符号数|en|Signature (topology)}}(signature)は、交叉形式の符号数として定義される。n が奇数の（従って、2n = 4k + 2 の）場合は、交叉形式は{{仮リンク|交代形式|en|alternating form}}(alternating form)である。これらは{{仮リンク|ε-対称形式|en|ε-symmetric form}}として統一的に記述できる。ここに ε = <math>(-1)^n = \pm 1</math> として、各々対称的と反（歪）対称的とする。ある条件の下では、この形式から{{仮リンク|ε-二次形式|en|ε-quadratic form}}へ精密化することもできるが、そのようにするためには、接バンドルの{{仮リンク|枠付き多様体|en|framed manifold}}(framing)のようなデータを加えなければならない。向き付けという条件を落とし、かわりに <math>\mathbb{Z}_2</math> 係数とすることも可能である。

これらの形式は、重要な{{仮リンク|位相不変量|en|topological invariant}}であり、例えば、[[マイケル・フリードマン]](Michael Freedman)の定理は、[[単連結]]な[[コンパクト空間|コンパクト]]な [[4次元多様体]]は（ほぼ）[[同相]]の下に交叉形式で決定されると言っている。 – [[交叉形式 (4-多様体)|交叉形式]]を参照。

[[ポアンカレ双対]]により、このことを幾何学的に考える方法があることが判明している。可能であれば、n-次元部分多様体 A と B を a と b のポアンカレ双対として選択すると、<math>\lambda_M</math>(''a'',&nbsp;''b'') は、A と B の{{仮リンク|向き付け交叉数|en|oriented intersection number}}となる。この交叉数は A と B の次元により、[[well-defined|うまく定義]]できる。{{Clarify|reason="Because of the dimensions" insufficient to find reason or confirm truth|date=August 2011}} 以上が用語'''交叉形式'''を説明している。
<!---This is a [[symmetric form]] for ''n'' even (so 2''n''=4''k'' [[doubly even]]), in which case the [[Signature (topology)|signature]] of ''M'' is defined to be the signature of the form, and an [[alternating form]] for ''n'' odd (so 2''n''=4''k''+2 [[singly even]]). These can be referred to uniformly as [[ε-symmetric form]]s, where ε = <math>(-1)^n = \pm 1</math> respectively for symmetric and skew-symmetric forms. It is possible in some circumstances to refine this form to an [[ε-quadratic form]], though this requires additional data such as a [[framed manifold|framing]] of the tangent bundle. It is possible to drop the orientability condition and work with <math>\mathbb{Z}_2</math> coefficients instead.

These forms are important [[topological invariant]]s. For example, a theorem of [[Michael Freedman]] states that [[simply connected]] [[compact space|compact]] [[4-manifold]]s are (almost) determined by their intersection forms up to [[homeomorphism]] – see [[intersection form (4-manifold)]].

By [[Poincaré duality]], it turns out that there is a way to think of this geometrically. If possible, choose representative ''n''-dimensional submanifolds ''A'', ''B'' for the Poincaré duals of ''a'' and ''b''. Then <math>\lambda_M</math>(''a'',&nbsp;''b'') is the [[oriented intersection number]] of ''A'' and ''B'', which is well-defined because of the dimensions of ''A'' and ''B''.{{Clarify|reason="Because of the dimensions" insufficient to find reason or confirm truth|date=August 2011}} This explains the terminology ''intersection form''.-->

==代数幾何学における交叉理論==

{{仮リンク|ウィリアム・フルトン|en|William Fulton (mathematician)}}(William Fulton)は著作 ''Intersection Theory'' (1984)の中でつぎのように書いている。

:「 ... 非特異多様体 の部分多様体を A と B とすると、交叉積 A.B は X の中にどのように A∩B, A と B が置かれているのかという幾何学に密接に関連する代数的サイクルの同値類であるべきである．2つの最も極端な場合が最も有名であった．交叉が'''固有'''、つまり dim(A∩B) = dim A + dim B − dim X であれば、A.B は交叉多重度を係数として、A∩B の規約成分の線型結合である。もう一つの極端な例は、A = B であり、これが非特異な場合には、自己交叉数の公式は、A.B は X の中の A の{{仮リンク|法バンドル|en|normal bundle}}(normal bundle)の先頭の[[チャーン類]]により表現される ... 」

一般的な定義では、'''交叉多重度'''(intersection multiplicity)の定義は、[[アンドレ・ヴェイユ]](André Weil)の1946年の書籍'''Foundations of Algebraic Geometry'''によるところが大きい。1920年代の{{仮リンク|ファン・デル・ウェルデン|en|Bartel Leendert van der Waerden}}(B. L. van der Waerden)の仕事では、すでに次のような疑問を提示いる。{{仮リンク|代数幾何学のイタリア学派|en|Italian school of algebraic geometry}}は、アイデアを知ってはいたが、同じ精神で基本的な問題に対応することはできていなかった、と。
<!---==Intersection theory in algebraic geometry==

William Fulton in ''Intersection Theory'' (1984) writes

:'' ... if A and B are subvarieties of a non-singular variety X, the intersection product A.B should be an equivalence class of algebraic cycles closely related to the geometry of how A∩B, A and B are situated in X. Two extreme cases have been most familiar. If the intersection is'' proper'', i.e. dim(A∩B) = dim A + dim B − dim X, then A.B is a linear combination of the irreducible components of  A∩B, with coefficients the intersection multiplicities. At the other extreme, if A = B is a non-singular subvariety, the self-intersection formula says that A.B is represented by the top [[Chern class]] of the [[normal bundle]] of A in X.''

To give a definition, in the general case, of the '''intersection multiplicity''' was the major concern of [[André Weil]]'s 1946 book ''Foundations of Algebraic Geometry''. Work in the 1920s of [[Bartel Leendert van der Waerden|B. L. van der Waerden]] had already addressed the question; in the [[Italian school of algebraic geometry]] the ideas were well known, but foundational questions were not addressed in the same spirit.-->

===移動するサイクル===
[[代数的サイクル]](algebraic cycle)がうまく機能するための機構とするには、疑問の中にあるようにサイクルの集合論的な交叉を取るだけではうまくいかない。確かに、交叉 '''V ∩ W''' あるいは、'''V · W''' で表される'''交叉積'''と共通して言われるものは、2つの部分多様体の集合論的な交叉からなるはずである。しかしながら、サイクルが悪い位置にあった場合、つまり、2つの直線が同一の平面上に平行におかれていたり、（3-球面(3-sphere)の中で）一つの直線からなる平面である場合である。これらの場合のとちらも、交叉は一点からなる。なぜならば、サイクルが移動すると、交叉を形成することになる。2つのサイクル V と W の交叉は、2つの（集合論的な）交叉の{{仮リンク|余次元|en|codimension}}が V と W の余次元の和であるとき、つまり「期待されている」余次元のときに、'''固有'''(proper)であるという。

従って、'''移動するサイクル'''の考え方には、{{仮リンク|適切な同値関係|label=適切な代数的同値関係|en|equivalence relations on algebraic cycles}}を使う。同値関係は、与えられた任意の 2つのサイクル V と W に対して、交叉 V' ∩ W' が固有となるような同値なサイクル V' と W' がそれぞれに存在するよう十分に広く取る。もちろん、一方では、二番目の V" と W" との同値関係に対して、V' ∩ W' が V" ∩ W" に同値である必要がある。

交叉理論の目的のため、'''有理同値'''は最も重要な同値である。X 上の 2つの r-次元サイクルが有理同値とは、 (k+1)-次元部分多様体 Y 上の有理函数 f が存在し、つまり、[[代数多様体の函数体|函数体]] k(Y) もしくは同じことであるが、函数 f : Y → P<sup>1</sup> が存在し、V - W = f<sup>-1</sup>(0) - f<sup>-1</sup>(∞) となることである。ここに f<sup>-1</sup>(-) は多重度を考慮することとする。有理同値は上記で必要なことを満たしている。
<!---===Moving cycles===
A well-working machinery of intersecting [[algebraic cycles]] ''V'' and ''W'' requires more than taking just the set-theoretic intersection of the cycles in question. Certainly, the intersection ''V ∩ W'' or, more commonly called ''intersection product'', denoted ''V · W'', should consist of the set-theoretic intersection of the two subvarieties. However it occurs that cycles are in bad position, e.g. two parallel lines in the plane, or a plane containing a line (intersecting in 3-space). In both cases the intersection should be a point, because, again, if one cycle is moved, this would be the intersection. The intersection of two cycles ''V'' and ''W'' is called ''proper'' if the [[codimension]] of the (set-theoretic) intersection ''V ∩ W'' is the sum of the codimensions of ''V'' and ''W'', respectively, i.e. the "expected" value.

Therefore the concept of ''moving cycles'' using appropriate [[equivalence relations on algebraic cycles]] is used. The equivalence must be broad enough that given any two cycles ''V'' and ''W'', there are equivalent cycles ''V' '' and ''W' '' such that the intersection ''V' ∩ W' '' is proper. Of course, on the other hand, for a second equivalent ''V"'' and ''W"'', ''V' ∩ W' '' needs to be equivalent to ''V" ∩ W"''.

For the purposes of intersection theory, ''rational equivalence'' is the most important one. Briefly, two ''r''-dimensional cycles on a variety ''X'' are rationally equivalent if there is a rational function ''f'' on a (''k+1'')-dimensional subvariety ''Y'', i.e. an element of the [[function field of an algebraic variety|function field]] ''k(Y)'' or equivalently a function ''f : Y'' → P<sup>1</sup>, such that ''V - W = f<sup>-1</sup>(0) - f<sup>-1</sup>(∞)'', where ''f<sup>-1</sup>(-)'' is counted with multiplicities. Rational equivalence accomplishes the needs sketched above.-->

===交叉多重度===
[[画像:Intersection double.svg|right|thumb|320px|直線と放物線の交叉]]
サイクルの[[交点数 (代数幾何学)|交叉多重度]]の定義を導く原理は、ある意味では連続性にある。次のような基本的な例を考える。放物線 y = x<sup>2</sup> と x-軸 y=0 の交叉は、 2·(0,0) である。理由は、もしサイクルの一つが動いたとすると（未定義な状態であるが）、ちょうど 2つの点である交叉があって、描いた位置にサイクルが近づくと、両方とも (0,0) にまとまる。（右の図は、y=-3 の放物線の交叉がないように見えることは、明らかに誤っているが、この理由は、単に実数解に限った描写をしているからである。）

最初に満足のいく交叉の定義をしたのは、[[ジャン・ピエール・セール]](Jean-Pierre Serre)である。周囲の多様体 X が滑らかである（もしくは、全ての局所環が[[正則局所環]]とする。さらに、V と W を 2つの（既約、被約かつ閉である）部分多様体で、交叉が固有であるとする。構成は局所的であるので、従って、X の座標環の中の 2つのイデアル I と J で（交叉）多様体が表せるかもしれない。Z を集合論的な交叉 V ∩ W の既約成分とし、z をその{{仮リンク|生成点|en|generic point}}(generic point)とする。Z の交叉積 V · W の中の多重度は次によって定義される。
:<math>\mu(Z; V, W) := \sum^\infty_{i=0} (-1)^i \text{length}_{\mathcal O_{X, z}} \text{Tor}^i_{\mathcal O_{X, z}} (\mathcal O_{X, z}/I, \mathcal O_{X, z}/J)</math>,
この交代和は、部分多様体に対応するイデアル環の[[Tor函手|ねじれ]](torsion)群の z の中で、X の局所環の上の[[加群の長さ|長さ]]を渡る。この表現はしばしば、セールの'''ねじれ公式'''と呼ばれる。

注意：
*第一のまとめ、<math>\mathcal O_{X, z}/I \otimes_{\mathcal O_{X, z}} \mathcal O_{X, z}/J = \mathcal O_{Z, z}</math> の長さは、多重度の「ナイーブ」な想定であるが、しかし、セールが示したように、十分ではない。
*和は有限である。理由は、正規環 <math>\mathcal O_{X, z}</math> は有限のねじれ次元を持っているからである。
*V と W の交叉が固有ではないとすると、上記の多重度はゼロとなる。固有であれば、多重度は正となる（どちらの記述も定義からはすぐには明らかにならない）。
*[[スペクトル系列]]の議論を使い、<math>\mu(Z; V, W) = \mu(Z; W, V)</math> をしめすことができる。
<!---===Intersection multiplicities===
[[Image:intersection number.png|right|thumb|200px|Intersection of lines and parabola]]
The guiding principle in the definition of [[intersection multiplicity|intersection multiplicities]] of cycles is continuity in a certain sense. Consider the following elementary example: the intersection of a parabola ''y = x<sup>2</sup>'' and an axis ''y=0'' should be ''2·(0,0)'', because if one of the cycles moves (yet in an undefined sense), there are precisely two intersection points which both converge to ''(0,0)'' when the cycles approach the depicted position. (The picture is misleading insofar as the apparently empty intersection of the parabola and the line ''y=-3'' is empty, because only the real solutions of the equations are depicted).

The first fully satisfactory definition of intersection multiplicities was given by [[Jean-Pierre Serre|Serre]]: Let the ambient variety ''X'' be smooth (or all local rings [[regular local ring|regular]]). Further let ''V'' and ''W'' be two (irreducible reduced closed) subvarieties, such that their intersection is proper. The construction is local, therefore the varieties may be represented by two ideals ''I'' and ''J'' in the coordinate ring of ''X''. Let ''Z'' be an irreducible component of the set-theoretic intersection ''V ∩ W'' and ''z'' its [[generic point]]. The multiplicity of ''Z'' in the intersection product ''V · W'' is defined by
:<math>\mu(Z; V, W) := \sum^\infty_{i=0} (-1)^i \text{length}_{\mathcal O_{X, z}} \text{Tor}^i_{\mathcal O_{X, z}} (\mathcal O_{X, z}/I, \mathcal O_{X, z}/J)</math>,
the alternating sum over the [[length of a module|length]] over the local ring of ''X'' in ''z'' of [[Tor functor|torsion]] groups of the factor rings corresponding to the subvarieties. This expression is sometimes referred to as ''Serre's Tor-formula''.

Remarks:
*The first summand, the length of <math>\mathcal O_{X, z}/I \otimes_{\mathcal O_{X, z}} \mathcal O_{X, z}/J = \mathcal O_{Z, z}</math> is the "naive" guess of the multiplicity; however, as Serre shows, it is not sufficient.
*The sum is finite, because the regular local ring <math>\mathcal O_{X, z}</math> has finite Tor-dimension.
*If the intersection of ''V'' and ''W'' is not proper, the above multiplicity will be zero. If it is proper, it is strictly positive. (Both statements are not obvious from the definition).
*Using a [[spectral sequence]] argument, it can be shown that <math>\mu(Z; V, W) = \mu(Z; W, V)</math>.-->

===周環(Chow ring)===
{{main|[[:en:Chow ring|周環(Chow ring)]] }}
{{仮リンク|周環|en|Chow ring}}(Chow ring)は、次の'''交叉積'''と同時に{{仮リンク|代数的サイクルの同値関係|label=有理同値|en|equivalence relations on algebraic cycles}}(rational equivalence)を同一視した代数的サイクルの群である。
:<math>V \cdot W := \sum_{i} \mu(Z_i; V, W)Z_i</math>
ここに、V ∩ W = ∪︀ Z<sub>i</sub> は既約成分への集合論的な交叉の分解である。
<!---===The Chow ring===
{{main|Chow ring}}
The [[Chow ring]] is the group of algebraic cycles modulo [[equivalence relations on algebraic cycles|rational equivalence]] together with the following commutative ''intersection product'':
:<math>V \cdot W := \sum_{i} \mu(Z_i; V, W)Z_i</math>
where ''V ∩ W = ∪︀ Z<sub>i</sub>'' is the decomposition of the set-theoretic intersection into irreducible components.-->

===自己交叉===
2つの部分多様体 V と W が与えられると、それらの交叉 <math>V \cap W</math> を取ることができるが、さらに微妙なことであるが、単独の部分多様体の'''自己'''交叉を定義することも可能である。

例えば、曲面 S 上に曲線 C は、自己自身との（集合としても）交叉はまさに <math>C \cap C = C</math> である。このことは明らかに正しいのだが、一方、不満足なことがある。曲面上の任意の 2つの'''異なる'''曲線（なんの共通成分も持たない）が与えられると、それらは点のある集合を交叉として持つ。それらはかぞえることもできて、'''交叉数'''を与え、与えられた曲線と同じことを期待できるかもしれない。似たようたなことは、異なる曲線を交わらせることが 2つの数の積 <math>x\cdot y</math> のようであることに対し、自己交叉は、単独な数の二乗 <math>x^2</math> することに似ている。形式的に、類似は[[対称双線型形式]]の積と[[二次形式]]と言うこともできる。

この幾何学的な解は、曲線 C と自分自身ではなく、自分自身をすこし動かしたものとの交叉を取る。平面上では、このことは曲線 C をある方向へ動かすことを意味し、一般的に言うと、曲線 <math>C'</math> を曲線 C と{{仮リンク|因子の線型同値|en|Linear system of divisors}}(Linear system of divisors)とし、交叉 <math>C.C'</math> を数えることで交叉数を得て、これを <math>C.C</math> と書く。異なる曲線 C と D の場合とは'''異なり'''、'''交叉する点は定義されない'''。この理由は、（自己交叉数は、）<math>C'</math> の選択に依存するが、しかし C" の交叉数を C の k {{仮リンク|生成点|en|generic point}}(generic point) <math>k=C.C</math> と解釈できる。さらに適切な言い方をすると、C の自己交叉は、多重度として <math>C.C</math> を取った C の生成点である。

代わりに、双対で考え、類 <math>[C]\cup [C]</math> を見て、この問題を「解く」（もしくは動機とする）こともできる。これらは双方とも数値を与え、幾何学的な解釈の疑問を生む。コホモロジー'''類'''をとおるということは、曲線を一次系へと置き換えることになることに注意する。

以下に説明する例のように、自己交叉数は負であることも可能であることにも注意する。
<!---===Self-intersection===
Given two subvarieties ''V'' and ''W,'' one can take their intersection <math>V \cap W</math>, but it is also possible, though more subtle, to define the ''self''-intersection of a single subvariety.

Given, for instance, a curve ''C'' on a surface ''S'', its intersection with itself (as sets) is just itself: <math>C \cap C = C</math>. This is clearly correct, but on the other hand unsatisfactory: given any two ''distinct'' curves on a surface (with no component in common), they intersect in some set of points, which for instance one can count, obtaining an ''intersection number'', and we may wish to do the same for a given curve: the analogy is that intersecting distinct curves is like multiplying two numbers: <math>x\cdot y</math>, while self-intersection is like squaring a single number: <math>x^2</math>. Formally, the analogy is stated as a [[symmetric bilinear form]] (multiplication) and a [[quadratic form]] (squaring).

A geometric solution to this is to intersect the curve ''C,'' not with itself, but with a slightly pushed off version of itself. In the plane, this just means translating the curve ''C'' in some direction, but in general one talks about taking a curve <math>C'</math> that is [[Linear system of divisors|linearly equivalent]] to ''C'', and counting the intersection <math>C.C'</math>, thus obtaining an intersection number, denoted <math>C.C</math>. Note that ''unlike'' for distinct curves ''C'' and ''D'', the ''actual points of intersection'' are not defined, because they depend on a choice of <math>C'</math>, but the “self intersection points of ''C''” can be interpreted as ''k'' [[generic point]]s on ''C,'' where <math>k=C.C</math>. More properly, the self-intersection points of ''C'' is ''the'' generic point of ''C,'' taken with multiplicity <math>C.C</math>.

Alternatively, one can “solve” (or motivate) this problem algebraically by dualizing, and looking at the class of the <math>[C]\cup [C]</math> – this both gives a number, and raises the question of a geometric interpretation. Note that passing to cohomology ''classes'' is analogous to replacing a curve by a linear system.

Note that self-intersection number can be negative, as the example below illustrates.-->

====例====
[[射影平面]] <math>\mathbf{P}^2</math> 内の直線 L を考えると、全ての他の交叉する直線は一回で交叉するので、L の自己交叉数は 1 である。L を少し動かし <math>L'</math> として（任意の選び方である）<math>L'</math> に対して <math>L.L' = 1</math> であるから、<math>L.L=1</math> である。交叉形式のことばでは、平面はタイプ <math>x^2</math> の内のひとつである（唯一の直線のクラスがあり、それらはすべて互いに交叉する）。

[[:en:Euclidean plane<!-- リダイレクト先の「[[:en:Two-dimensional space]]」は、[[:ja:2次元]] とリンク -->|'''アフィン'''平面]]<!---このリンクは、日本語版に”ユークリッド平面”という記事がありますが、代数幾何学のアフィン平面のことは触れておらず、あえて英語版へリンクしました-->上では、少し L を動かして平行線とすることができるかもしれないが、すると（幾何学的に考えて）交叉数は動かし方に依存してしまう。「アフィン平面はうまい交点理論を持たない」といってもよいかもしれず、非射影的多様体の交点理論は非常に難しい。

<math>\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1</math>（これは、''P''<sup>3</sup> の中の非特異[[二次曲面]] Q として解釈できる）の上の直線は、自己交叉数 0 である。なぜならば、直線を自分自身から移動することが可能だからである（この曲面を{{仮リンク|線織曲面|en|ruled surface}}(ruled surface)（ルールド曲面）と言う）。交叉形式のことばでは、<math>\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1</math> はタイプ <math>xy</math>（このタイプは、[[基底変換]]の下で <math>x^2-y^2</math> となる）である。（ルールド曲面上の）直線の基本的なクラスは 2つあり、互に一点 (<math>xy</math>) で交叉するが、自己交点数は 0 である（<math>x^2</math> もしくは <math>y^2</math> の場合）。
<!---====Examples====
Consider a line ''L'' in the [[projective plane]] <math>\mathbf{P}^2</math>: it has self-intersection number 1 since all other lines cross it once: one can push ''L'' off to <math>L'</math>, and <math>L.L' = 1</math> (for any choice) of <math>L'</math>, hence <math>L.L=1</math>. In terms of intersection forms, we say the plane has one of type <math>x^2</math> (there is only one class of lines, and they all intersect with each other).

Note that on the [[Euclidean plane|''affine'' plane]], one might push off <math>L</math> to a parallel line, so (thinking geometrically) the number of intersection points depends on the choice of push-off. One says that “the affine plane does not have a good intersection theory”, and intersection theory on non-projective varieties is much more difficult.

A line on a <math>\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1</math> (which can also be interpreted as the non-singular [[quadric]] ''Q'' in ''P''<sup>3</sup>) has self-intersection 0, since a line can be moved off itself. (It is a [[ruled surface]].) In terms of intersection forms, we say <math>\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1</math> has one of type <math>xy</math> (which can also be stated <math>x^2-y^2</math> under a [[change of basis]]) – there are two basic classes of lines, which intersect each other in one point (<math>xy</math>), but have zero self-intersection (no <math>x^2</math> or <math>y^2</math> terms).-->

====ブローアップ====
自己交叉数の重要な例は、[[双有理幾何学]]の中心的な操作であるブローアップによってできる'''例外曲線'''である。

[[代数曲面]] S の上の一点での[[ブローアップ (数学)|ブローアップ]]は、曲線 C を作る。この代数曲線 C は種数によって区別することが可能であり、この場合の種数は 0 であり、自己交叉数は −1 である（このことは、明らかにはわかるわけではない）。

系として、<math>\mathbf{P}^2</math> and <math>\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1</math> は、負の自己交叉数を持つ曲線を持たないので、[[極小モデル]]（ブローアップはできない）である。

事実、{{仮リンク|グイド・カステルヌオボ|en|Guido Castelnuovo}}(Guido Castelnuovo)の構成定理は、以上の逆を言っている。任意の自己交叉数 <math>(-1)</math> である曲線は、あるブローアップによってできる例外曲線である（つまり、'''ブローダウン'''できる）と言っている。
<!---====Blow-ups====
A key example of self-intersection numbers is the exceptional curve of a blow-up, which is a central operation in [[birational geometry]].

Given an [[algebraic surface]] ''S'', [[blowing up]] at a point creates a curve ''C''. This curve ''C'' is recognisable by its genus, which is 0, and its self-intersection number, which is −1. (This is not obvious.)

Note that as a corollary, <math>\mathbf{P}^2</math> and <math>\mathbf{P}^1 \times \mathbf{P}^1</math> are [[Minimal model (birational geometry)|minimal surfaces]] (they are not blow-ups), since they do not have any curves with negative self-intersection.

In fact, [[Guido Castelnuovo|Castelnuovo]]’s [[contraction theorem]] states the converse: every <math>(-1)</math>-curve is the exceptional curve of some blow-up (it can be “blown down”).-->

==参考文献==
* {{Citation | last1=Fulton | first1=William | author1-link = William Fulton (mathematician) | title=Intersection theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=[[Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]]. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics] | isbn=978-3-540-62046-4 |id=ISBN 978-0-387-98549-7 {{MathSciNet | id = 1644323}} | year=1998 | volume=2}}
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link = Jean-Pierre Serre | title=Algèbre locale. Multiplicités | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Cours au Collège de France, 1957--1958, rédigé par Pierre Gabriel. Seconde édition, 1965. Lecture Notes in Mathematics |mr=0201468 | year=1965 | volume=11}}

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:こうさりろん}}
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]